快压缩P1波在饱和冻土与弹性基岩分界面上的能量传输特性

2024-04-20 11:28蒋汇鹏周凤玺蒋宁山

振动与冲击 2024年7期

马强, 蒋汇鹏, 周凤玺, 蒋宁山

(1. 青海大学土木工程学院, 西宁 810016;2. 青海省建筑节能材料与工程安全重点实验室, 西宁 810016;3. 兰州理工大学土木工程学院, 兰州 730050)

我国的冻土分布较广且多集中在高海拔高寒地区,随着国家“一带一路”战略推进,西部高寒地区的基础建设不断完善。然而,众多工程(即水坝、桥梁和铁路)建立在冻土层之上,冻土层的地震反应和波的传播与未冻土存在明显差异,一定程度上加大了工程建设及检测的难度[1]。地震可以分为天然地震和人工地震,不同于天然地震的人工震源、地震勘探和人工爆破中主要激发产生压缩波,此类波的传播速度极快且衰减系数较小。因此,冻土场地中由人工震源产生的压缩波响应在建筑设计和建筑安全中起着重要作用。通常高寒地区的工程结构是建立在冻土和岩石上,而选用饱和冻土与弹性基岩分界面上的透反射模型更贴近实际工程情况,能够模拟饱和冻土与寒冷地区地下几公里处的基岩接触,那里的温度非常低,基岩可以被认为是一种弹性介质。本文模拟的地震波入射为人工震源,选取传播速度在饱和冻土中最大的快压缩P1波,其在地震勘探、地基隔振效果评估、海底沉积物中天然气水合物储量评估、冷冻食品超声无损检测等领域有实际应用,根据它们对波的传播特性(如传播时间、波速、波幅和波的传播能量)的反应进行分析。因此,通过分析快压缩P1波在饱和冻土与弹性基岩分界面上的能量传输特性,为研究人员和现场工程师提供了重要的信息。

饱和冻土与弹性基岩分界面上P1波的能量传输特性涉及两个关键问题:一是饱和冻土多孔多相介质的物理力学描述;二是饱和冻土与弹性基岩分界面上的入射波能量分配问题。对于第一个关键问题,冻结饱和多孔介质被认为是由土颗粒形成的复合固体骨架和孔隙组成,孔隙中充满水和冰。因此,存在两种固相基体(土体基体和冰基体),一般情况下,土体和冰颗粒之间存在相互作用;随着温度的降低,胶结作用逐渐增强。此外,由于冰和水之间的相互转化,在冻土中形成了复杂的多相结构[2]。即使孔隙中充满水,冻土仍然是固相、冰相和液相的三相复合体,并有相变。因此,冻土的物理模型一直是一个复杂而困难的问题。在过去几十年的研究中,许多学者致力于研究和建立各种冻土多孔介质模型来描述冻土的物理力学性质,并取得了丰硕的成果[3-5]。然而,目前仅有少数几种模型适用于饱和冻土的传播特性分析。Leclaire等[6]建立了由土骨架、冰颗粒、液态水三相组成的冻结饱和多孔介质的运动学LCA模型,但忽略了土体与冰相的相互作用。随后通过试验,基于所建立的冻结饱和多孔介质模型进行超声测试,验证了模型预测的多重体波存在[7]。Carcione进一步考虑了土骨架与冰颗粒、液态水三相之间的相互作用,提出了一个更为严格的LCAM模型[8-10]。周凤玺等[11]应用混合理论,建立了饱和冻土介质弹性波的弥散方程,并给出了饱和冻土中弹性波传播速度和衰减系数的解析表达式,但他假设土骨架和孔隙冰的速度和位移相等,因此仅得到2种压缩波和1种剪切波。仇浩淼等[12]基于Leclaire理论,研究了饱和冻土中体波相速度及饱和度、衰减系数、孔隙率等参数之间的关系。Cao等[13]和Li等[14]分别应用Leclaire建立的LCA模型和Carcione建立的LCAM模型,研究了冲击荷载作用下冻土中桩的竖向动力响应。周斌[15]分别应用LCA模型和LCAM模型,研究了在温度影响下冻土地区地基表面地震动和Rayleigh波的传播特性。第二个关键问题是饱和冻土与弹性基岩分界面上的入射波能量分配问题,现有文献主要集中在饱和多孔介质/非饱和多孔介质分界面上的能量传输特性[16-17],然而饱和冻土分界面上的能量分配问题却极少被考虑。弹性固体表现为非耗散性,而饱和冻土由于孔隙流体中存在粘性,对波传播表现为耗散性[18]。弹性基岩中的所有波(即透射波)都是均匀的(即传播和衰减方向相同),而饱和冻土中的所有入射波和反射波都是不均匀的(即传播和衰减方向不同)。因此,对于给定的入射波,透反射振幅比是一个非奇异线性方程组,以能量矩阵的形式得到透反射波的能量份额[19]。通过数值算例解出入射能量在各种透反射波之间的分配。从入射频率、温度(含冰量)、孔隙率和胶结参数和接触参数等方面分析了入射方向对入射能量分配的影响。

