U型理论：让数学基本思想从碎片到整体

南京师范大学附属小学（210018） 钟 树

史宁中教授在其著作《数学基本思想18 讲》中提出“判断数学基本思想的原则有两个，一是数学产生和发展所必须依赖的思想，二是学习过数学的人应当具有的基本思维特征”，并基于此判断标准，将数学基本思想归结为抽象、推理和模型。

数学教育，尤其是小学数学教育作为培养学生素养的重要阶段，学生内化和运用数学基本思想的能力无论是在过程性评价还是终结性目标中都具有重要意义。本文将借鉴管理学中的U 型理论内涵，构建“数学基本思想U型学习模型”。

一、关联性想象：数学思想与U 型理论的本质追问

（一）三大数学基本思想的形成是一个连续的整体，它们共同构建了个体的数学思想体系

作为三种主要的数学基本思想，抽象、推理、建模三者既是数学基本思想中各有特点的三个维度，又是统一融合的有机整体。面对生活中的数量关系、图形关系等，学生经历第一次抽象后会得到基本数学概念，这是从感性认识上升到理性认识的思维过程；在此基础上，学生会对学习内容进行二次抽象，并在此过程中理解初次抽象过程中的概念之间的关系。与此同时，在二次抽象的基础上，学生会通过逻辑推理解决一些数学命题，并在推理过程中积累数学活动经验，初步尝试运用数形结合、猜测、列表、画图等方法构建基于具身认知的数学模型。

随着数学知识的累积及生活中面临的问题越来越多，出于解决实际问题的需要，学生会产生构建数学模型的需求。需要注意的是，一方面，数学模型有其适用的范围；另一方面，学生由于自身经验及认知不同，对同一个问题会构建出不同的模型。因此，数学模型的构建在小学阶段具有不严密性及具身性，但不妨碍其作为有效的解题路径和进一步进行数学思考的基础。

（二）U型理论是现代管理学中的重要理论

U 型理论是由麻省理工学院斯隆管理学院资深讲师、探索变革深层动力的组织学习大师奥托·夏莫针对领导力与管理学提出的理论。完整的U型图外形呈现出一个完整的“U”字形（如图1）。U型理论适用于多个领域，具有强大的解释功能。

图1 U型理论的核心流程

（三）U型理论与数学基本思想的关联

目前绝大多数学习和变革方法都以库伯的“学习圈理论”为基础，该理论指出学习的顺序是观察→反思→计划→行动。目前课堂学习对于数学基本思想的涵育也是如此，但这种学习方法不仅缺乏激发学生内驱力和创新力的机制，还无法将不同数学基本思想融会贯通。

为了改善这一现象，笔者借鉴了管理学中的U型理论，对三种数学基本思想之间及其与生活的关系进行整体架构，构建“数学基本思想U 型学习模型”（如图2），并以此模型为指导，对教学内容与教学方式进行创新，同时对模型进行优化迭代。

图2

二、创造性实践：小学阶段数学基本思想认知的整体构建

（一）还原与下沉，夯实抽象思想

“加强课程内容与学生经验、社会生活的联系”是课程建设的一个基本原则。如果不加强数学与生活的联系，数学学习就仅仅是纸上谈兵，“用”将无从谈起。弗赖登塔尔也认为：数学与现实世界的联系，是排在第一位或最重要的数学素养。“数学基本思想U 型学习模型”中对于抽象这一基本数学思想的定位，正是通过数学的眼光将生活中的现象、问题下沉至数学世界，用理性智慧为生活染上数学底色。

数学的视角主要关注抽象的数量关系和空间形式，因此我们可以将其理解为数学抽象，尽管这并不完全等同于数学抽象本身。与之相比，数学的眼光则相当于进入数学抽象世界的门槛，即没有数学的视角，就无法真正理解数学抽象的本质。在“数学基本思想U 型学习模型”中，数学的眼光是从现实世界到数学世界的第一步，通过数学的视角开始认识和理解数学抽象。这种方法不仅符合核心素养的要求，而且遵循学生已有的经验和自然生长的抽象能力。同时，它对于培养学生推理和建构数学基本思想的能力也具有重要作用。下面举例说明。

1.形成数学眼光，内化抽象思想

在日常生活中，学生很早就接触了各种平面图形，并且不可避免地要比较它们的大小。因此，在系统学习“面积”之前，学生通常会通过重叠的方法来比较图形的大小，这种方法蕴含着学生对生活经验的抽象。而通过研究可见、可触摸的图形来进行度量，是学生对现实生活进行的第一次抽象。

