迁移建联，让知识结构化生长——“三位数乘两位数的笔算”教学片段与思考

江苏徐州市丁万河小学（221000） 姚媛媛

数学运算是数学学习的基础，也是培养学生逻辑思维的重要路径。在新时代背景下，教师应从整体性和一致性的视角深入理解教学内容的本质，探寻知识间的联系，促进学生思维不断进阶，助力学生核心素养的形成和发展。面对运算教学，要在现行教材的实施中思考，在有效指引下进行教学实践。

“三位数乘两位数的笔算”是苏教版教材四年级下册的内容。学生已学习了三年级上册的“两、三位数乘一位数”和三年级下册的“两位数乘两位数的笔算”，“三位数乘两位数的笔算”是整数乘法在整个小学阶段的最后一次呈现，但就整个整数乘法的运算而言，并未结束。因此，本课不仅是小学阶段整数乘法的“收尾”与“总结”，承载着整理的任务，也是一个节点，承载着整数乘法运算生长、连接的任务。如何在已有整数乘法笔算的基础上定位与教学本节课内容？如何让本节课为后续其他复杂整数乘法运算做支撑？在充分思考的基础上，笔者在教学中多次尝试引导学生通过自主探究掌握整数乘法间的内在联系，通过方法迁移构建知识结构。

片段一：旧知迁移，关注知识结构

师：同学们，这节课我们来学习三位数乘两位数的笔算。请你从这些题目（如图1）中选择两道题来进行复习，你觉得选择哪两道题能帮助我们更好地学习三位数乘两位数呢？

图1

生1：我选的是②和⑥。

生2：我选①和④，因为①和④都是三位数乘一位数，而今天学的是三位数乘两位数，我们可以先通过乘一位数来复习。

生3：我选②和⑤，因为今天学的是三位数乘两位数，②是两位数乘两位数，⑤是三位数乘一位数。

师：同学们既关注到了三位数又关注到了两位数，考虑问题非常全面。我们就按同学们的意思，从三位数乘一位数、两位数乘两位数中各选一道题作为复习题。完成学习单中“复习”这一板块。

（学生完成复习，并交流计算的过程）

【思考】

学生从算式的类型上考虑，寻找知识之间的联系，从这一点上说，学生已经学会主动建联。复习阶段，学生聚焦计算过程，始终围绕“乘了几次？每次都是几位数乘几位数？”的问题展开交流。同时，学生呈现计算过程直观图，用箭头直观地反映运算路径（如图2），展现他们的计算思维。

图2

计算过程直观图让学生明确：“两、三位数乘一位数”与“两位数乘两位数”的运算是一致的，都是先按照数位分开来乘，再把积相加，可以简单概括为先分后合。通过计算过程直观图的呈现，学生能够感受到“三位数乘一位数”分三次乘，每次都是一位数乘一位数；“两位数乘两位数”分两次乘，每次同样是一位数乘两位数。计算过程直观图的箭头能让学生厘清运算的次数及乘的顺序，都是用第二个乘数各数位上的数去乘第一个乘数。同时，也能在方框的指引下，通过对比发现：第一个两位数在计算中被看成一个整体，一方面有利于提取运算步骤，另一方面，也是将前期两位数乘一位数的知识直接迁移的具体体现。通过不断迁移旧知，学生逐步体会知识间的内在联系，关注知识结构。

片段二：横竖式建联，融通知识结构

（呈现例题，学生列出算式）

师：根据已有的计算经验，你能列竖式来解决学习活动一（如图3）的问题吗？

图3

（学生完成学习活动后交流）

师：谁愿意来给大家讲一讲？

生1：每车128 箱，10 车是10 个128，也就是128×10；6 车是6 个128 个，也就是128×6。然后把10 车的箱数和6 车的箱数加起来就等于16 车的箱数。

生2：通过这个长方形图可以发现128×16=128×10+128×6。

师：结合这个情境和图示，能不能具体解释一下，在竖式乘法计算中的每一步计算分别表示什么意思？

生3：从竖式来看，先用16 个位上的6 乘128，得6×128=768，再用16 上十位上的1 乘128，得10×128=1280，再把这两个数加起来就等于仓库一共购进的箱数——2048箱。

师：竖式对应到图上，分别是哪一部分？你能用线连一连吗？

（学生表达并连线）

师：下面我们把这一个乘法竖式完整地来写一写。

（关注每一步计算结果的末位与谁对齐，表示什么）

【思考】

本环节依托“仓库购进迷你南瓜”的问题情境，探索128×16 的笔算方法。这一探索过程需要循“理”入“法”，满足“理”和“法”的相互融合。根据学生的年龄和认知特点，借助图形帮助学生理解三位数乘两位数的算理与算法，与已学过的笔算乘法衔接，并实现知识的有效迁移。在呈现的顺序上与前面学过的整数乘法有所不同：先尝试列竖式解决，再结合图示进行解释。学生已经具备一定的笔算乘法的能力，看到算式后，可能更倾向于直接列竖式计算。虽然学生的笔算方法是由经验直接迁移过来的，但是“算对了”并不一定就是真正“会算了”。因此，采取先列竖式计算的方式，符合学生的认知心理。随后，用图形来解释竖式计算中每一步的含义，让图形成为解释算理的工具，使学生加深对算法的理解，实现从“讲清事理”到“理解算理”，再到“建构算法”的过程，实现理法交融。

