立体几何的能力考查及备考策略

郑超超

新课程改革后，高考由知识立意向能力立意转化，因此高考命题把对学生能力的考查放在了首要位置，其中主要包括空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力、抽象概括能力．立体几何与空间向量是高中数学核心内容，承载着能力考查的重任．下面以教材为依托，分析能力培养目标及备考策略．

１ 立足教材

教材是高考命题的依据，也是教师教学、学生备考的依据，因此我们要认真研读，透彻理解，把握备考方向．教材中立体几何、空间向量的重点内容主要包括几何体的体积、面积，空间点、线、面位置关系的判定和性质，应用空间向量求空间角与空间距离等．

２ 培养能力

２.１ 空间想象能力

考题中所涉及的几何体大部分是以直观图的形式体现的，但也有些题目没有给出图形，需要我们自己去构图辅助解答，这就对考生的空间想象能力提出了更高的要求．

例１ 如图１所示，正方形ABCD 和正方形CDEF所在的平面互相垂直．Ω１ 是正方形ABCD 及其内部的点构成的集合，Ω２ 是正方形CDEF 及其内部的点构成的集合．设AB＝１，给出下列三个结论：

① ?M ∈Ω１，?N ∈Ω２，使MN ＝２;

② ?M ∈Ω１，?N ∈Ω２，使EM ⊥BN ;

③ ?M ∈Ω１，?N ∈Ω２，使EM 与BN 所成角为６０°．

其中所有正确结论为______．

解析

结合题目图形特征构造正方体，如图２ 所示，当点M 与B 重合，N 与E 重合，MN 为正方体的对角线，其最大值为３＜２，所以命题①错误．

当点M 与D 重合，点N 与C 重合时，有EM ⊥BN ，所以命题②正确．

当点M 与C 重合，点N 与D 重合时，BN ∥EH ，EH 与EC 所成角为６０°，则EM 与BN 所成角为６０°，所以命题③正确．

综上，正确的命题为②③．

２.２ 推理论证能力

空间中点、线、面位置关系的判断是高考命题的常考形式，此类问题的处理需要考生具有严谨的推理论证能力．

例２ 如图３所示，在四棱锥PＧABCD 中，AB ∥CD ，平面PAB ∩平面PCD ＝m ，證明：CD ∥m ．

证明 因为AB ∥CD ，AB ?平面PAB，CD ?平面PAB，所以CD ∥平面PAB．又CD ? 平面PCD ，平面PAB∩平面PCD ＝m ，所以CD ∥m ．

２.３ 运算求解能力

空间向量是处理立体几何问题的重要途径，特别是在空间角和空间距离等问题的求解中具有广泛应用．利用空间向量的坐标运算，将几何问题代数化，这一过程有效体现了高考对考生运算求解能力的考查．

例３ 如图４所示，在长方体ABCDＧA１B１C１D１ 中， 底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA１上，BE⊥EC１．

（１）证明：BE⊥平面EB１C１;

（２）若AE ＝A１E，求二面角BＧECＧC１ 的正弦值．