发挥信息技术优势 提升课堂教学效果——几何画板在探究直线和圆的位置关系中的应用

⦿ 江苏省苏州市桃坞高级中学校 吴久辉

数学是一门比较抽象的学科,有些内容仅凭教师单方面的讲授学生很难理解和掌握.基于此,在高中数学教学中,教师有必要更新教学方式和教学手段,将抽象的内容生动、直观地呈现出来,这样既易于学生理解和掌握,又可以调动学生参与的积极性,有利于深度学习的达成.而将信息技术与数学教学相结合,可以将知识系统、直观地呈现出来,有效淡化数学知识的抽象感,使数学课堂丰富起来、生动起来,切实提升课堂教学效果[1].在“直线和圆的位置关系”教学中,笔者借助几何画板,将圆与直线的位置关系形象、直观、准确地呈现出来,在帮助学生理解知识的同时,激发学生学习兴趣,提升学生数学思维能力和数学核心素养.现结合具体案例,谈谈几何画板的教学优势.

1 巧借几何直观,促进理解

解析几何既是教学重点,也是教学难点,许多学生在学习这部分内容时容易产生畏难情绪,从而影响最终学习效果.确实,对于初学解析几何的高一新生来讲,这部分内容比较抽象,涉及层面较广,综合应用比较灵活,仅凭教师讲授很难让学生将相关知识、方法等学懂、吃透.在实际教学中,为了让学生更加直观地感悟直线与圆的位置关系,大多教师会渗透数形结合思想,以期借助形的直观淡化问题的抽象性,帮助学生克服畏难情绪,提高学生参与课堂的积极性.在具体实施过程中,教师若选择课上手工绘图,这样不仅会浪费宝贵的课堂时间,而且难以准确表达蕴含其中的数学关系.而利用几何画板可以有效解决以上问题,快速、直观、准确地呈现图形,更易于学生理解和掌握.

案例1中点轨迹问题

教学中,教师设计了如下几个问题:

(1)已知P是定圆O上一动点,Q为圆O外一定点,连接PQ,M是PQ的中点,当P在圆O上运动时,点M的轨迹是什么?

(2)已知P是定圆O上一动点,点Q在过圆心O的定直线上,且线段PQ为定长,M是PQ的中点,当点P在圆O上运动时,点M的轨迹又是什么?

(3)在平面直角坐标系xOy中,P,Q分别为y轴和x轴上的两动点,且线段PQ为定长,M是PQ的中点,当动点P在y轴上运动时,M的轨迹又是什么?

教学中,教师先让学生思考并提出自己的猜想,然后运用几何画板进行动态演示,让学生借助图形进一步观察(如图1～图3),帮助学生加深对中点轨迹问题的理解.通过直观演示可以轻松得到如下结论:问题(1)中,中点M的运动轨迹是圆;问题(2)中,中点M的运动轨迹是椭圆;问题(3)中,中点M的运动轨迹是圆.

图1

图2

图3

这样借助几何画板就将中点轨迹的三个问题直观、快速、准确地呈现出来了.通过经历以上过程,学生可以感受轨迹的产生过程,有利于培养空间意识,提升直观想象素养.另外,通过动态展示,抽象的问题会变得更加直观、简洁、生动,便于理解和掌握.通过经历以上过程,还可以帮助学生积累丰富的活动经验,有利于发展学生的数学思维和核心素养.

2 借助直观精准,促进发现

直线与圆相结合的图形运动问题是高考的一个重要考点,该类型的题目比较抽象,具有一定难度.在日常教学中,若教师仅是就题论题式的讲授,将影响学生知识体系的建构,不利于学生解决问题能力的提升.因此在实际教学中,教师不妨借助多媒体的直观化、系统化、精准化,引导学生对相关知识进行归纳总结,让学生的脑海中形成清晰的知识脉络,从而提高迁移水平[2].

