例谈中学“有广度”数学课堂的实施路径

赵京波 宋婷婷 黄丽雨 袁滢

【摘 要】构建“有广度”的数学课堂是落实核心素养培养目标，构建高效数学课堂的有效措施。在中学数学课堂中，教师可以以大概念为视角，以大单元为载体，通过情境创设、任务驱动等方式进行教学，构建“有广度”的数学课堂，促进学生形成良好的数学认知结构。

【关键词】中学数学；有广度；“三度”数学课堂；核心素养

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2024）11-0015-04

【作者简介】1.赵京波，海南师范大学（海口，571158）数据科学与智慧教育教育部重点实验室副教授，硕士生导师；2.宋婷婷，北京师范大学海口附属学校（海口，571158）教师；3.黄丽雨，海南师范大学（海口，571158）教师教育学院硕士研究生；4.袁滢，海南师范大学（海口，571158）教师教育学院硕士研究生。

“有广度”的数学课堂，是指以大概念为视角，以大单元为教学主导，对教学内容进行二次组织，使得数学知识之间具有更为紧密的逻辑关系，促进学生学习过程中正迁移的产生，便于学生形成良好的数学认知结构。［1］本文以核心素养导向下中学“有广度”的数学课堂建构为研究对象，以“椭圆及其标准方程”教学为例，进一步研究实际课堂中如何有效地建构“有广度”的数学课堂。

一、以大概念为视角，从宏观、中观、微观三个层面分析课程内容

现有研究表明，要实现“有广度”的数学课堂需要教师从整体的大框架上把握知识体系，对教学内容进行再次重构，并以大单元教学为教学手段，从多种维度深层次理解课程内容。这就需要教师将课程内容分为宏观、中观、微观三个层次，从部分到整体，进一步厘清课程编排的体系，从而获得更好的教学效果。［2］

以“几何与代数”大概念为例，平面解析几何作为其中的一个大单元，《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）将其划分为“直线与方程”“圆与方程”“圆锥曲线与方程”和“平面解析几何的形成与发展”四个部分。［3］宏观上是运用平面解析几何的方法学习直线、圆、圆锥曲线等的几何特征。中观上分为“直线和圆的方程”“圆锥曲线的方程”两部分。微观上首先通过直线的方程引入，探索直线的性质，接着学习直线的交点坐标与距离公式，从而利用两点间的距离公式引出圆的标准方程，继而探究直线与圆、圆与圆的位置关系。然后从圆的标准方程的推导类比到椭圆的标准方程的推导与双曲线和抛物线的标准方程的推导，以及通过类比探究椭圆标准方程和几何图形之间的关系的方法来探究双曲线和抛物线的标准方程和几何图形之间的关系。根据上述分析，笔者设置了以下学习目标：

1.通过观察平面截圆锥，知道当平面与圆锥的轴所成的角变化时，截口曲线可以分别是圆、椭圆、双曲线和抛物线；

2.掌握椭圆的定义、椭圆的标准方程，培养数学抽象素养；

3.通过椭圆标准方程的推导过程，培养学生发现问题、认识问题并利用规律解决问题的能力，提高逻辑推理能力。同时在椭圆的标准方程的推导运算中，培养数学运算、逻辑推理和数据分析素养；

4.熟练掌握椭圆的标准方程，能够理解a，b，c的几何意义，培养直观想象素养。

二、以大单元为载体，创设具有“真实性”的问题情境

对课程内容进行大单元教学能够让学生对课程内容的层次和逻辑有更深入的理解，而这需要在数学课堂的问题情境中体现“真实性”。

具有“真实性”的问题情境是从现实世界中“捕获”的真实问题和这一问题的情境脉络，源自人们的生产生活实践或科学研究活动。因其与学生的生活有着天然的关联性，学生往往会被这些“我的问题”所吸引。学生数学核心素养的发展，关键在于通过在真实问题情境中的学习，培养其解决问题所需要的能力和个性品质。此外，“真实性”也是课程内容和现实世界连接的纽带，能够帮助学生理解课程内容在现实生活中的应用及作用。教师要善于创设真实的教学情境，将数学问题带入真实的情境中帮助学生去理解知识，这样可以达到事半功倍的效果。同时，真实的生活情境还可以拉近学生与数学的距离，让学生对数学产生亲切感，有效激发学生的学习兴趣。

以“椭圆及其标准方程”教学为例，笔者以如下方式展开，以实现教学引入：

【问题1】用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线（截面与圆锥侧面的交线）是一个圆。如果改变截面与圆锥的轴所成的角，会得到怎样的截口曲线呢？

师：用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线，它们分别是椭圆、抛物线和双曲线。我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线。

然后教师再用信息技术展示行星绕太阳运行的轨迹、卫星接收天线、探照灯反射镜面等，让学生感受圆锥曲线在生产生活中的广泛应用。

【问题2】类比直线和圆的方程的研究过程，你认为我们应按怎样的路径研究圆锥曲线？

学生经过自主思考和相互交流，类比直线和圆的方程的研究过程，得到圆锥曲线的研究路径：现实背景（研究的必要性）—曲线的概念（建立曲线方程的依据）—曲线的方程（运用坐标法）—曲线的性质—实际应用。

