学生解答高考数学题的思维障碍破解策略探究

摘 要：培养學生数学思维是数学教育的核心目标，数学思维也是数学高考改革的重要考查方向，文章通过分析全国高考数学卷，明确高考卷对中学教学的引导方向，探索学生在解高考题时存在的典型思维障碍，并进行成因分析，最终提出了破解方法。

关键词：数学思维；思维障碍；教学方法

中图分类号：G633.6   文献标识码：A   文章编号：1673-8918（2024）07-0066-05

一、 数学思维：数学高考改革的重要考查方向

《普通高中数学课程标准（2017年版）》指出，数学教育要引导学生会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界，促进学生思维能力、实践能力和创新能力的发展。高考作为中学教学的指挥棒，肩负引领教学方向，为社会和国家选拔人才的重任，其改革的重要考查方向也是以促进数学思维，培养学生逻辑能力和创新能力为导向。

高考卷在引导中学教学方向上起到怎样的作用？笔者分析了2023年的全国新高考1卷数学试题，发现其有以下几个特点：

（一）重视思维基础：强化对基础知识的深入理解和综合运用

全国新高考1卷突出对基本概念、基本原理等内容的考查，强化对基础知识的深入理解和综合运用，弱化“二级结论”，尽量回避高等数学的应用。例如，第3题考查平面向量垂直的充要条件、第5题考查向量的定义，这些试题来源于教材，回归到对基础知识的考查，凸显基本概念、基本规律和基本原理的重要地位。对中学数学教学回归课标、回归教材有积极的引导作用，教师要引导学生重视对基础知识本质属性和内在联系进行深刻理解与充分掌握，通过深化基础知识教学，培养学生能力素养。

（二）促进思维活力：创新开放性考查方式，问题解决途径灵活多样

新高考1卷重视思维的灵活性，突出问题解决路径的多样性，为不同水平的学生提供发挥空间，不拘泥于死板单一的思路，对同质化的思维具有很强的包容性。学生在解题过程中，体现出有价值的思维，包括与这个数学问题有关联的、准确的原理、知识点、性质等，均可得分。以第20题为例：

设等差数列｛an｝的公差为d，且d>1。令bn=n2+nan，记Sn，Tn分别为数列｛an｝和｛bn｝的前n项和。若｛bn｝也为等差数列，且S99-T99=99，求d。

此例中，学生的思路很多，方法各异。从等差数列的性质出发，包括：等差中项（列出12a2=2a1+12a3），后一项减去前一项的差为常数（列出an+1-an=r），等差数列的通项是一次函数等性质（列出bn=n（n+1）a1+（n-1）d=b1+（n-1）r），均可通向最后的结论，解决问题。

这样的题型设置，不拘泥于一种标准解法，倡导学生将与问题有关联的、有价值的思维联系起来并深化理解应用，也旨在促进教师在平时的教学中，发展学生思维的灵活性，让学生学会分析问题，从多角度思考去解决问题。课堂上，教师要借助一题多解的形式，引导学生积极利用对比、联想等方法，拓展解题思路，锻炼思维的灵活度与敏捷度。

（三）注重思维品质：强调融会贯通，会用关键能力解决实际问题

高考试题联系学生的学习和生活实际，创设真实的学习探索和日常生活情境，考查学生运用所学知识解决具体问题、理论联系实际的能力，引导学生关心日常生活、生产活动中蕴含的实际问题，助力核心素养的落实。

例如，新高考1卷中的第21题，以投篮为背景，巧妙地将概率问题融入两人连续投篮的情景当中，贴近生活实际创设问题情境。试题将概率的加法和乘法公式，等比数列的构造和计算有机结合，重在考查学生的逻辑思维能力，以及对事件进行分析、分解和转化的能力。引导中学教学不断提高课程实施水平，重视在基础知识深层次理解基础上的融会贯通，深入考查思维品质。让学生运用必备知识和关键能力解决实际问题，体会课堂所学内容的应用价值，从而激发学习兴趣，为促进终身发展努力学习。

二、 学生在解高考时存在的典型思维障碍以及成因分析

研究错题，思考学生答题错误的成因是一项有意义的工作。每一个错题都不是偶然，它反映出学生对原理、定理等认识不清，理解不准确或记忆错误等问题，以及在运算推理过程中，思路不清，方向不明导致的推理错误等问题。追本溯源，是学生长期积累的一些不恰当的学习方法造成了数学能力薄弱，进而阻碍了数学素养的发展，形成了思维障碍。