本文构建的模型中,弹性基岩中存在两种体波,分别是压缩波和剪切波均是由固体基岩产生。在饱和冻土中压缩波和剪切波的产生与土骨架、孔隙水和孔隙冰三相相关,压缩波(P1和P2波)与剪切波(S1波)的传播性质类似饱和多孔介质中的快压缩波(P1波)和慢压缩波(P2波)和土骨架产生的剪切波(S波)。P1波是土骨架与孔隙水同时压缩产生的波,即“同相波”、P2波是土骨架松弛而孔隙水压缩产生的波,即“异相波”、P3波的出现是由于饱和冻土中存在第三相孔隙冰介质和孔隙水作用的结果。当未冻水逐渐凝化成冰时,冰在孔隙中形成,并挤出部分孔隙水,此时由于孔隙冰的存在,会产生另外一种慢压缩波(P3波)和剪切波(S2波)。目前,关于饱和冻土与其他介质(例如弹性介质,饱和多孔弹性介质,非饱和多孔弹性介质)分界面处弹性波的透射和反射特性研究极少。弹性波在分界面处的透射和反射问题是土动力学研究中一个重要的目标。迄今为止,多孔弹性介质中弹性波传播的研究已有几十年的历史[20-23]。以往弹性波在分界面处的透反射性质研究主要集中在单相弹性介质/饱和土介质分界面[24-26],单相弹性介质/非饱和土介质分界面[27],饱和土介质/饱和土介质分界面[28-30]以及非饱和土介质/非饱和土介质分界面[31-33]。仅有仇浩淼[34]对理想流体/含孔隙固体多孔介质界面处的透反射性质进行了研究。

本文基于弹性波在冻结饱和多孔介质和单相弹性介质中的传播理论,建立了从饱和冻土入射到弹性基岩分界面处的P1波的透反射模型。本文的主要研究是:首先,利用Helmholtz矢量分解原理,结合分界面上的边界条件推导获得了P1波在分界面上的透反射振幅比的理论表达式。然后,根据分界面处单位面积上透反射波的能量分配定义,结合透反射振幅比进一步求解出各类波能量率的理论表达式。最后,分析了当P1波从饱和冻土入射到弹性基岩分界面时,能量比例系数(即能量透反射率和能量相互作用率)与入射角度,入射频率,温度(含冰量),孔隙率,胶结参数和接触参数之间的变化关系。

1 饱和冻土的波动理论

1.1 孔隙含冰量与温度的关系

饱和冻土的理论模型中物理参数较多,Leclaire等和Carcione等明确阐明了这些参数之间的内在联系。饱和冻土的孔隙率和含冰量是评价饱和冻土物理力学性能的重要参数。饱和冻土的孔隙率可由三相比例关系确定,而孔隙中未冻水含量的准确测定相对繁琐。本文采用大写字母“S”,“F”和“I”分别表示饱和冻土介质中的土骨架,孔隙流体(未冻水)和冰颗粒的成分。将使用上标α来表示材料和场变量(其中α= S,F,I),nα表示α相介质的体积分数。基本关系列示如下

nS+nF+nI=1,nF+nI=φ

(1)

式中:φ为包括未冻水和冰的总水比例,称为孔隙率;nS、nF和nI分别为土骨架、未冻水和冰的体积比例(为方便描述,本文称nI为含冰量)。

孔隙中冰颗粒的含量取决于温度和孔隙的分布,本文根据Carcione等进一步给出了如下关系式

(2)