上述教学是基于几何与代数大概念下的“圆锥曲线”大单元教学，教师通过对圆锥不同角度切割得到不同的曲线为导入，引入椭圆的概念，并让学生认识到圆锥曲线的类型，从而对椭圆既有微观层面上的了解，也有宏观层面上的把握，将“有广度”的数学课堂落实到真实问题情境的创设中。

三、以问题为驱动，设置主题式探索教学过程，实现任务驱动

良好的问题情境可以获得更好的教学效果，而对课程内容的教学过程可以尝试进行主题式探索（创研式、对比式、挖井式、物联式、穿越式、积淀式等），让学生始终带着“任务”去学习和思考，开展自主学习，确立任务驱动下的学习模式。“任务性”能够让学生帶着“任务”来学习，不断深入思考，形式上可以是贯穿本单元内容的问题，也可以是贯穿几个单元内容的问题。

以“椭圆及其标准方程”教学为例，在教授椭圆的概念和标准方程时，笔者设计了如下主题式探索教学过程。

1.椭圆的概念教学设计

【实验操作】取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖（动点）画出的轨迹是一个圆。如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点上，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？

【问题3】在这一过程中，移动的笔尖（动点）满足的几何条件是什么？

【问题4】应该如何完善刚才对椭圆的定义？

教师给出椭圆定义：平面内到两个定点F1，F2的距離的和等于常数（大于[F1F2]）的点的轨迹叫作椭圆。这两个定点F1，F2叫作椭圆的焦点，两焦点之间的距离叫作椭圆的焦距，焦距的一半称为半焦距。椭圆的焦距为2c，点M与焦点F1，F2的距离的和为2a。

【问题5】椭圆定义中我们应该特别关注哪些要素？

【设计意图】上述教学是基于核心素养下“问题串”设计，让学生在大概念视角下，感悟椭圆的几何特征，这是对课程内容微观层面的把握，从而将“有广度”的数学课堂落实到具体动手操作中。教学中引导学生以确定笔尖（动点）轨迹的几何要素为基础，让学生经历从不严谨到严谨的过程，逐步完善对椭圆几何特征的理解，抽象出椭圆的概念，从而培养学生思维的严谨性和数学抽象素养。

2.椭圆的标准方程教学设计

【问题6】在了解椭圆的概念后，我们下一步应该研究什么？

【问题7】观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系能使所得的椭圆方程形式简单？

师：从椭圆性质看，它既是轴对称图形，也是中心对称图形，而且过两个焦点的直线是它的对称轴，所以我们可以以经过椭圆两焦点F1，F2的直线为[x]轴，线段[F1F2]的垂直平分线为[y]轴，建立平面直角坐标系xOy。（如图1）

（图1）

【问题8】如何用坐标表示椭圆上点所满足的条件？

学生活动：设[Mx，y]是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为[2cc>0]，那么焦点F1，F2的坐标分别为（-c，0），（c，0）。根据椭圆的定义，设点[M]与焦点F1，F2的距离的和为[2a]。由椭圆的定义可知，椭圆可看作点集[P=MMF1+MF2=2a]。因为[MF1=x+c2+y2]，[MF2=x-c2+y2]，所以[x+c2+y2 +x-c2+y2=2a]，化简得：[x2a2+y2a2-c2=1]。

由椭圆的定义可知，[2a>2c>0]，即[a>c>0]，所以[a2-c2>0]。

【问题9】观察图2，你能从中找出表示a，c，[a2-c2]的线段吗？

（图2）

生：由图可知，[PF1=PF2=a]，[OF1=OF2=c]，[OP=b=a2-c2]，则式子可化为[x2a2+y2b2=1]（[a>b>0]）。它表示焦点在轴上，两个焦点分别是F1（-c，0），F2（c，0）的椭圆，这里[c2=a2-b2]。

【问题10】如果焦点F1，F2在[y]轴上，且F1，F2的坐标为（0，-c），（0，c），a，b的意义同上，那么椭圆的方程是什么？你能不做具体推导就得出结论吗？

【问题11】在椭圆中怎么区分焦点坐标在[x]轴还是[y]轴？

上述教学在探究椭圆的标准方程时利用挖井式的探究方法，通过不断深入的问题一步步引导学生学会探究圆锥曲线的一般方法，并回忆圆的标准方程的推导过程：建系—设点—列式—化简—证明，类比推理椭圆的标准方程。学生对方程中的a，b，c的几何意义进行自主探索，并推导出焦点在[y]轴时椭圆的标准方程。整个过程都是在研究圆锥曲线的一般方法下进行的，这个研究方法同样适用于双曲线和抛物线，是在几何与代数大概念视角下的教学设计。

本文以椭圆及其标准方程为例，展现了基于核心素养导向下“有广度”的数学课堂的建构过程。“有广度”的数学课堂对教师的专业素养要求较高，因此，作为数学教师需要不断地钻研数学教材，对教材进行再次理解和重构，在了解学生的基础上选取最适宜的方式将知识教授给学生，达到最佳的教学效果。

【参考文献】

［1］严虹.核心素养视阈下中小学“三度”数学课堂构建的一些思考［J］.数学通讯，2023（9）：6-9.

［2］李龙梅，严虹.核心素养视阈下中小学“三度”数学课堂构建的再思考［J］.兴义民族师范学院学报，2023（4）：64-69.

［3］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：43.