分析学生常见的思维障碍主要有：

（一）认知型思维障碍

1. 认知型思维障碍的特征及表现形式

认知型思维障碍主要是指学生在数学问题解决中，无法利用某一知识与数学问题之间的联系解决数学思维困境，或者出现知识记忆错误的情况。以新高考1卷19题为例：

如图，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AB=2，AA1=4，点A2，B2，C2，D2分别在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2=1，BB2=DD2=2，CC2=3。

（1）证明：B2C2∥A2D2；

（2）点P在棱BB1上，当二面角P—A2C2—D2为150°时，求B2P。

本题的第一小问是一个证明线线平行的问题，学生在卷面上反映出来的典型错误有：

错误证法1：由面面平行直接推导出线线平行，这属于定理记忆错误；

错误证法2：由面面平行，推出线面平行，再推出线线平行，错误原因是由线面平行推导到线线平行的过程中缺少共面的证明，属于运用定理不准确问题；

错误证法3：用两组对边相等，推出平行四边形，证线线平行。这种错误的原因同样是缺少共面的证明，推理过程不准确。

2. 认知型思维障碍的成因分析

学生之所以会产生对原理、定理理解不准确或记忆错误的问题，主要是在学习过程中有一些不正确的学习习惯，如对概念学习只求记忆，不求理解，对性质推论，只求结论，不求过程。

首先，高中数学的概念课，要求在情境中抽象出数学概念、命题和方法，学习过程贯穿数学概念的产生、发展和应用等。如果学生在学习过程中，只是死记硬背公式和定理，不求甚解，忽略了知识产生发展的过程，就会影响知识的灵活应用。

其次，在数学学习中，一些学生追求所谓的“效率”，忽视逻辑推理的过程，只追求一些现成的二级结论并将其用以解题。然而，只记住结论，往往会在题目错综复杂的变幻中迷失方向。只有拥有逻辑推理的能力，提高自身思维能力，才能以不变应万变。逻辑推理素养是伴随着数学知识出现，却不会随着数学知识消失的一种思维方式，是学生要具备的关键能力之一。在教学中，教师要引导学生对定理、推论进行正逆两方面的推导论证，重视推理论证的过程。同时，教师还可以对已有的例题进行变式、延伸，进而培养学生抓住问题本质的能力，提高学生的逻辑思维能力。

（二）定式型思维障碍

1. 定式型思维障碍的特征及表现形式

定式思维是指学习者在长期的固定化思维状态下形成的一种习惯性思维方向，具体表现为思维专注性或者思维趋向性。对于高中学生来讲，定式型思维不利的影响在于学生在知识的学习中依靠记忆，问题的思考中循规蹈矩，问题的解决中盲目模仿，思维呆板，灵活性不强，长此以往养成了惰性思维，不利于学生思维能力的发展。

我们仍然以新高考1卷的19题立体几何为例，此证明题除了用几何定理推出线线平行，还可以通过建立坐标系，利用两直线的方向向量平行，从而得到两直线平行的方法。在阅卷过程中，“向量法”的准确率更高，相对“几何法”更有优势，也更便利。但是，只有较少的学生利用“向量法”来解决这个问题，是学生没有想到“向量法”吗？也不尽然，此题的第二问，是一个空间角中的二面角问题，绝大多数的学生都采用了建立坐标系，用向量解决空间二面角的问题。所以，这就是一个典型的思维定式的问题，学生依据经验，认为证明线面关系多用“几何法”，求空间角多用“向量法”，进而不深入思考就去套用，而不是通过分析问题，灵活处理，找寻最佳解决方法。

2. 定式型思维障碍的成因分析

定式型思维形成的原因是在课堂教学上，没有真正触发学生的思维活动，一些看似高效的课堂，其实只是教师传授、板演，学生模仿、操练的过程，忽略了教学中最重要的环节：即让学生学会思考分析问题。尤其是解题教学，要弱化甚至避免没有分析的套路化解题，把“让学生学会思考”作为解题教学的灵魂。通过变式、一题多解等方式，让学生理解问题的本质，找到解题的突破口，进而归纳总结出解决问题的最佳方案，提高学生的思维能力。

例：设a>0，b>0，且1a+1b=1，求a+2b的最小值。

变式：设a>0，b>0，且12a+b+1b+1=1，求a+2b的最小值。

此例中，很多学生都会用a+2b=1a+1b（a+2b）=3+2ba+ab≥3+22求得，但如果只是记得“相乘”这个套路，到变式，两式相乘就无法解决最值问题，就无从下手了。所以，还是要去分析“相乘”的意义在哪里？这个解题方法的本质是将1a+1b化为a+2ba+a+2bb这样的“齐次式”，进而利用把ba当作整体的思想，达到消元的目的。经过分析，学生就可以尝试对变式解法的探索：

