以“认知冲突”促成“概念生成”——以“加权平均数”教学为例

⦿ 北京市第一○一中学怀柔分校 熊娟霞

1 教学价值分析

1.1 课标价值

统计学是一门关于收集、整理和分析数据的方法论科学,其目的是探索数据内在的数量规律为制定决策提供依据.统计与其他数学内容相比有其独有的两个特点,一是数据的变异性,二是统计强调背景的重要性.《义务教育数学课程标准(2022年版)》强调数据观念是指对数据的意义有比较清晰的认识,理解数据整理、分析和推断的作用,知道在现实生活中,有许多问题应当先做调查、收集收据,再通过数据分析作出判断和决策,知道数据中蕴含着信息,对同样的数据有不同的表达方式和分析方法.

1.2 大数据时代价值

在大数据时代下,教学中应注重培养学生感知数据分析能力的重要性.加权平均数的计算公式,在形式上是表示加权平均,而在程序上是分别计算,而分别计算这种方法是分布式计算的最简单形式,是当下大数据计算的热门算法.因此在加权平均数公式的推导过程中,教师应在大数据时代的宏观背景下强调对加权平均数公式的解读.

1.3 概念价值

学生对数学概念的正确理解是掌握基本知识的关键.概念是学生学习数学的起点,也是学生开展数学推理活动的重要依据[1].因此,在“加权平均数”的课堂教学中要不断渗透“权”的概念,发展学生理性思维.

2 教材分析

从统计意义上来讲,权即为频数或次数,这样更加贴合学科特点.人教版教材基于“权”站位于“频数”和“重要程度”进行解释,本文中以人教版《义务教育教科书•数学》八年级下册第二十章第1节中的“加权平均数”教学为案例进行分析.

3 以教育价值为导向的教学过程设计

情境主线:以第32届夏季东京奥运会为活动背景,分三个小组分别调查、收集本班同学日观看奥运会的平均时间(取整数),并对调查数据进行整理,选择合理的数学统计图表进行描述,计算全班同学的日平均观看时间.

创设意图：以学生熟悉的生活情境为载体,让学生亲历收集数据、整理数据、描述数据、分析数据等统计调查的过程,依据调查结果让学生快速回忆统计量“平均数”的计算方法.

3.1 过程一:与“权”冲突

问题1根据表1,计算八年级三个班所有同学日人均观看奥运会时间.

表1

教学说明：教师要抓住学生认知冲突的拐点,让学生在认知上产生冲突.学生发现之前计算平均值的方法不能解决此问题,认识到三个班的日人均观看时间不仅与“每个班的日均观看时间有关”还与“每个班的人数有关”,“每个班的人数”即为概念“权”.

问题2增加每个班级的总人数(见表2),计算八年级三个班所有同学日人均观看奥运会时间.

表2

教学说明：教师通过创设合适的教学情境,为学生搭建“脚手架”,让学生初步感知“权”的计算过程,体会“权”的公式结构.

问题3改变每个班级的总人数(见表3),计算八年级三个班所有同学的日人均观看奥运会时间.

表3

3.2 过程二:探“权”感知

情境主线:奥运会受到全世界人们的关注,现有A,B,C三个网站分别对网友上网看奥运会的时间进行统计.

问题4根据表4,求出三家网站所有客户的日人均上网时间.

表4

活动探究：(1)拟定三组w1,w2和w3的值,根据表5进行思考、计算;(2)改变w1,w2和w3的值,对计算结果产生了怎样的影响?

表5

生成预设:本次活动探究的生成空间较大,教学过程可以从两方面进行预设.一是比值关系:当w1∶w2∶w3为同一固定比值时,对w1,w2,w3赋予同一比值的数据,得到的结果均相同.二是大小关系:当w1=w2=w3时,结果为4;当w1远大于w2,w3时,结果更接近3;当w3远大于w1,w2时,结果更接近于5.

问题5根据表6,求出n家网站所有客户的日人均上网时间.

表6

教学说明：学生再次经历从“特殊”到“一般”的归纳过程,得到加权平均数的计算公式,同时要注重数学文化对“权”概念的解读,达到突出重点、突破难点的教学目的.

3.3 过程三:辨“权”答疑

问题6尝试解释问题1与问题3的结果为何相同?

教学说明：利用新知帮助学生解惑,并且厘清加权平均数与算术平均数之间的关系,充分体会加权平均数的内涵与本质,同时让学生在探究过程中体会成功的喜悦.

3.4 过程四:知“权”应用

问题7北京冬奥会在即,奥组委招募语言服务志愿者(语言翻译),甲、乙两位同学的各项成绩(百分制)如表7所示:

表7

(1)如果要选一名综合能力较强的翻译,应该选谁?

(2)如果要选一名笔译能力较强的翻译,能否同等看待听、说、读、写的成绩?若分别按20%,10%,30%,40%来计算他们的平均成绩,该选谁?

(3)如果要选择一名口语能力较强的翻译,应该如何选择?请你制定选拔标准,选出你认为合适的人.

教学说明：从不同层次设计问题,并通过设计开放性问题,让学生经历“知权”“用权”“赋权”等环节,加深对“权”概念的理解,应用“权”解决问题,培养学生数据分析观念,提升数学素养.

3.5 过程五:对“权”总结

问题8利用思维导图的形式对本节课进行总结.

师生共建知识框架,如图1:

图1

4 教学思考

4.1 基于认知冲突的概念自然生成

数学概念具有高度抽象性、概括性和严密性,数学概念是数学思维的起点[2].初中生正由形象思维向抽象思维过渡,教学过程中利用学生原有的认知结构与新概念产生认知结构的矛盾,即认知冲突,将会有效提高学生对新概念的理解水平.教师在教学设计中应该有意识地建构以认知冲突为生长点的新概念的生成,促进学生对新概念的理解和应用.

本教学案例中设置的“问题1”与“问题2”,“问题1”作为学生认知思维的出发点,“问题2”作为学生认知冲突的生长点,极大地激发了学生对新知的探究兴趣.

4.2 创设合适的统计教学情境

“统计”教学注重将生活化的教育与实践贯穿于教学过程中.因此在教学过程中,教师要有意识地让学生体会数据分析的实践作用,培养学生应用统计知识的实践能力.在学生所熟悉的生活情境中,以案例分析的形式让学生体会利用数据统计方法处理、解决实际问题的作用,着力培养学生的数据统计素养,提升学生对统计学知识的理解和应用能力.

本教学案例,通过设置学生熟悉的“奥运会”问题情境,呈现不同的信息表达形式,提高学生利用所学新知分析并解决实际问题的能力,掌握“加权平均数”在实际问题中的重要价值,整个教学情境设置中,力求呈现“低起点、高立意、有梯度”的总体设计教学流程.