片段三：框架图搭建，完善知识结构

师：回顾一下，我们学习过哪些乘法的计算？

生1：我们学习过三位数乘一位数、两位数乘两位数、三位数乘两位数、两位数乘一位数，还有一位数乘一位数。

师（出示写有不同类型的乘法的牌子）：瞧，我们学了这么多种乘法，你能不能摆一摆，让它们更有序、让人看得更清晰？

生2（边摆边说）：把“一位数乘一位数”放在最上面，再把“两位数乘一位数”放在“一位数乘一位数”下面，然后把“两位数乘两位数”放在“两位数乘一位数”旁边，接着把“三位数乘一位数”放到“两位数乘一位数”下面，最后把“三位数乘两位数”放在“三位数乘一位数”旁边。乘号的左边是按照一位数、两位数、三位数的顺序排列的。

师：如果按照这个方式继续拓展下去，你觉得我们还将会学习怎样的乘法计算呢？

生3：三位数乘三位数、四位数乘一位数、四位数乘两位数、四位数乘三位数、四位数乘四位数……

师：这是大家的想法，其实我们的学习并不是这样的顺序。在我们的课本当中对于整数的运算只学习到今天这节课——三位数乘两位数的笔算，后面就不再安排相关知识的学习了。为什么不学了呢？想一想，把你的想法跟同学说一说。

（学生交流并汇报）

生4：我觉得只要掌握了计算规律，后面的数无论多大都可以算出来。

生5：我感觉它们之间是有联系的，三位数乘两位数乘了两次，每一次都是三位数乘一位数，我想，如果是三位数乘三位数，应该是乘三次，每次还是三位数乘一位数。照这样，就可以计算其他的大数的乘法了。

生6：我发现，不管是几位数乘几位数，都可以转化成几位数乘一位数，而乘一位数实际上就是在算一位数乘一位数，都回归到了一位数乘一位数的表内乘法。

（教师板书如图4所示）

图4

【思考】

在回顾与建联的过程中，学生发现计算总是经历“横向溯源”和“纵向溯源”两个过程。横向看，不论是几位数乘几位数，都可以回归到“几位数乘一位数”，只是乘的次数不同，如“四位数乘三位数”需要计算三次“四位数乘一位数”；纵向看，不论是几位数乘一位数，都可以回归到“一位数乘一位数”，同样是乘的次数不同，如“四位数乘一位数”需要计算四次“一位数乘一位数”。这样的发现使学生的思维连成一个整体，进而发现新知识与旧知识的循环转化，以及整数乘法运算本质上的一致性。回顾、整理、拓展、建联的过程不仅使方法得以向后延续，也实现了向前回归。通过梳理与转化，将所有整数乘法建立密切联系，学生经历知识点构建成知识网的过程，通过推理算法，形成整体性、结构性的认识与思考。

［总结］

本节课是一节典型的计算课，需要让学生经历算理、算法的探究提升过程，进而形成运算技能，同时，作为“节点课”，它承载着梳理知识、建立联系及把握乘法计算本质等任务。这一课的教学，本身也是培养学生运算能力的一部分，通过明晰算法，为后续准确、熟练运算奠定坚实基础。

“三位数乘两位数”的笔算从本质上看是打通各种类型整数乘法计算的脉络，转化为表内乘法的计算。从思维方法上看，从“两位数乘一位数”开始，就已经涉及乘法分配律的运用。虽然“两位数乘两位数”的运算在形式上有所区别，只是运算步骤增加了，但本质是相同的，“三位数乘两位数”同样如此，学生有了前期多种运算的经验，更容易在探寻运算本质的过程中感受一致性。这有助于他们将所学知识应用于更多整数乘法的计算中。在对比和分析各种乘法的计算方法时，学生发现其中的共性，领悟“先分后合”的数学思想，体会知识间的内在联系，进行结构化思考。

教师进行整体教学，注重知识的延伸点，让学生“见树木，也见森林”。从已有知识出发，从“两位数乘两位数”到“三位数乘两位数”，再到其他复杂多位数相乘的计算归纳，逐步扩出一片“林”，织出一张“网”。通过这种渐进式的教学方式，学生不仅对整数乘法有整体把握，也可能跳出整数乘法系统，将整数乘法与整数加法、减法及整数除法结合，形成一个综合和完整的数学运算体系。在不断联系知识、丰富认知的同时，学生的知识结构也不断完善，知识之间的联系不断丰富、逐步紧密。

学习的真正意义在于学习者厘清事物的内在联系，积极构建合理的认知结构。学生将知识相连的过程，是构建知识、迁移方法的过程，这一过程使简单、碎片化的知识连成线、织成网，让知识结构化，让学生的数学思维能力及学习能力得到提升，从而提高数学素养。