(3)

(4)

式中:Tk= (Tk0+T)以开尔文为单位,Tk0= 273.15 K,T表示温度以摄氏度为单位;r0、rav和Δr分别为饱和冻土中的毛细孔径、毛细孔径平均半径和毛细孔径标准差(Leclaire等)。

1.2 饱和冻土的波动方程

本文的饱和冻土用饱和冻结多孔弹性介质模拟,Carcione等给出了饱和冻土介质的本构方程和运动方程为

(1) 本构方程

(5)

σF=-nFPF=C12θS+K2θF+C23θI

(6)

(7)

(2) 运动方程

(8)

(9)

(10)

(3) 饱和冻土中三相介质的体应变、偏应变和应变分别表示为

(11)

(12)

(13)

Carcione等在Leclaire等理论的基础上,为饱和冻土建立了以下的波动方程

(14)

(15)

(16)

式中:矢量的相乘有两种定义,∇·是标量积(点乘积),∇×是矢量积(叉乘积);▽2为笛卡尔坐标系中的Laplace算子;ρα表示α相介质的密度;Rij(i=1,2,3;j=1,2,3)为刚度参数;上述中的参数见附录A。

基于Helmholtz矢量分解定理将饱和冻土中土相、液相和冰相的位移矢量分解为

uS=∇ψS+∇×HS

(17)

uF=∇ψF+∇×HF

(18)

uI=∇ψI+∇×HI

(19)

式中,ψα和Hα(α=S,F,I)分别表示为饱和冻土中土骨架、孔隙流体和冰颗粒介质的标量和矢量势函数。

将式(17)～(19)代入波动方程(14)和(15)中,则波动方程可进一步表示为

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

解的一般形式为

(26)

(27)

将式(26)和(27)代入式(20)～(25)中,经过推导可以得到控制压缩波和剪切波振幅分量的线性方程组为

(28)

(29)

式中,元素aij和cij(i=1,2,3;j=1,2,3),在附录A中给出。

因式(28)和(29)具有非零解,可以推导出压缩波和剪切波的特征方程为

(30)

(31)

通过求解特征方程(30)和(31),可以得到饱和冻土中P波和S波的传播相速度为

cj=ω/Re(kj)

(32)

式中,Re表示复数实部的运算符。特征方程(30)在j=P1、P2、P3中的解有3个根,对应于饱和冻土介质中的P1、P2、P3压缩波。特征方程(31)在j=S1、S2中的解有2个根,对应于饱和冻土介质中的S1、S2剪切波。且5种体波是色散的,这意味着相速度和频率相关。

基于本文所考虑的研究参数取值,通过MATLAB编程软件将特征方程(30)和(31)进行求解,得到饱和冻土中各类波的速度范围如表1所示。

表1 饱和冻土中弹性波的波速范围Tab.1 Velocity range of elastic waves in saturated frozen soil 单位:m/s

2 快压缩P1波在分界面上的透射与反射

如图1所示,快压缩P1波从饱和冻土介质入射到弹性基岩分界面上的透射与反射模型。饱和冻土介质占据z<0的区域,弹性基岩占据z>0的区域,z= 0对应于两个半空间的接触界面。假设快压缩P1波以任意角度θip1从饱和冻土介质射向弹性基岩,在弹性基岩与饱和冻土介质分界面处将产生出2种透射波(透射P波,透射S波),5种反射波(反射P1波,反射P2波,反射P3波,反射S1波和反射S2波)。波动被限制在x-z平面中,所有的量与y坐标无关,界面单位矢量在z方向。

图1 入射快压缩P1波在饱和冻土与弹性基岩分界面上的反射波与透射波示意图Fig.1 The reflected and transmitted waves schematic of an incident fast compressional P1-wave at the interface between saturated frozen soil and elastic bedrock

2.1 波的势函数

入射和透反射波的位移势函数表示如下

对于饱和冻土介质部分(z<0)

(1) 入射P1波的势函数

(33)

(2) 反射P波的势函数

(34)

(3) 反射S波的势函数

(35)

对于弹性基岩部分(z>0)

