功能梯度石墨烯增强多孔复合材料阶梯圆柱壳的振动特性

徐宏达, 王 宇, 徐自强, 贾小羽, 于晓光

(辽宁科技大学 机械工程与自动化学院,辽宁 鞍山 114051)

功能梯度石墨烯增强复合材料因具有极高的杨氏模量、拉伸强度以及优异的导热性能,被广泛应用于航天航空、土木工程、兵器和核能等领域[1-2]。将石墨烯片填充到泡沫金属中,形成了功能梯度石墨烯增强多孔复合材料(functionally graded graphene platelet reinforced porous composite, FG-GPLRPC),兼具多孔材料的轻质性和石墨烯片的优异力学性能,还具有一定的减振性能[3],因此受到广大学者的关注。圆柱壳常常用于导弹外壳和航空发动机机匣等关键结构[4],但复杂工况下有时变厚度阶梯圆柱壳更适用于工程应用,例如运载火箭。为了提高圆柱壳的力学性能,同时减轻结构的重量,考虑到FG-GPLRPC力学性能的潜力,因此将FG-GPLRPC应用到阶梯圆柱壳结构中具有重要的科学意义。

对于复合材料板壳结构,许多学者进行了动力学研究,例如:Wang[5]、Li等[6-7]和Shen等[8]。对于功能梯度石墨烯增强复合材料圆柱壳,Feng等[9]首先将功能梯度材料引入到功能梯度石墨烯增强复合材料。Liu等[10]采用基于三维弹性理论的状态空间公式,研究了非均匀分布石墨烯增强复合材料的初始应力功能梯度圆柱壳的屈曲和自由振动。Baghbadorani等[11]基于壳体的一阶剪切变形理论和Donnell运动学关系,研究了石墨烯增强复合材料圆柱壳的自由振动。Qin等[12]根据Donnell壳理论和人工弹簧技术,研究了石墨烯增强复合材料圆柱壳在静止和旋转状态下的自由振动,并评估了边界弹簧刚度、石墨烯的质量分数、总层数和几何参数对壳体振动特性的影响。对于FG-GPLRPC相关的构件,主要围绕在均匀无厚度变化的结构进行研究,以下成果为本文研究提供了有价值的参考:Kitipornchai等[13]率先将FG-GPLRPC作为研究对象,讨论了FG-GPLRPC梁的自由振动和弹性屈曲行为。基于Timoshenko梁理论,Chen等[14]研究了石墨烯增强泡沫金属多层功能梯度多孔纳米复合材料梁的非线性自由振动和后屈曲行为。Wang等[15]采用改进的Donnell非线性壳理论对FG-GPLRPC圆柱壳进行了非线性振动分析。Yang等[16]通过使用一阶剪切变形理论来考虑横向剪切应变和切比雪夫-里兹法研究了FG-GPLRPC板的屈曲和自由振动行为,并对石墨烯的质量分数、几何参数以及孔隙系数的影响进行了全面的参数研究。Dong等[17]分别采用一阶剪切变形理论和Donnell壳体理论,研究了FG-GPLRPC旋转圆柱壳的线性和非线性自由振动。Wang等[18]考虑了不同类型的孔隙率和石墨烯分布模式,对石墨烯增强金属泡沫圆柱壳进行了非线性振动分析。Li等[19]讨论了在黏弹性阻尼边界条件下FG-GPLRPC涂层对纤维增强复合材料板的减振效果。

对于阶梯圆柱壳结构的动力学特性分析,李海超等[20-21]用惩罚参数法和Jacobi-Ritz法对具有任意边界条件的阶梯圆柱壳自由振动进行了分析,并验证了方法的合理性。Zhang等[22]基于Flüggle薄壳理论,对变厚度的阶梯圆柱壳和开口阶梯圆柱壳振动特性进行了研究。杜夷斐等[23]研究了在轴向冲击载荷作用下阶梯圆柱壳的屈曲行为。Chen等[24]分析了不连续厚度圆柱壳的自由振动和强迫振动。Li等[25]提出了用特征正交多项式处理功能梯度多孔阶梯圆柱壳热振动特性的一般方法。

