初中数学二次函数解题方法与技巧

王建勤

基于中考数学试题的研究可以发现，二次函数的知识点在初中数学试卷中所占比例较大，内容较多，题目较复杂，考题难度较大.特别是二次函数问题经常会在中考压轴题中出现.下面对有关二次函数的常见题型及解题方法进行总结.

1 解析式问题——找、代、解

在求解二次函数解析式的问题中，教师可以引导学生遵循“找、代、解”的解题思路，解决与二次函数有关的实际问题.

例1  如图1所示，对称轴为直线x=12的抛物线经过B（2，0），C（0，4）两点，抛物线与x轴的另一为点A，求抛物线的解析式.

找：找出题目中抛物线上的相应坐标信息.如B（2，0），C（0，4），对称轴直线x=12.

代：代入到二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）.

解：进一步求解二次函数解析式.

注：解析式问题需要学生具有较为扎实的二次函数学习基础.为此，在开展解析式问题教学前，教师可以利用对分课堂教学模式，引导学生梳理二次函数基本知识，提高学生的做题效果和课堂教学效率.

2 动点问题——设、找、论

有关动点问题，主要有x轴上的动点问题、二次函数对称轴上的动点问题以及抛物线上的动点问题三种情况.求解时，

首先假设出动点的坐标，由题干中的隐藏关系找出相应的等式，最后根据情况分类讨论，并根据合理性解出正确的结果.

例2  已知抛物线y=－2x2+2x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若P为抛物线第一象限内的一点，设四边形COBP的面积为S，求S的最大值.

设：设P（n，－2n2+2n+4）（0＜n＜2）.

找：如图2，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足分别为F，E，连接OP.由此可知S=S△COP+S△POB=12·OC·n+12·OB·（－2n2+2n+4）=－2（n－1）2+6.

论：当且仅当n=1时，S取得最大值，且最大值为6.

注：动点问题需要学生耐心思考，找出题干中的关系式，这也是二次函数动点问题的重难点所在.为此，教师要引导学生克服解决动点问题时的恐惧心理，运用二次函数动点问题的三部解题法加强训练.

3 面积问题——找、拆、设

面积问题常以求解三角形面积或四边形面积的形式出现，主要考查求解三角形面积、求解两个三角形交点的坐标位置、求解三角形或四边形面积最大时的动点坐标这三大问题.

例3  如图3所示，在平面直角坐标系中，抛物线y=－x2+5x+6与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，且直线y=x-6过点B，与y轴交于点D，点C与点D关于x轴对称，已知P是线段OB上的一个动点，过点P作x轴的垂线交抛物线于点M，交直线BD于点N.当△MDB的面积最大时，求点P的坐标.

根据题干，可以发现本道题在考查面积的基础上，进一步提出了求点P的坐标.但仍需先求出△MDB面积的最大值，再从中寻找答案.

找：找出△MDB的面积关系.已知在△MDB中，B和D是定点，M是抛物线上的一个动点，可以使用铅垂模型求解，即线段MN将△MDB分割为有公共底边的两个三角形△MND和△MNB.

拆：根据上述陈述，可以得到S△MDB=S△MND+S△MNB=12MN·|xB－xD|.

设：设点P坐标为（m，0），则M（m，－m2+5m+6），N（m，m－6），

于是MN=－m2+4m+12，所以

S△MDB=12MN·|xB－xD|=－3m2+12m+36=－3（m－2）2+48，

当且仅当m=2时，S△MDB有最大值，且最大值为48，此时点P的坐标为（2，0）.

注：教师在开展有关二次函数面积问题题型训练时，首先要引导学生学习如何找出面积关系.教师可以引导学生复习求面积的方法，如割补法、铅垂法等，从而提高学生的学习效率［1］.其次，利用面积求解方法引导学生灵活解决面积问题.

