园丁还是木匠

蒋亦　万姝玮

【摘 要】 展示课堂实录，三问数学探究课：什么是数学探究活动？数学探究活动的本质是什么？数学探究活动中，老师的角色是什么？寻找让学生提出问题、开放水平更高的探究课.

【关键词】 数学探究；开放水平；切线；切点弦；弦切线

《普通高中数学课程标准（2017版）》将数学探究活动作为高中数学课程的五大主题之一，培养学生的探究意识、提高学生的探究能力已经成为高中数学的一项重要目标. 本文以2023年江苏省评优课课题，苏教版普通高中教科书《数学（选择性必修）》第一册第67页“问题与探究：圆的切线与切点弦”为例，三问数学探究活动，探寻站位更高、更自然的探究课.

1 教学设计

1.1 提出问题

笛卡尔：“求切线不但是我所知道最有用最一般的问题，而且甚至可以说，是我唯一想要在几何学里知道的问题.”

问题 在平面内，过一点可作已知圆的几条切线？如何求圆的切线方程？

2 思考

一堂富有思维含量的探究课，上课过程相当流畅，老师设计的问题环环相扣，学生回答相当到位，课堂氛围热烈，为广大教师认可.但这也不禁引发笔者思考：“课堂氛围热烈，学生反应到位”就是好课吗？

2.1 什么是数学探究活动

数学探究活动是指围绕具体数学问题开展自主探究、合作研究并最终解决问题的探究活动，是运用数学知识解决问题的一类学习实践活动［1］.课标要求学生能够在实际情境中发现和提出有意义的数学问题，进行数学探究.一般表现：发现并提出有意义的数学问题，猜测合理的数学结论，寻求解决问题的思路和方案，通过自主探索、合作研究论证数学结论［2］.“问题、证据、结论、论证”是探究活动的四个主要要素.根据告知要素的数量，数学探究活动的开发水平被划分为四个层次，如表1.

“提出问题”和“探究1”还是挺自然的，“探究2”指向性太强，不自然，自然的问题应该是：过圆外一点P的切线方程是什么？怎么会直接去思考探究1结论的迁移“x0x+y0y=r2表示怎样的直线呢？”

探究2的提出应该是这样的：当点P在圆外时，过点P的切线方程太复杂，没有价值. 回看探究1的结论非常漂亮. 实际上，当点P在圆外时，直线l：x0x+y0y=r2还是存在的，那么它表示怎样的直线呢？

唯有经历这样的过程，才能培养学生“发现并提出有意义的数学问题”的能力，同时也将数学探究活动开放水平从水平三提高到水平四.

2.2 数学探究活动的本质

笔者认为数学探究活动的本质是“再创造”，就是由学生本人把要学的东西自己去发现或创造出来；教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造工作，而不是把现成的知识灌输给学生. 这是一种最自然的、最有效的学习方法［4］.

这节课为什么流畅，且学生反应到位？探究1起点低，学生探究顺利，老师及时总结（其实是一种“强化”：后续探究继续这么干），教学重点探究2依然如此，更加强化了这种操作模式，直接促使教学难点探究3顺利突破. 可以说，学生连一点弯路都没有走，是老师“保姆式”的暗示，帮学生跨过了失败、痛苦和无助，同时也剥夺了学生经历质疑问难、勇于探究、敢于创新的机会.

2.3 数学探究活动中老师的角色

成为园丁，不是木匠！数学探究活动中，引导学生就像照顾花园，做老师就像做一个园丁.我们要为学生创造一个充满疑问、百思不得其解、又欲罢不能且宽松自主的课堂空间.做老师不能像做一个木匠，设计探究路径，因为特定计划的局限性大，当前顺利，但是没有可迁移性. 也许开放水平更高的探究会使课堂逃离我们的控制，而最大的园艺胜利和欢乐往往来自于此.

我们要考虑的是创造一片草地、树篱或村舍花园.混乱是草地的荣耀，不同种类的花草可能会随着环境的变化而荣枯交替，没有哪一株植物能保证会成为最高、最美或最长盛不衰的那一株.优秀的园丁致力于创造肥沃的土壤，以涵养整个生态系统，其中不同的植物具有不同的弱点和生长苦难［5］.

3 優化设计

3.1 提出问题

笛卡尔：“求切线不但是我所知道最有用最一般的问题，而且甚至可以说，是我唯一想要在几何学里知道的问题.”

3.2 数学探究

探究1 已知圆O：x2+y2=r2，一点P（x0，y0），写出过点P的切线l的方程.

当点P在圆上时，切线1条，方程x0x+y0y=r2，反之亦然.

当点P在圆外时，切线2条，方程（略），非常复杂，没有价值.

当点P在圆内时，切线不存在.

追问：当点P在圆上时，切线1条，方程x0x+y0y=r2——这个结论非常漂亮，能否拓展？

预设：当点P不在圆上时，方程x0x+y0y=r2客观存在，表示怎样的直线呢？

探究2 已知圆O：x2+y2=r2，圆O外一点P，方程x0x+y0y=r2表示怎样的直线呢？

3.3 数学应用

已知圆O：x2+y2=4，过点M（4，n），作圆O的两条切线，证明：切点连线过定点.

探究3 已知圆O：x2+y2=r2，圆O内一点P，方程x0x+y0y=r2表示怎样的直线呢？

3.4 课堂小结（同上）

参考文献

［1］ 许彬，王宗信. 由木工刻图引发的数学探究活动［J］.数学通报，2023（08）：29-33.

［2］ 中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版）［M］.北京：人民教育出版社，2018：35.

［3］ 刘云，张广祥.高中数学必修教科书中数学探究活动分析［J］.数学教育学报，2012（10）：5-8.

［4］ ［荷兰］弗赖登塔尔.作为教育任务的数学［M］.陈昌平，唐瑞芬等，译.上海：上海教育出版社，1995：3.

［5］ ［美］艾莉森·高普尼克.园丁与木匠［M］.刘家杰，赵昱鲲，译.杭州：浙江人民出版社，2019：15.

作者简介 蒋亦（1982—），男，江苏常州人，中学高级教师；获江苏省基本功大赛二等奖、常州市评优课二等奖；主要从事高中数学教育教学方法研究和试题研究.

万姝玮（1985—），女，江苏常州人，中学一级教师；获武进区评优课一等奖；主要从事高中数学解题研究.