综上所述,目前复合材料圆柱壳结构振动特性的研究较多,关于阶梯圆柱壳的动力学研究主要集中在单一材料,而对于复合材料阶梯圆柱壳的研究较少,尤其是弹性边界条件下的FG-GPLRPC阶梯圆柱壳,因此开展此壳体结构的振动特性研究具有重要意义和应用前景。本文基于一阶剪切变形理论,利用人工弹簧技术模拟任意边界条件,采用Jacobi-Ritz法求解其阶梯圆柱壳的振动频率,验证所提出方法的有效性,讨论各参数对壳体结构振动特性的影响。

1 理论方法

1.1 FG-GPLRPC阶梯圆柱壳力学模型

如图1(a)建立FG-GPLRPC阶梯圆柱壳的力学模型,在壳体中面定义柱坐标系(x,θ,z),O为坐标原点,轴向x、切向θ和径向z三个方向的位移分量分别由u、v和w表示,壳体中面半径为R,壳体总长度为L,如图1(b)所示,每个壳段长度为L1、L2…、Lp,每个壳段厚度为h1、h2…、hp。为了便于文中数学计算和表达,定义无量纲坐标η=x/L,因此∂/∂x=(1/L)∂/∂η。

(a) FG-GPLRPC阶梯圆柱壳模型

(b) FG-GPLRPC阶梯圆柱壳截面图

(c) 边界约束弹簧图1 FG-GPLRPC阶梯圆柱壳模型及边界约束弹簧Fig.1 FG-GPLRPC stepped cylindrical shell model and boundary constrained spring

1.2 FG-GPLRPC阶梯圆柱壳的材料属性

对于功能梯度石墨烯增强复合材料阶梯圆柱壳,沿厚度方向对不同含量的石墨烯片进行分层,考虑阶梯圆柱壳五种石墨烯分布模式如图2所示。颜色深浅代表石墨烯的含量,颜色深的代表石墨烯含量多,反之石墨烯含量少。GPL-UD呈均匀分布,其余四种呈梯度分布,其中GPL-X表现为壳体外侧和内侧石墨烯含量多的分布模式,GPL-O表现为中面石墨烯含量多并向两侧逐渐减少,GPL-V表现为外侧石墨烯含量多并向内侧逐渐减少,GPL-A表现为内侧石墨烯含量多并向外侧逐渐减少。通过考虑五种石墨烯分布模式,得到对应壳体第k层石墨烯的体积分数为

(a) GPL-UD

(b) GPL-X

(c) GPL-O

(d) GPL-V

(e) GPL-A图2 石墨烯分布模式示意图Fig.2 Schematic diagram of graphene distribution patterns

石墨烯的总体积分数由石墨烯的密度和质量分数以及基体密度决定,由式(2)表示

(2)

式中:WGPL为石墨烯的质量分数;ρGPL为石墨烯的密度;ρm为基体的密度。

基于Halpin-Tsai微观力学模型[26],功能梯度石墨烯增强复合材料的弹性模量为

(3)

式中:Em表示基体材料的弹性模量;ηL和ηW表示与石墨烯以及基体材料弹性模量相关的参数;ξL和ξW表示与石墨烯长度LGPL、宽度wGPL和厚度hGPL相关的参数。分别表示为

(4)

功能梯度石墨烯增强复合材料阶梯圆柱壳第k层的有效密度、泊松比和剪切模量表示为

(5a)

(5b)

(5c)

式中:μGPL为石墨烯的泊松比;μm为基体的泊松比。

如果将基体材料替换成多孔材料,就将形成FG-GPLRPC,兼具多孔材料的轻质性和石墨烯片的优异力学性能,同时这种复合材料具有更好的工程应用前景,因此,开展对其复合材料振动特性研究首先就要了解其复合材料的有效材料属性。沿厚度方向考虑三种孔隙分布类型,如图3所示。

(a) 类型Ⅰ

(b) 类型Ⅱ

(c) 类型Ⅲ图3 孔隙分布类型示意图Fig.3 Schematic diagram of porosity distribution types

用孔隙系数e0来表示孔隙的分布情况,FG-GPLRPC三种孔隙分布类型的弹性模量、剪切模量和密度依次表示为

类型Ⅰ:

(6a)

(6b)

(6c)

类型Ⅱ:

(7a)

(7b)

(7c)

类型Ⅲ:

E(z)(k)=E(k)α

(8a)

G(z)(k)=G(k)α

(8b)

