站在逻辑推理核心素养下,看解题路上的独特风景——以“直线过定点问题”问题链课堂教学为例

⦿ 江苏省盱眙中学 严培培

纵观历年各个地区的模拟题和高考题,解析几何一直是高中数学的难点所在,突出对逻辑推理、数学运算等核心素养的考查,通常计算量都比较大,学生往往望题兴叹.而学生的逻辑推理素养和数学运算素养皆为高中数学的核心素养,也是高考选拔功能的最佳体现.因此教师有必要、也必须要帮助学生突破此问题,从而培养逻辑推理和数学运算素养.

1 试题呈现

(1)求椭圆E的方程;

(2)证明:直线CD过定点.

2 试题分析

问题1该题中哪些是定量?哪些是变量?

学生:定量有椭圆方程和点P的横坐标;变量有点P的纵坐标和直线PA,PB,CD.

问题2挖掘主变量,如何设变量信息构造等量关系?

学生:点P为变量,牵一发而动全身!所以……

由此引出方法1:

点评：此方法紧扣点P,表示出C,D两点的坐标,进一步求出直线CD的方程,运算量比较大,因此很多学生都卡在最后直线CD方程的化简上,不能妥善处理问题.为此提出下列问题.

问题3动直线y=kx+m(或x=ky+m)为什么会过定点?

学生:因为k和m存在一次线性关系.

问题4又可以如何设变量信息构造出问题3中的等量关系?

由此引出方法2:

方法2：当点P不在x轴上时,设直线CD:x=my+n,C(my1+n,y1),D(my2+n,y2).

2my1y2+3(n-3)y1-(n+3)y2=0.

由韦达定理代入化简,得

点评：此方法围绕“若直线y=kx+m(或x=ky+m)过定点,则k和m存在一次线性关系”,通过直线和二次曲线联立方程,利用韦达定理构建k和m的关系,优化运算过程,培养逻辑思想.当然,这到底是不是通性通法,提出下列问题继续探讨.

问题5对于解析几何中的直线过定点问题,是否都可以设直线方程为y=kx+m(或x=ky+m),然后通过和曲线联立方程联立,结合韦达定理构建k和m的一次线性关系?

由此引出如下试题:

问题6上文中已经讨论了只要直线y=kx+m(或x=ky+m)中的k和m存在一次线性关系,则直线必然过定点,难道就一定需要联立直线MN和椭圆的方程求坐标吗?

引出如下证明:

证明：若直线AB,CD有一条直线斜率不存在,则另一条斜率为0,则此时直线MN的方程为y=0.

(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0.

设直线MN方程为y=mx+n,代入M,N两点得

点评：上述证法依旧回归到过定点的直线方程y=kx+m(或x=ky+m)中的k和m存在一次线性关系,运用整体思想构建k和m的等量关系,简化运算,巧妙解题.

问题7此方法在例题中是否也可用?

学生答:肯定可以!学生们尝试解答.

问题8此方法的核心运算思想在哪里?在直线过定点问题中通用吗?

学生:核心在于y=kx+m(或x=ky+m)中k和m存在一次线性关系,巧妙构建等式就可以,所有直线过定点问题都可以用此方法.

3 几点思考

(1)注重基础,强调结构

动直线过定点问题是解析几何的一个特殊问题,解决问题不能盲目地运算,需要掌握这类问题的解决思路和应对的方法.特别是直线过定点的结构特征(k和m的一次关系),多点思考,构建关系,优化运算.

(2)关注过程,重视引导

教师在课堂上多多设问,不停追问,包括对过程的设问与追问,由浅入深,引导学生构建知识基础体系,拓展思维,培养逻辑,也为后续学习中解决复杂问题做铺垫.

(3)侧重反思,强化拓展

题目的价值不在于解题本身,而在于在解题过程中掌握一类试题的结构特征,这就需要解题后的总结反思,找出关键点,梳理整体思路,优化解决过程.以点到面,提升逻辑素养,促进数学能力的提升.