解法1：化为齐次式的关键是次数相同，因此可以用换元的方法转化成例题的形式。令2a+b=x，b+1=y，得到：b=y-1，a=12（x-y+1），且1x+1y=1，得：a+2b=12（x+3y-3）=12（x+3y）1x+1y-3=121+3yx+xy≥1+232。

当且仅当a=12+33，b=33时取等号。

解法2：利用消元思想

解：由12a+b+1b+1=1，可得a=b+1-b22b>0（b∈0，1+52），所以a+2b=3b2+12b+12≥3+12，当且仅当b=33时等号成立。

（三）“见山是山”型思维障碍

1. “见山是山”型思维障碍的特征及表现形式

数学是一门通过量化关系寻求逻辑关联的学科，它通过从具体事物中抽象出数量关系，建立数学模型，分析不同事物之間的内在本质联系，从而找到解决问题的方法。然而，不少同学无法转化思维，不会用数学逻辑去思考问题和解决问题，主要表现为：（1）同样本质的题目只要换个方式，有些学生就不知道该如何作答。（2）对数学的各个知识点的掌握是单一的，孤立的，不能建立知识点之间的相互联系和转化。

例：已知直线l：x-y+1=0，若P为l上的动点，过点P作⊙C：（x-5）2+y2=9的切线PA，PB，切点为A，B，当｜PC｜·｜AB｜最小时，直线AB的方程为？

此题重点考查学生是否有数形结合的思想，能将线段PC和AB的乘积转化为线段PC的长度，从而解决线段PC的最值问题。学生在卷面上反映出来的问题主要有：

问题1：没有把动态的｜AB｜进行转化的思想，直接求｜AB｜，未知数太多，不能解决最值问题；

问题2：没有很好地建立知识点之间的联系，不能联想到利用面积S=12｜PC｜·｜AB｜=3｜PB｜=3｜PC｜2-9来实现变量之间的转化，化多变量为单变量问题，从而求出最值。

2. “见山是山”型思维障碍的成因分析

此类型的思维障碍成因最为复杂，甚至有人认为能否把各个知识点的应用融会贯通，实现灵活转化，取决于学生是否有数学天赋，也就是所谓的“悟性”。但事实上，很多理论与实践研究表明，学习能力的差异性主要源于后天积累，其中学习方法是很重要的因素。数学学习不是建“空中楼阁”，它是建立在一定知识、技能基础上的，学生要从一个知识点能联想到另一个知识点，并实现两者之间的转化应用。首先，要有东西可“想”，这些东西就是学过的知识和方法。没有强大的知识储备，联想就无法展开，造成思维受阻。因此，不能顺利实现知识点间灵活转化是因为学生对基础知识不熟悉，对方法技能的不熟练。

此外，在教学中，如果对各个模块的学习是分裂孤立的，不注重新旧知识之间的联系，解题教学时就题论题，不去挖掘公式是否有多种形式，定理正逆两方面是否都成立等更深入的问题，学生的学习也将只停留在“认知”阶段，难以有思维的提升拓展。根据布鲁纳的认识发展理论，从学生已经建立的知识结构中找到最有效的认知和途径来接受新知识，这样旧的知识就得到不断扩充，原有的知识结构得到重组，知识和能力的提升才能得到螺旋式上升。

三、 学生数学思维障碍的破解策略

（一）重理解：厘清数学知识的生成发展与逻辑结构

数学概念是学好高中数学的基石，其重要性不言而喻。因此，教师首先要重视数学概念的教学。简单的知识罗列和记忆的方式，并不能使学生理解深刻定义，往往存在一知半解的现象，不能真正掌握概念。如何向学生揭示概念的本质？首先，知识的学习是循序渐进的，教师要让学生先找到与新知有关的旧知，联系已经掌握的知识去学习新的概念，从而让学生掌握知识的基本规律，理解知识的内涵。

例如，高中必修1中《三角函数的定义》的教学，可以结合初中学过的三角函数的定义，两者有联系也有区别，在高中阶段，我们把角的范围扩充到全体实数，初中的定义已经不适用于实数范围内的角了。教师应先让学生感受到这种冲突，并试图寻求突破，再通过初高中三角函数定义的联系，逐渐找到新的定义。在教学中，以学生为主导，思考概念的形成过程，引导学生进行思维的联系，逐步形成知识结构体系。