对于两个非同心圆的一般方程,若将两圆的一般方程作差,则得到一个二元一次方程,即一条直线l的方程.该直线与已知两圆可能会有一定的特殊的关系,这是一个值得探究的问题.两圆的位置关系有多种,受其影响,直线l与两圆的特定关系也会有所不同.这种不同很难单纯地靠说或板书来表达,教学中可着重演示这一动态变化过程,引导学生在变化中逐渐抽象概括,从而发现规律.在具体实施过程中,教师不妨借助几何画板来动态演示,引导学生通过观察、抽象概括等过程,提高教学实效性.

案例2直线和两圆的位置与方程的关系

教学中,教师以两圆相交这一位置关系为引例,开启探究之旅:

问题如图4,作两相交圆圆O1和圆O2,其交点为M,N,令点M,N所在直线为l,在直线l上取一点P(异于点M,N),过点P分别作圆O1和圆O2的切线PE,PF,连接O1O2.结合图形,说说你有何发现?

图4

学生通过直观观察易于发现:(1)在直线l上任取一点作两圆的切线,则切线长相等;(2)直线l与两圆的连心线垂直.基于以上发现,教师让学生度量两圆及直线的方程,观察、猜想并验证它们之间的关系.猜想及证明过程如下:

猜想:若圆O1和圆O2相交,则直线l的几何意义是两圆的公共弦所在的直线.

在此基础上,教师让学生继续思考:两圆相离、相切或内含时,是否有符合以上条件的直线l?这样借助几何画板的直观、快速、准确,打开了学生的思维大门,让学生对蕴含于图形中的一些特殊结论了然于心,有利于提升学生学习信心,发展学生数学核心素养.

3 提供实践机会,提升素养

几何画板是研究几何问题的重要工具,可以将抽象的知识和复杂的问题直观地展示出来,从而为知识的理解和问题的解决提供便利.在现实教学中,几何画板以教师操作为主,这样虽然高效,但是学生的思路被教师牵着走,学生的发现局限于教师的预设中,影响学生创新意识的培养.在实际教学中,教师可以提供机会让学生自己操作,这样既可以调动学生参与的积极性,又能激活学生的思维,提高学生的动手探究能力和创造力.在课堂教学中,只有真正将主动权交给学生,才能充分释放学生的无限潜能,提升学习品质和教学有效性[3].

案例3和两个定圆相切的动圆圆心轨迹

如图5,已知两定圆O1和O2的半径分别为r1,r2,动圆M与两圆相外切.

图5

(1)如果两定圆相离,那么圆心M的轨迹是什么?

(2)如果两定圆外切,情况会怎样?

(3)如果两定圆相交、内含、内切,又能得到怎样的结论?

(4)如果两定圆内切于动圆M,圆心M的轨迹又会怎样呢?

对于以上问题,若直接让学生推理分析,容易滋生学生的畏难情绪,因此教师不妨提供机会让学生动手实践探究,让学生通过操作、观察、分析、归纳等活动轻松地解决问题.另外,通过动手实践探究形成的直观认识,会给后续的推理验证提供助力,有利于学生发现、分析和解决问题能力的提升.

事实证明,适度地将几何画板等多媒体技术应用于数学教学实践中,可以使抽象、枯燥的数学知识变得形象、直观、生动,可以有效激发学生学习兴趣,从而让学生的学变得更加积极、主动.值得注意的是,在实际操作中,教师切勿独揽课堂,要提供机会让学生去操作、去发现,这对学生提高自主探究能力、发展直观想象素养、提升数学思维能力等都是极其有益的.同时,教学中要提供机会让学生去合作、交流,让学生充分体会绘图的乐趣以及体验发现的喜悦,充分激发学生的主体性和主动性,促进学生数学核心素养的落实.

总之,几何画板作为优质的教学软件,操作简单,功能强大,将其应用于教学能发挥传统教学无法比拟的作用.在实际教学中,教师要适时、适度、适当地加以应用,充分发挥其直观、生动、快捷等优势,加快新知内化进程,助力学生全面提升.