“橡皮筋上的球”运动规律的研究

刘旭　赵泉翔　王振宇　刘伟

摘 要 本文对2022年IYPT 的一道题目“橡皮筋上的球”进行了研究，在对橡皮筋扭转力和阻尼作线性假设的条件下，建立了二自由度线性阻尼自由扭振模型描述双球橡皮筋运动规律，建立了弹性圆轴的剪切形变力学模型描述橡皮筋的力学性质，并给出解析解。本文解释了双球橡皮筋系统的“钟摆”行为，定量探究了此行为与相关参数的依赖关系;通过Tracker软件得到了相关实验数据，验证了模型的正确性，并对实验中的等时性破缺现象进行了半定量解释，对非线性公转半径r 随时间t 的变化进行了定性分析。

关键词 橡皮筋;球;线性扭振;剪切形变;振动

2022年IYPT 有一道题目是有关“橡皮筋上的球”运动现象的研究：“Connect two metal ball with an elastic band， then twist the elastic bandand put the balls on a table. The balls will begin to spin in one direction， then in the other. Explainthis phenomenon and investigate how thebehaviour of such a “pendulum” depends on therelevant parameters.”

分析题目发现，我们需要一根弹力带将两个硬质球连接起来提供扭转恢复力矩。常见的弹力带一般有织物弹力带、橡胶弹力带（又称橡皮筋）两类，此外也可使用金属材料的扭转弹簧（又称扭簧）提供扭转恢复力矩。考虑到织物弹力带由于其纺织工艺存在经纬向的差别带来的各向异性，其虽具有出色的纵向伸缩弹性，但是其横向剪切弹性却并不好;并且考虑到实驗可行性，硬质球直径在10mm 量级，因此弹力带的长度和直径分别在10cm、1mm 量级，长径比约100∶1量级，这也是金属扭簧难以实现的。综上，可以完美符合实验要求的橡皮筋变成了实验的首选。

为了解题目，进行如下预实验：（1）用502胶水将单根橡皮筋与两个金属球连接;（2）手持球，扭转橡皮筋约几十圈，然后在橡胶垫上释放。观察到系统做周期性的扭转振动，两球会先向一个方向公转数周，再向相反的方向公转数周，如此反复几次直至系统能量耗尽，即双球橡皮筋系统呈现出“钟摆”振荡行为：小球的自转角度、公转角度、公转半径、公转线速度均呈现准期性的特征。

前人的研究主要针对橡皮筋拉伸与弹出建立的动力学数学模型[1]，球在振动弹性膜上反弹的动力学模型[2]或者以扭曲实现扭转制冷的能量分析方法[3]。本文通过构建理论动力学模型分析“橡皮筋上的球”，将橡皮筋与球视为一个系统整体分析，从理论力学力矩分析的角度将线性部分的模型进行定量计算，对“橡皮筋上的球”全新模型进行建模。

本文建立二自由度线性阻尼自由扭振模型描述双球橡皮筋系统的运动，建立弹性圆轴的剪切形变力学模型描述橡皮筋的力学性质，给出了系统的扭振周期的表达式。在实验中调整小球质量、半径、橡皮筋长度、并联橡皮筋条数等参数，并测量其扭振周期，对影响系统周期性的参数进行定量分析，反推出了橡皮筋的剪切模量，从多方面验证了理论的合理性。此外还发现双球橡皮筋系统运动周期的非等时性，认为非线性系统阻尼和橡皮筋的多阶盘绕是导致周期等时性破缺的两个主要因素，并做了相应的半定量分析。本文还对公转半径r 随时间t 近似呈振荡衰减的关系以及系统能量耗散的来源进行了定性分析。

该实验虽然装置简单，但现象引人入胜，实际上双球橡皮筋系统的“钟摆”振荡行为中蕴含着极为丰富的力学知识，对该问题的研究不仅有助于同学们更深刻地理解理论力学，尤其是振动相关的知识，并且该问题所蕴含的非线性等内容更是当今控制科学与自动化领域的基础问题，对该问题的研究将增进人们对该领域的理解，也可以极大激发同学的学习和研究兴趣。

1 理论分析

设两球为质量均匀的球体，质量分别为m1，m2，半径分别为R1、R2，绕质心的转动惯量分别为I10、I20，绕地面接触点的转动惯量分别为I1、I2，则有

为反映双球橡皮筋系统的“钟摆”振荡行为的主要特征，作以下简化假设：

（1） 主要关注小球的自转公转情况，不考虑径向运动的情况，忽略橡皮筋长度这一自由度的变化，令两小球绕橡皮筋分别转过的角度θ1、θ2为系统的广义坐标。

（2） 橡皮筋粘性阻尼线性假设：将橡皮筋在整个运动过程中的本构关系近似为线弹性，记橡皮筋扭转刚度系数为k，将小球所受橡皮筋的阻力矩近似为正比于小球绕橡皮筋转动角速度的粘性阻尼，记橡皮筋阻力矩的粘性阻尼系数为c。

（3） 滚动阻尼线性假设：假设小球受到的除橡皮筋阻力矩以外的滚动阻力矩正比于小球绕质心转动惯量I10 、I20（也因此正比于绕地面接触点的转动惯量I1、I2）和小球绕橡皮筋转动的角速度?θ1、?θ2 的乘积，故记其大小为σI1?θ1、σI2?θ2，其中σ为比例系数。

基于以上假设，由相关理论力学知识，下面建立双球橡皮筋系统“钟摆”振荡行为的粘性线性阻尼扭振模型[4-7]。

双球橡皮筋系统在线性阻尼作用下做二自由度的自由扭振，得到系统的扭振动力学方程为

次要误差主要为系统误差，且可以通过特定的方式缩小影响，主要有以下两点。

（1） 打滑与弹跳的影响。质量和半径都较大的球转动惯量大，滚动摩擦力矩大，启动困难，在经历第一个振荡周期后，难以自发进行后续的振荡周期，导致周期性参量测量误差较大;质量小的球 （r<10mm），与平面接触的正压力小，最大静摩擦力小，导致橡皮筋最大扭矩超过了不打滑的阈值，使得系统在扭振过程中，出现严重的球打滑或者弹跳现象，造成不必要的能量衰减，带来误差。选择质量适中、密度较大的钢球在橡胶垫上进行实验可以有效减少打滑和弹跳，使其对实验影响几乎忽略不计。

（2） 用502膠水连接橡皮筋与球时，会使橡皮筋与小球接触的一小段硬化，导致实验与模型出现偏差，影响较小。

4 结语

本文针对双球橡皮筋系统，创新性构建了二自由度的线性阻尼自由振动模型和弹性剪切形变模型，对“钟摆”行为与橡皮筋横截面积、小球质量及半径的关系等进行了实验研究。实验数据表明理论模型与实验结果拟合良好，解释了系统的运动规律，并对系统周期的非等时性进行了分析。本实验材料获取容易，操作简单方便，但是实验现象却直观有趣，并蕴含了丰富的力学知识，可用于大学物理实验教学的研究型项目拓展。

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