均匀带电的无限长直导线电势问题的正规化处理

高向东　王雯宇　曾定方

摘 要 若在基础物理课程的教学中合理融入现代物理学研究的概念与方法，则可使学生更好地理解所学知识的应用价值，从而为更高水平的教学和研究作准备。本文以均匀带电无限长直导线电势的计算为例，探讨了如何在本科二年级的电动力学课程教学中引入和渗透现代量子场论的一些概念和方法。具体内容包括良好的数学定义与病态的数学定义、发散积分的正规化、物理量与非物理量等。本文试图以较为浅显的方式来讲明这些对于本科生来说太过抽象的物理与数学概念，以帮助学生在未来学习量子场论等现代物理内容时更轻松自然地理解并使用其中的思想与方法，并对数学与物理中一些一般性的相关问题有更好的理解。

关键词 电动力学;教学案例;发散积分;正规化

0 引言

为学生未来进行前沿物理学研究以及工业实践提供理论与技术基础是物理学专业基础课的重要教学目标，但伴随着基础理论与应用技术的快速发展以及学生就业前景的多样化趋势，当前物理类专业基础的本科教学与实际科研活动产生了相当大的距离。本科专业基础课越来越多地转变为学生后续学习与工业实践基础知识的通识课，前沿理论与技术很难直接体现在本科生教学中。在这种背景下，在教学中融入现代前沿物理的概念与方法变得尤为可贵，这一方面能使学生在未来接触这些概念与方法时不会感觉过分突兀，另一方面也能深化学生对物理学的认知。

基于这种理念，我们在本文中以一个简单的例子，即电动力学课程中的“均匀带电无限长直导线的电势”为例，展示如何在教学中把“物理量与非物理量”“良好的数学定义”“发散的正规化”等重要物理概念和解决问题的方法讲明白。这些概念和方法对物理学学生，特别是将来准备从事理论物理研究的学生，理解后续量子场论课程中的正规化重整化等概念以及理论探索研究有一定技术铺垫意义。

本文在结构上作以下安排：首先我们将指出流行教科书在求解这个问题时的不足之处。在第2节中我们将以网络上的常见问题“0.9 ? 是否等于1”为例解释良好与病态数学定义，并以此澄清部分教科书在这一问题上的病态数学定义问题。第3节将给出三种不同的发散积分的“良好数学定义”，即正规化方法，并分别求出均匀带电无限长直导线的电势;然后我们分析正规化方案与物理结果之间的关系，帮助学生理解物理量与非物理量的概念区别;最后是全文总结。

1 均匀带电无限长直导线的电势

本文主要要讨论的是电动力学中一道看似简单的习题（由于习题很简单，这里就不画图说明了）：

截面積可忽略的无限长直导线上均匀带电，线电荷密度为τ，试求空间中电势分布。