(4) 透射P波的势函数

ψe=Atpexp[iktp(ltpx+ntpz-ctpt)]

(36)

(5) 透射S波的势函数

He=Btsexp[ikts(ltsx+ntsz-ctst)]

(37)

2.2 分界面上的边界条件

在分界面处透反射问题的边界条件应当明确表示。Tajuddin等[35-36]基于Biot理论中的边界条件提出了含孔隙固体多孔介质中的边界条件,研究了孔隙固体与骨架间存在耦合作用的边界条件以及不存在耦合作用的边界条件。结果表明,当含孔隙固体多孔介质的计算参数相同时,两种边界条件几乎没有差异。Qiu等[37]基于Tajuddin提出的边界条件,假设两固相间的位移协调,且考虑了孔隙固体与骨架间的耦合作用,分析了P1波与S1波在含孔隙固体多孔介质自由边界上的反射问题。本文与Qiu在分界面上的假设一致,因此单相弹性基岩与饱和冻土介质的分界面上的边界条件如下所示

分界面上法向总应力连续:

(38)

分界面上切向总应力连续:

(39)

土骨架与孔隙冰,两固相之间的法向和切向位移连续:

(40)

(41)

分界面上法向和切向位移连续:

(42)

(43)

对于不透水分界面,孔隙流体与固体骨架之间没有相对运动,分界面上法向位移连续:

(44)

2.3 透反射振幅比

将式(5)～(7)、(11)～(13)代入式(38)～(44)中可得出用势函数表达的边界条件为

(45)

(46)

(47)

(48)

(49)

(50)

(51)

根据Snell定理,入射波和透反射波之间的角度和波数存在以下关系

lip1kip1=ltpktp=ltskts=lrp1krp1=lrp2krp2=lrp3krp3=lrs1krs1=lrs2krs2

(52)

将式(33)～(37)代入边界条件(45)～(51)中,结合Snell定律式(52),可以得出下列的矩阵关系式

(53)

式中,矩阵m11～m77和q1～q7的系数在附录B中给出。

透射波和反射波的透射振幅比和反射振幅比可以表示为

(54)

式中:Rrp1、Rrp2、Rrp3、Rrs1、Rrs2分别为反射P1波、反射P2波、反射P3波、反射S1波和反射S2波的反射振幅比;Rtp和Rts分别为透射P波和透射S波的透射振幅比。

3 透射波与反射波的能量率

本文主要研究入射P1波的能量在饱和冻土与弹性基岩分界面(z=0)单位面积上各类透射波与反射波能量的分布。根据Kumar等[38-40]研究的结果,通过单位面积上的能量可以用表面牵引力和粒子速度的标量积来表示。现分析入射P1波携带的能量在界面z=0处的分配情况,按照仇浩淼仿照饱和多孔介质中坡印廷矢量在z方向上的定义,入射P1波引起坡印廷矢量在z方向上的分量可以写为一个周期内单位面积上的应力在z方向上分量与速度在z方向上分量的标量积,即单位面积上的时间平均能流函数为

(55)

(56)

式中:Eez和Euz分别表示弹性基岩中透射波与饱和冻土介质中入射波和反射波的能流密度在一个周期内的平均值;T= 2π/ω为入射波的周期。

对于一般的场变量A、B,在一个周期内的平均值有如下关系

(57)

式中,上标*表示复数B的共轭。

因此,入射波、反射波和透射波的平均能流密度可以写为

(58)

(59)

为得到各透射波、反射波和入射波的能量率,将式(58)和(59)改写为下列矩阵方程

(60)

(61)

(62)

(63)

(64)

(65)

通过将透反射波的能流密度依次除以入射P1波的能流密度,即可得出该波的能量比系数(即能量反射率与能量透射率),从而各种波的能量透射率和能量反射率为

(66)

其中

式中:etp和ets分别为透射P和S波的能量透射率;erp1、erp2、erp3、ers1和ers2分别为反射P1、P2、P3、S1和S2的能量反射率。

由于弹性基岩表现为非耗散性,而饱和冻土介质由于孔隙流体和孔隙冰的存在表现为耗散性,结果表现为透射波均匀,而反射波不均匀,饱和冻土中各类波之间相互作用的能量率为

(67)