到了三年级下学期，学生会接触面积的概念，并系统学习与面积相关的知识，需要比较类似图3-1 的图形面积大小。此时，由于经验不足，学生会产生对度量方法的迭代抽象的需求，将度量线段时的经验迁移到图形面积的度量中。因此，使用格子作为度量单位来定量描述图形面积大小（如图3-2）就自然而然地呈现出来。

图3-1

可以看出，培养抽象思维需要同时重视两个方面。一方面，教师具备数学的眼光，立足生活实际，尊重学生的自然经验，并重视他们在日常生活中所体现出的实践智慧和抽象能力。另一方面，在课堂学习中，教师需要适时引导学生，利用学习资源有针对性地培养他们的抽象思维。

2.锚定学习实际，运用抽象思想

在小学数学课堂教学中，常常会出现一些被称为“种子题”或“探究题”的问题。这类问题不仅具有一定难度，也具有较强的探究价值，通常需要学生综合运用单元或多个知识与技能来解决。同时，这类问题本身及其结论往往都具有较强的抽象性。学生在解决这类问题的过程中，常常会陷入仅仅就问题本身进行讨论的死局，便无法很好地获得和发展数学基本思想和方法。这导致许多优秀的学习资源流于形式，没有得到充分利用。

苏教版教材六年级下册26 页中有一道题（如图4），这样一道现实感很强的探究问题，可以调动学生运用多种数学思维解决问题的兴趣。

图4

为了更好地帮助学生提升数学素养，提高课堂学习的效率，笔者根据这道题设计了研究单供学生探究（如图5）。

图5

学生在讨论后普遍会推理得到结论：同样一张纸，横着卷比竖着卷体积更大。在此基础上，教师需要适时引导，帮助学生整合数学基本思想。

在探究过程中，主要就是将文字问题抽象为数学表达。一旦完成抽象，学生会根据任务要求进行实际操作，例如转动、卷曲，且在测量数据后进行比较，从中获得原始经验。在此基础上，每个学生将自己得出的结论在小组内进行讨论。在讨论的过程中，每个学生都要合情推理、归纳总结，尝试得出比之前更完善的结论。

通过讨论，学生普遍会推理出较为完善的结论：同样一张纸，横向卷比纵向卷得到的圆柱的体积更大。这个结论是基于他们对实际操作和数据比较的综合理解。在这个关键时刻，教师需要适时引导学生。于是，笔者设计了问题“对于所有的长方形纸来说，是否都有这个现象呢？”在这种情况下，学习目标发生了变化，对学生思维的要求更高了。在小组讨论中，学生可能会想到使用字母表示数值来证明。这个二次讨论的过程对学生而言，既是将数字抽象为字母、将观察到的现象抽象为原理的过程，也是从特殊结论到一般结论的推理过程。学生在探究一个问题的过程中会接触多种数学基本思想，这是数学基本思想品质提升的关键一步。

（二）经验与探究，深耕推理思想

推理思想在小学数学学习阶段主要表现为推理意识，即对逻辑推理过程及其意义的初步感悟。通过推理意识的培养，学生能够进行合情推理和初步的演绎推理。这有助于培养学生的独立思考能力、勇于探索的科学精神、实事求是的科学态度，并促进他们在数学学习中形成数学思维。

在“数学基本思想U 型学习模型”中，推理思想是对数学经验进行探究的重要工具，起着关键的作用。一方面，教师需要对从现实世界和数学世界抽象出的经验进行演绎和归纳，使其具有一般性和普遍性；另一方面，教师需要关注经过推理而得出的结论的正确性和实践性，并进一步运用推理所得的理论指导学生建模，以满足学生运用数学思想解决实际问题的需求。下面举例说明。

1.单元整体构建，探索演绎推理

随着《义务教育数学课程标准（2022 年版）》的颁布和实施，以课时为单位的碎片化教学方式正在改变，大单元教学越来越受到重视。大单元教学让演绎推理思想在小学数学学习中扮演了更重要的角色。通过大单元教学，学生能够更好地理解数学概念和原理，并能够运用演绎推理的方法验证数学命题。这种教学方式有助于培养学生的逻辑思维能力和问题解决能力，提升他们在数学学习中的综合素养。

以苏教版教材三年级下册第一单元“两位数乘两位数”为例。在充分挖掘教材内容的基础上，笔者重组新授部分例题，以本单元中的两位数乘两位数竖式为主题，以乘法口诀与加法为基础，以演绎推理为路径，在联结学生学习实际经验与学习内容的基础上，创新课堂教学方法，提升学生的推理意识（如图6）。