其次，结合一些具体的实例，通过类比、归纳等方法，由特殊到一般，从事实案例中抽象出概念性质，让学生体会数学概念的生成发展过程，经历归纳推理、演绎推理等过程，学生就会更易于理解和接受新的知识。例如，在学习《平面向量的概念》时，可以结合物理中的位移、功、力等，归纳它们共同的特点是既有大小又有方向，区别只有大小的数量，进而理解向量的概念。

（二）重推理：自觉养成用数学概念、性质解决问题，开展数学思维的习惯

数学概念和定义是中学数学的基石，通过建立完整的数学逻辑思维和框架，才能促进数学体系的建立。学生要通过对知识的梳理和分析，厘清知识之间的内部逻辑关系，做到对知识点的整合应用。在教学中，促使学生在分析问题和解决问题中引发自身的思考，不断积累数学经验，以此来提升学生的数学能力。

比较典型的是考试中的“信息給予题”，这是一种能力型题目，其背景新颖、构思巧妙，不仅能有效地考查考生的知识迁移能力，同时也能考查考生的自学能力、思维能力和继续学习的潜在能力。解决这类问题，首先，要逐字逐句阅读题干，理解发现信息。其次，要提炼信息，从中发现规律。最后，要找出这些信息和相关规律，并与所学的相近知识进行整合，推理迁移旧知到新知，实现解决问题的目标。

（三）重方法：通过典型例题，学会数学思维方法

许多教师为了帮助学生掌握解题方法，倾向于直接分析解题过程，但无论是长篇大论地照本宣科，还是辛辛苦苦地板书讲解，都不利于学生将思维方法内化为自己的能力，往往学生自己解题时还会遇到困难。笔者关注到数学学习优秀的学生，往往源于他们长期积累的一些好的思维方式和习惯，这些促进了他们数学能力的提升。

首先，注重拓展，热爱“刨根问底”。对知识不能只停留在“认知”阶段，要思考公式的变形，逆定理是否成立等；对解题方法不能只停留在“理解”阶段，要思考题目考查了什么知识，出题的意图是什么；对章节内容的掌握不能只停留在“零散”状态，要有全局观，复习整理一整章学习的内容和方法，通过画思维导图等方式概括出知识点之间的联系。

其次，注重联系，善于相互转化。考试中出现的综合性问题，往往不是只考查一个孤立单一的知识点，是几个知识点的融合。例如：解析几何中的最值问题，往往会先考虑数形结合，把最值转化并化简，常见的有把圆上的动点转移到与圆心有关的量；两条动线段之和（“将军饮马”模型）转化成一直线等。但当几何意义不能直接解决最值问题时，我们又会通过设坐标、列代数式、转化成函数模型，利用函数单调性求最值的方法解题。因此，探索知识点之间的联系，知识点与题目之间的联系，以及解过的旧题与新的题目之间联系，才能够快速的转化路径，从而找到下一步的思维方向。

最后，注重发散，勇于大胆猜测。猜想是点燃创造性思维的火花，“观察（实验、分析）—猜想—证明”是数学乃至科学发展的重要途径。要通过对所研究问题进行合情推理，提出猜想，再进行逻辑论证。推理时，优秀的学生往往善于用特殊化、极限化、猜测、类比、举反例等多种方式去寻求解题方向，这使得他们思维敏捷，能够举一反三，这也是学生创造力的体现。

（四）重归纳：做到一题一类一片，做好归纳整理，积累数学经验

高考主要考查学生对基本知识、基本规律和方法的掌握程度，注重对知识的理解、归纳、整理与应用。想要让学生在考场有思路、会灵活地分析和解决问题，不能靠“题海战术”，更不能靠押题、猜题。教师要在数学解题过程中，通过对典型数学问题的解决进行深入分析，挖掘其中的数学价值，并尽可能地寻求较多的解题思路和方法，再通过适当变式训练，讲清一类问题的通法通解，概括一类问题的解决策略，并用“一题多解”等方式探究各个知识点的纵横联系，培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力，真正达到“解一题懂一类通一片”，以不变应万变，真正提高解题思维与解题能力。

参考文献：

［1］佚名.深入考查基础知识和能力助力人才选拔和“双减”落地——2023年高考数学全国卷试题评析［J］.中国考试，2023（7）：15-21.

［2］韦丽琴.初中生数学思维障碍的表现与突破［J］.教育界，2020（5）：54-55.

［3］梁东旺.化学教学中培养学生创新能力的认识与实践［J］.中学教学参考，2012（14）：75-76.

作者简介：吴叶芳（1982～），女，汉族，浙江杭州人，浙江省杭州市萧山第二高级中学，研究方向：高中数学教学。