式中:i、j=1,2,3,4,5,6;Eij为饱和冻土中第i种波产生的应力与第j种波产生的速度作用形成的能流密度;i=j表示为各种波能流密度;i≠j表示为不同波之间相互作用产生的能流密度;emix表示为相互作用下波的能量相互作用率。

由于考虑了入射波携带的能量在整个反射和透射过程中的消散程度,因此根据能量守恒需满足在弹性基岩与饱和冻土介质自由表面上(z= 0)各反射波和透射波的能量率如下所示

(68)

式中,esum为所有透反射波的能量率之和。

4 数值验证与分析

4.1 数值验证

Kumar等研究了入射角对饱和冻土自由表面处反射波振幅比的影响,在基本假定中忽略其温度效应的影响。为了验证本文研究的正确性,本文将饱和冻土模型退化为不考虑温度的情况,求解了饱和冻土自由表面处的反射波振幅比与入射角之间的关系,并与文献中得到的结果进行了对比。验证计算采用了与上述文献相同的物理参数和边界条件(文献中的参数是 Lee 和 Waite 对加拿大西部 Mallik 5L-38 永久冻土气体水合物研究井给出的值),如表2和表3所示。

表2 验证的计算参数Tab.2 Calculated parameters for validation

表3 验证的边界条件Tab.3 Boundary conditions for validation

图2给出了饱和冻土在自由边界处的三个压缩波和两个剪切波的反射振幅比与入射角之间的关系。由图2可知,本文的求解与文献的求解计算结果相同,这进一步说明了本文方法的正确性。然后,通过数值计算研究了P1波从饱和冻土到弹性固体基岩分界面上的能量传输特性。

(a) 反射P1波

(b) 反射P2波

(d) 反射S1波

(e) 反射S2波图2 本文解与文献解的对比验证Fig.2 Comparison between present work and analytical solution

本节通过数值计算,研究了快压缩P1波从饱和冻土入射到弹性基岩分界面上的能量传输问题,具体分析了能量透反射率与能量相互作用率在不同入射频率f、温度T(含冰量nI)、孔隙率φ、胶结参数α和接触参数ε条件下随入射角度θip1变化的关系。其中饱和冻土介质与弹性基岩的计算参数在表4中详细给出。

表4 饱和冻土介质与弹性基岩的计算参数Tab.4 Calculation parameters for saturated frozen soil medium and elastic bedrock

4.2 入射频率对透反射波能量率的影响

当入射P1波从饱和冻土介质入射到弹性基岩时,存在临界角度θcr,取孔隙率φ= 0.3,接触参数ε= 0.5,温度T= -0.50 ℃(含冰量nI=0.192),泊松比v= 0.35,入射频率f为10、100和1 000 Hz,弹性基岩的剪切模量μe= 8 GPa,拉梅常量λe= 12 GPa,弹性基岩的密度为ρe= 2 700 kg/m3,其他计算参数见表4,在弹性基岩中,剪切波和压缩波的速度基于弹性波动力学解得

(69)

(70)

由表1所知,饱和冻土中反射P1波的相速度约为2 400～3 150 m/s,因此饱和冻土中入射P1波的波速小于弹性基岩中透射P波的波速,计算出透射P波的临界角度为:θcr=arcsin(cip1/ctp)≈50°～80°,因此弹性基岩中透射P波的透射角大于入射P1波的入射角。当入射角θip1增大到一定程度但还没达到90°,透射P波的透射角超过90°,此时透射P波在弹性基岩中沿界面“滑行”,出现了“全反射”现象,伴随着透射P波消失,此时的入射角度,即为本文的临界角θcr。

如图3所示,在不同频率条件下,各种波的能量反射率,能量透射率和相互作用下波的能量相互作用率(本文用emix波表示相互作用下的波)随入射角的变化曲线。从图3(a)～(h)中可以看出,频率对反射P2、P3和S2波的能量反射率影响较大,而对透射P、S波与反射P1、S1波和emix波的能量透反射率和能量相互作用率影响较小。造成这一结果的原因是由饱和冻土中五种体波的波速受频率的影响变化较小,即波速的大小也间接影响能量率的分配与变化。其中反射P2、P3和S2波的能量反射率随频率的增加而显著增大,而透射P、S波与反射P1、S1波和emix波的能量透反射率和能量相互作用率几乎不受到频率的影响。对比图3(a)～(h)可知,透射P波、反射P1波和emix波的能量透反射率和能量相互作用率处于同一数量级,要比反射P2、P3和S2波的能量反射率大好几个数量级。