ρ(z)(k)=ρ(k)α′

(8c)

根据开胞体理论[27],由式(9)表示

(9)

通过式(9)可以建立不同孔隙分布类型的密度系数和孔隙系数之间的关系,表示为

类型Ⅱ:

(10)

通过设置具有不同孔隙系数和石墨烯分布的壳体质量相等,得出如式(11)表示

(11)

由式(10)可见,已知类型Ⅰ的孔隙系数e0,可求出三种孔隙分布类型的密度系数,再通过式(11)可求出另外两种孔隙分布类型的孔隙系数。

2 FG-GPLRPC阶梯圆柱壳振动控制方程

基于一阶剪切变形理论,圆柱壳上任意一点沿着x、y和z轴方向的位移表示如下

u(η,θ,z,t)=u0(η,θ,t)+zφx(η,θ,t)

(12a)

v(η,θ,z,t)=v0(η,θ,t)+zφθ(η,θ,t)

(12b)

w(η,θ,z,t)=w0(η,θ,t)

(12c)

式中:u0、v0和w0为壳体中面位移;φx和φθ分别为壳体任意点处横截面绕θ轴和x轴的转角。

应变分量表示为

(13)

(14a)

(14b)

(14c)

κxz(i)=0,κθz(i)=0

(14d)

利用广义胡克定律可以得到以下关系

(15)

(16)

沿x和θ方向中面上的内力、内力矩和横向剪切力由式(17)表示

(17a)

(17b)

(17c)

式中:κ为修正系数,取值5/6;hk和hk+1表示厚度方向每一层的位置坐标。

沿x和θ方向中面上的内力、力矩和横向剪切力与曲率的关系如下

(18)

式中,Aij、Bij和Dij(i,j=1,2,6)分别是拉伸刚度、耦合刚度和弯曲刚度。表示为

(19)

FG-GPLRPC阶梯圆柱壳的第i壳段动能T(i)为

(20)

式中,惯性项I0,I1,I2分别表示为

(21)

第i壳段应变能Uε(i)表示为

(22)

边界弹簧所储存的弹性势能Ub为

(23)

相邻壳段之间的附加势能Us(i)表示为

(24)

采用统一的Jacobi多项式作为容许函数,将FG-GPLRPC阶梯圆柱壳的位移场展开为

(25a)

(25b)

(25c)

(25d)

(25e)

式中:Am,Bm,Cm,Dm,Em为未知系数;m和n分别为轴向半波数和周向波数;ω为固有角频率;M为最大截断数;Pm为Jacobi多项式。在区间[-1,1]之间的递推关系如式(26)[28](α>-1,β>-1),因为η∈[0,1],使其t区间控制在[-1,1],因此令t=2η-1。定义α=0,β=0。

(26a)

(26b)

(26c)

取各能量表达式的最大值,采用Jacobi-Ritz法得到拉格朗日能量方程表示为

(27)

式中,Np表示壳段数。

对式(27)未知系数q求导,由式(28)表示

(28)

其中,

(29)

通过式(28)得到FG-GPLRPC阶梯圆柱壳振动控制方程为

(Kε+Kb+Ks-ω2M)qT=0

(30)

式中:Kε、Kb、Ks和M分别表示为势能矩阵、边界刚度矩阵、连接刚度矩阵和质量矩阵。

3 模型收敛性和有效性验证

3.1 模型参数

表1 圆柱壳的材料属性Tab.1 Material properties of cylindrical shell

3.2 收敛性和有效性验证

本文采用惩罚参数法分析FG-GPLRPC阶梯圆柱壳,可以更改任意壳段的厚度和长度,需要考虑壳段数对收敛性的影响,在GPL-UD分布模式、孔隙系数e0=0.2下,三种孔隙分布类型不同壳段数对FG-GPLRPC均匀圆柱壳无量纲频率的影响如表2所示。可以看出,壳段数在NP=2就具有很好的收敛性,因此下文研究取壳段数NP=2,以两阶梯圆柱壳作为研究对象。

表2 壳段数对FG-GPLRPC均匀圆柱壳无量纲频率影响Tab.2 Influence of shell segment number on dimensionless frequency of FG-GPLRPC uniform cylindrical shell