图6

在这个案例中，学生紧紧围绕两位数乘两位数竖式，以竖式结构为推理起点，通过一系列驱动问题逐步推理出竖式构建的规则和底层逻辑。通过演绎推理，学生理解了计算两位数乘两位数竖式的算理和算法。在此基础上，通过多元表征，具象化竖式内部的结构，完成了从一般到特殊的演绎过程。这个过程不仅帮助学生掌握了具体的计算方法，还培养了他们对数学概念和算法进行抽象的能力。这种通过演绎推理所构建的活动经验，对于学生后续学习三位数乘两位数、小数乘法等更为抽象的内容，都是非常宝贵的财富（如图7）。

图7

2.打通理解脉络，完善归纳推理

在小学数学学习中，分数乘法的意义较为抽象，学生往往难以理解。然而，理解分数乘法的意义对于提高分数乘法的计算能力至关重要。《义务教育数学课程标准（2022 年版）》也强调学生理解运算的道理和得出准确的运算结果的重要性。然而，笔者通过大量的课堂观察发现，学生对分数乘法意义的理解往往表现为浅层次、单一性和呆板性，影响了他们的运算能力的提升。笔者认为采用归纳推理可以较好地改善这种状况。

（三）反思与上浮，激扬模型意识

模型意识是指学生对数学模型普适性的初步感悟，认识到数学模型可以用来解决一类问题，并意识到现实生活中许多问题都与数学有关，可以用数学概念和方法进行解释。培养学生的模型意识对于其数学应用能力的发展至关重要。在培养学生的模型意识时，有几点需要注意：第一，需要创设真实的问题情境，让学生亲身参与解决问题的过程；第二，利用典型实例，让学生感受到数学模型可以解决一类问题；第三，要尽可能组织跨学科主题活动，并在活动中突显数学的应用价值。

建模思想作为人们与现实世界沟通的桥梁，在“数学基本思想U 型学习模型”中是反思与上浮的重要路径。具体到小学数学学习，下面以数据的统计与整理为例，解释模型思想价值的体现。

1.创新跨学科实践，用模型描述生活

在小学数学学习中，有许多内容与实际生活密切相关，特别是在统计领域，经常需要对生活中的数据进行统计和整理。因此，表格模型成为小学阶段模型思想的体现。

以养蚕宝宝为例，教师可以结合课程内容，引导学生走出课堂，围绕蚕宝宝开展相关活动，如饲养、观察、测量等。学生可以在实践中感受传统文化，体验从蚕卵到丝绸的完整过程。这种跨学科学习可以融合语文、数学、英语、科学、信息技术等学科要素，实现任务式学习。例如，学生可以追溯文字、测量蚕的身长和体重、统计数据、应用数学概念等，并通过技术支持和交流来展示学习成果。

跨学科学习是提高学生运用数学基本思想解决实际问题能力的重要手段。在跨学科学习中，首先，要找到活动与数学的契合点，如将蚕的研究与数据的收集和整理单元结合起来；其次，要细化研究内容，思考如何进行研究，例如如何测量蚕的身长和体重，并选择合适的方式和工具进行测量；最后，要完成较为系统的学科研究报告，以展示学科研究的成果和结论。

学生经过独立思考和分组讨论之后，确定用表格呈现研究结果。于是，一张张充满个性的表格产生了（如图8）。到六年级的时候，可以将此表格拿出来，结合正比例关系这一知识，优化表格数据。

图8

2.回溯基本知识理解，用模型助推认知

“加法模型”是《义务教育数学课程标准（2022年版）》中新增的内容，旨在培养学生的模型意识。学生在学习的过程中，可以通过多元表征表达对加法数量关系的理解：首先通过具体情境和已有经验，完成对数量关系式的抽象；接着基于数量关系式共性的提取，完成对加法模型本质的儿童化表征；最后在融通中完成数学模型的构建（如图9）。

图9

可以看到，三大数学基本思想紧密围绕数学核心素养，并形成一个整体，从生活中抽象出数学概念，在推理中理解数学本质，最后利用数学建模解决现实生活中的问题。在U 型理论的指导下，数学基本思想鲜活且完整。

综上，学生在学习数学的过程中，首先，要意识到数学基本思想的重要性；其次，要在独立思考和合作交流的过程中逐渐形成优秀的思维品质。另外，教师要不断更新教学方式，这样方能提升学生的数学思维，提升学生运用数学思维解决实际问题的能力。