(a) 透射P波

(b) 透射S波

(d) 反射P2波

(e) 反射P3波

(f) 反射S1波

(g) 反射S2波

(h) 相互作用波图3 不同频率下透反射波能量率随入射角的变化曲线Fig.3 The energy ratio curve of transmitted and reflected waves with the incident angle under different frequencies

另一方面,从图3(a)～(h)我们可以发现,当入射P1波垂直入射(即θip1= 0°)到分界面上时,没有透射S波与反射S1和S2波产生,即不产生剪切波,此时仅有透射P波和反射P1、P2和P3波存在且透射P波的能量透射率最大,能量相互作用率最低。当达到临界角时,各类波出现明显的脉冲峰值或波谷,透射P波的能量透射率将降低到0,随后透射P波消失,emix波的能量相互作用率达到峰值,此时分界面上的能量耗散达到最大。当掠入射时(即θip1= 90°)反射P1波几乎占据全部的能量,其余波的能量急剧下降。

4.3 温度(含冰量)对透反射波能量率的影响

含冰量和温度是反映冻土性质的两个重要指标,且含冰量随温度的变化而变化。当饱和冻土中温度下降时,未冻水凝固成冰,在本文方程(2)中给出了含冰量和温度的关系式,为探究温度(含冰量)对透反射波能量率的影响,进行如下分析。

取入射频率f= 100 Hz,孔隙率φ= 0.4,泊松比v= 0.35,接触参数ε= 0.5,温度T= -0.25 ℃、-0.50 ℃和-0.75 ℃。当温度T= -0.25 ℃时,含冰量很低nI=0.032,未冻水几乎充满孔隙nF=0.368;温度T= -0.50 ℃,含冰量nI=0.192,未冻水含量nF=0.208;温度T= -0.75 ℃,含冰量nI=0.270,未冻水含量nF=0.130。随着温度的降低(含冰量的增加),临界角越晚出现。温度T的变化对透射S波和反射P1、P2、P3和S1波具有相同的影响,它们的能量透反射率随温度的降低而单调递减。相反,对于透射P波和emix波的能量透射率和能量相互作用率随着温度T的降低而增加。随着温度的降低,反射P1波的脉冲峰值越大。从图4(g)可以看出,在含冰量nI=0.032和nI=0.270下,反射S2波的能量反射率均明显小于含冰量nI=0.192时,说明冰颗粒主导着透射S2波的产生,且在较高含冰量和较低含冰量时对透射S2波的能量起衰减作用。值得注意的是,温度对波速的影响较大,对其能量率的影响也越大。

(a) 透射P波

(b) 透射S波

(d) 反射P2波

(e) 反射P3波

(f) 反射S1波

(g) 反射S2波

(h) 相互作用波图4 不同温度下透反射波能量率随入射角的变化曲线Fig.4 The energy ratio curve of transmitted and reflected waves with the incident angle under different temperatures

4.4 胶结参数对透反射波能量率的影响

根据Luo等[41]和刘志军[42]的研究结论,整体骨架胶结程度的参数可取为

(71)

式中:v为饱和冻土介质的固体骨架泊松比;α为胶结参数,其物理意义反映了固体骨架的压缩性。胶结参数随着泊松比的增加而增大,但沉积土固结程度随之减弱,即胶结程度而减弱,此时土的物理性质越松散。当胶结参数越小,即胶结程度越强时往往对应岩石等介质。当胶结参数越大,即胶结程度越弱时对应实际工程中软土或海底沉积物等。