4 几何图形存在性问题——找、解、论

中考有关二次函数几何图形存在性问题，主要考查三角形和四边形的存在性，且以考查特殊三角形和四边形居多.通常几何图形会与面积最值或动点问题搭配考查，灵活性较高，难度较大.

例4  如图4所示，已知二次函数y=x2+2x－3的图象与x轴相交于点A和B，其中点A的坐标为（－3，0），且过点B作一条直线与抛物线相交于点D（-2，-3）.过x轴上的点E（a，0）（点E在点B的右侧）作直线EF∥BD，且与该抛物线相交于点F，试分析是否存在實数a，使得四边形BDFE为平行四边形？若存在，请求出满足条件的实数a；若不存在，请说明理由.

找：根据题干内容，学生能够轻松求出直线BD的解析式为y=x-1，则直线EF的解析式为y=x-a.根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”这一定理可知，若想四边形BDFE为平行四边形，只需满足DF与x轴平行即可.

解：若DF与x轴平行，则点D和点F的纵坐标相等，即点F的纵坐标为-3.而F为直线EF与抛物线的交点，设F的横坐标为m，根据BE=DF，可得a-1=m+2，即m=a-3，则F（a-3，-3）.

论：将F（a-3，-3）代入y=x2+2x-3，可以解出a1=1，a2=3.

当a=1时，点E（1，0）与点B重合，不符合题意，舍去;

当a=3时，点E（3，0）符合题意.

所以，当且仅当a=3时，四边形BDFE为平行四边形.

注：关于二次函数几何图形存在性问题的内容较为丰富，出题方式较为灵活，因此，学生需要加强训练，把握解决二次函数几何图形存在性问题的解题思路，提高解题效率和解题质量.

5 最值问题——设、找、论

最值问题是二次函数的常考题型，最值问题通常与面积问题一同出现.因此，在面对这一问题时，教师可以引导学生运用割补法或铅垂（铅垂高，水平宽）法求出几何图形的面积，再通过数式关系求出最大值或最小值.

例5  如图5，已知抛物y=ax2－2ax+c经过点C（1，2），与x軸交于A，B两点，其中A点坐标为（-1，0）.

（1）求抛物线的解析式；

（2）直线y=34x交抛物线于S，T两点，M为抛物线上A，T之间的一个动点，过M作ME垂直x轴于点E，MF⊥ST于点F，求ME+MF的最大值.

本题

根据解决解析式问题的步骤，可以很快得出抛物线y=-12x2+x+32.对于第（2）问，可以通过设、找、论的步骤求解.

设：设点M的坐标为t，－12t2+t+32，直线OT交ME于G，则Gt，34t.

找：找出ME+MF的表达式.ME=－12t2+t+32，OG=54t，

MG=－12t2+14t+32.

由sin∠OGE=sin∠MGF=45，得

MF=45MG=－25t2+15t+65.

所以，可得ME+MF=－910t2+65t+2710=－910t－232+3110.

论：当且仅当t=23时，ME+MF有最大值，且最大值为3110.

注：最值问题首先需要学生找到目标函数的表达式，然后化简等式.其次，最值问题需要学生正确计算出数式的答案，保证运算的准确率［2］.

综上所述，初中对二次函数的考查内容虽然灵活复杂［3］，但是若学生能够利用解析式问题、动点问题、面积问题、几何图形存在性问题和最值问题的解题方法与解题技巧，并进行适当的训练，就能提高有关二次函数的解题能力.

参考文献：

［1］

陆立明.二次函数综合题解题分析与备考策略——以南宁市中考数学二次函数题型为例［J］.中学教学参考，2022（17）：22-24.

［2］陈丽黎.类比探究透本质，数形结合双翼飞——“二次函数的图象与性质（3）”的教学设计与反思［J］.中学数学，2022（12）：45-46.

［3］王国强，华云锋.慢教学：初中生数感培养的课堂新样态——以“二次函数”单元起始课教学为例［J］.中学数学，2022（10）：7-10.