取入射频率f= 100 Hz,孔隙率φ= 0.3,接触参数ε=0.5,温度T= -0.50 ℃(含冰量nI=0.192),其中选取泊松比v为0.1、0.2和0.4,图5分析了不同胶结参数对能量反射率,能量透射率和能量相互作用率的影响。从图5(a)～(h)中可以看出,当泊松比的越大时,临界角越早出现。泊松比对弹性波的能量反射率,能量透射率和能量相互作用率有显著的影响,其中透射P波以及反射P3波和emix波的能量透反射率和能量相互作用率均随着泊松比的增加而明显减小,而透射S波与反射P1、P2、S1和S2波的能量透反射率均随泊松比的增加而增大。随着泊松比的增加,反射P1波脉冲峰值越大。因为随泊松比的增大使得胶结程度减弱,介质往往越松散,换言之说明随胶结参数α的减弱透射P波、反射P3波和emix波的能量透反射率和能量相互作用率随之减小,而透射S波与反射P1、P2、S1和S2波的能量透反射率随α的减弱而增大。

(a) 透射P波

(b) 透射S波

(d) 反射P2波

(e) 反射P3波

(f) 反射S1波

(g) 反射S2波

(h) 相互作用波图5 不同胶结参数下透反射波能量率随入射角的变化曲线Fig.5 The energy ratio curve of transmitted and reflected waves with the incident angle under different cementation parameters

4.5 孔隙率对透反射波能量率的影响

取入射频率f= 100 Hz,泊松比v= 0.35,接触参数ε= 0.5,温度T= -0.50 ℃(含冰量nI=0.192),孔隙率φ取为0.1、0.2、0.4,图6绘出了不同孔隙率下弹性波的能量反射率、能量透射率和能量相互作用率随入射角度的变化曲线。从图6(a)～(h)中可以看出,随着孔隙率的增加,临界角越早出现。孔隙率对弹性波的能量透反射率影响显著,透射P波和反射P3波的能量透反射率均随孔隙率φ的增加而明显减小。反之,透射S波以及反射P1、P2、S1、S2波和emix波的能量透反射率和能量相互作用率随孔隙率的增加而增大。随着孔隙率的增加,反射P1波的脉冲峰值越大。此外,孔隙率较大的土体密实度较小,但在同样的冻结温度下,却有更多的水冻结成冰,在一定程度上弥补了孔隙率过大造成的影响。因此,在孔隙率较大时透反射波能量率的增长跨度并不明显。

(a) 透射P波

(b) 透射S波

(d) 反射P2波

(e) 反射P3波

(f) 反射S1波

(g) 反射S2波

(h) 相互作用波图6 不同孔隙率下透反射波能量率随入射角的变化曲线Fig.6 The energy ratio curve of transmitted and reflected waves with the incident angle under different porosity

4.6 接触参数对透反射波能量率的影响

取入射频率f= 100 Hz,孔隙率φ= 0.3,泊松比v= 0.35,温度T= -0.50 ℃(含冰量nI=0.192),在不同接触参数ε= 0、0.5和1.0时弹性波的能量透反射率和能量相互作用率与入射角度的关系曲线如图7(a)～(h)所示。已知接触参数ε在实际条件中反应孔隙中冰颗粒对土骨架的支撑作用,当接触参数较小时,孔隙冰与土骨架之间摩擦力较大,相对运动幅度较小。当接触参数越大时,孔隙冰对土骨架的支撑作用减弱,相对运动幅度较大。

(a) 透射P波

(b) 透射S波

(d) 反射P2波

(e) 反射P3波

(f) 反射S1波

(g) 反射S2波

(h) 相互作用波图7 不同接触参数下透反射波能量率随入射角的变化曲线Fig.7 The energy ratio curve of transmitted and reflected waves with the incident angle under different contact parameters

从图7(a)～(h)中可以发现,随着接触参数的增加,临界角越早出现。当接触参数增加时,透射S波、反射P2、S1、S2波和emix波的能量透反射率和能量相互作用率呈现出不同程度的增大,而透射P波和反射P3波能量透反射率随之降低。接触参数对反射P1波的影响较小。随着接触参数的增加, 反射P1、S2波的脉冲峰值越大。接触参数对弹性波的能量透反射率有不同程度的影响,其中从数量级的变化对比,透射P波的能量透射率受到影响最大,而从变化幅度来看,其反射P3波的能量反射率受影响最为显著。

5 结论

通过波的势函数以及边界条件解析推导了反射波与透射波的反射振幅比与透射振幅比,进一步求解出能量透反射率和能量相互作用率。研究了在人工震源处激发出的快压缩P1波以不同入射角度透过饱和冻土与单相介质分界面上时,入射频率、温度(含冰量)、孔隙率、胶结参数和接触参数对各类波能量率的影响。主要结论总结如下:

(1) 当入射角θip1= 0°时,只有透射P波和3种反射P波产生;当达到临界角时,反射P1、S1和S2波的反射能量率出现明显的脉冲,透射P波的能量透射率迅速下降到0,随后透射P波消失。波在两种介质分界面上的传播特性与两种介质的相对波速相关,当波速越大时(即P1和S1波)占据的传播能量越大,相反S2波的波速最低占据能量最少。

(2) 入射频率对反射P2、P3和S2波的能量反射率影响较大,而对透射P、S波与反射P1、S1波和emix波的能量透反射率和能量相互作用率影响较小。当泊松比越大,胶结程度越弱时,透射P波以及反射P3波和emix波的能量透反射率和能量相互作用率越小,而透射S波与反射P1、P2、S1和S2波的能量透反射率越大。温度对透反射波的能量率影响较大,即冰颗粒的含量对饱和冻土介质和弹性基岩波的透反射特性影响显著。随着泊松比、孔隙率和接触参数的增加,临界角越早出现。

(3) 出现临界角时或温度较高时对反射波和透射波有负面影响,即分界面上能量耗散越大。在未出现临界角时能量相互作用率在数量级上表现很小,且各类参数对其影响较小。但在临界角附近时,能量相互作用率出现显著的脉冲峰值,数值上比未出现临界角时大好几个数量级。因此在分析饱和冻土与弹性基岩分界面上的能量输出特性时,能量相互作用率应被考虑。

附录A

式(5)～(10)、(14)～(16)和(28)～(29)中系数的表达式为

c23=ρ23ω2-b23iω,c23=c32,ρ11=a13nSρS+(a12-1)nFρF+(a31-1)nIρI,

ρ33=(a13-1)nSρS+(a23-1)nFρF+a31nIρI,ρ12=-(a12-1)nFρF,

ρ23=-(a23-1)nFρF,ρ13=-(a13-1)nSρS-(a31-1)nIρI,

R33=[(1-c3)nI]2Kav+Kim+4μ33/3,R12=(1-c1)nSnFKav,

R23=(1-c3)nInFKav,R13=(1-c1)(1-c3)nSnIKav+2μ13/3,

K1=((1-c1)nS)2Kav+Ksm,C12=(1-c1)nSnFKav,

K3=[(1-c3)nI]2Kav+Kim,C23=(1-c3)nInFKav,

C13=(1-c1)(1-c3)nSnIKav,μ13=(1-g1)(1-g3)μav,

μ11=[(1-g1)nS]2μav+μsm,c1=Ksm/(nSKS),

μ33=[(1-g3)nI]2μav+μim,c3=Kim/(nIKI),g1=μsm/(nSμS),

g3=μim/(nIμI),Kim=nIKI/[1+α(1-nI)],

Ksm=(1-nF-εnI)KS/[1+α(nF+εnI)],

μsm=(1-nF-εnI)μS/[1+αγ(nF+εnI)]。

式中:aij为j相对i相的扭曲度(弯曲度);rij为孔隙微观特征,对于球形颗粒rij=0.5;κS和κI分别为饱和冻土骨架和冰骨架动力渗透系数;κS0和κI0分别为饱和冻土骨架和冰骨架动力渗透系数参考值和流体动力黏滞系数ηF;Ksm、Kim和μsm、μim分别为土骨架和冰骨架的体变模量和剪切模量;Kav和μav为三相介质的不排水的体变模量和剪切模量;c1、c3和g1、g3分别为土骨架和冰骨架固结系数;KS、KF和KI分别为三相的体变模量;μS和μI分别为土颗粒和冰颗粒的剪切模量;ε为接触参数;δFPβ表示为各种压缩波相关的孔隙流体的振幅值与土骨架振幅值的比值;δIPβ表示为各种压缩波相关的冰颗粒的振幅值与土骨架振幅值的比值;δFSα表示为各种剪切波相关的孔隙流体的振幅值与土骨架振幅值的比值;δISα表示为各种剪切波相关的冰颗粒的振幅值与土骨架振幅值的比值。

附录B

矩阵(53)中m11～m77的系数如下