采用Jacobi-Ritz法求解壳体频率时,为了提高计算效率,需要对振型函数展开项截断数进行分析,FG-GPLRPC阶梯圆柱壳对壳体无量纲频率收敛性的分析如表3所示。由表3可知,当截断数M=6时,频率计算结果已经达到收敛,说明Jacobi多项式具有很好的收敛性。文中截断数均取M=6。

表3 截断数对FG-GPLRPC阶梯圆柱壳无量纲频率的影响Tab.3 Influence of truncation number on dimensionless frequency of FG-GPLRC stepped cylindrical shell

表4 功能梯度石墨烯增强复合材料圆柱壳无量纲频率对比Tab.4 Dimensionless frequency comparison of functionally graded graphene platelet reinforced porous composite cylindrical shell

(31)

对于以泡沫金属铜为基体组成的FG-GPLRPC圆柱壳,简支-简支边界条件下,其中将石墨烯分布模式定为GPL-UD,通过文献[3]进行验证如表5所示。可以发现,分析结果与文献[3]结果最大误差为0.23%,具有较好的一致性,适于分析FG-GPLRPC圆柱壳。

表5 FG-GPLRPC圆柱壳无量纲频率对比Tab.5 Dimensionless frequency comparison of FG-GPLRPC cylindrical shell

表6 阶梯圆柱壳无量纲频率对比Tab.6 Dimensionless frequency comparison of stepped cylindrical shell

4 数值分析和讨论

4.1 层数的影响

在GPL-UD分布模式下,不同孔隙类型层数对FG-GPLRPC阶梯圆柱壳无量纲频率的影响如表7所示。结果表明,不同孔隙分布类型下壳体结构的频率不会随壳体层数的增加或减少而变化,说明层数对频率影响较小,下文选取层数为NL=10进行研究。

表7 层数对FG-GPLRPC阶梯圆柱壳无量纲频率影响Tab.7 Influence of layer numbers on dimensionless frequency of FG-GPLRPC stepped cylindrical shell

4.2 孔隙系数的影响

在分别给定同一石墨烯分布类型和孔隙类型前提下,各孔隙分布类型以及石墨烯分布模式的无量纲频率随孔隙系数的变化如图4所示。由图4可知,FG-GPLRPC阶梯圆柱壳频率随着孔隙系数的增大而减小,这是由于较高的孔隙系数表示壳体中有较密集和较大的孔隙,削弱了圆柱壳结构的刚度。图4(a)中可以看出,五种石墨烯分布模式中,GPL-X分布模式下壳体频率最高,具有最佳的刚度增强效果;图4(b)中可以发现,四种孔隙分布类型中,孔隙分布类型Ⅱ的壳体结构具有最大的结构刚度。为了分析方便,下文选取GPL-UD分布模式和孔隙分布类型Ⅰ进行研究。

(a) 类型Ⅰ

(b) GPL-UD分布模式图4 孔隙系数对FG-GPLRPC阶梯圆柱壳无量纲频率影响Fig.4 Influence of porosity coefficient on dimensionless frequency of FG-GPLRPC stepped cylindrical shell

4.3 石墨烯质量分数的影响

石墨烯质量分数对FG-GPLRPC阶梯圆柱壳无量纲频率的影响如图5所示。可以发现,频率随着石墨烯质量分数的增大而增大,当石墨烯质量分数为零时,壳体的频率最小,质量分数为1%时频率最大,说明石墨烯对壳体结构的刚度具有明显的增强效果。这是因为石墨烯质量分数的增大导致FG-GPLRPC弹性模量的增大,从而增加了壳体结构的固有频率和刚度。如果没有额外说明,下文选取质量分数1%进行研究。

(a) m=1,n=1

(b) m=1,n=2图5 石墨烯质量分数对FG-GPLRPC阶梯圆柱壳无量纲频率的影响Fig.5 Influence of graphene platelet mass fraction on dimensionless frequency of FG-GPLRPC stepped cylindrical shell

4.4 尺寸参数的影响

圆柱壳长径比和径厚比对FG-GPLRPC阶梯圆柱壳无量纲频率的影响如图6所示。结果表明,当圆柱壳径厚比一定时,随着圆柱壳长径比的增大,壳体频率减小;当长径比一定时,无论径厚比如何变化,频率的变化都较小。因此可以看出,长径比较大的圆柱壳对应较低的频率,较薄和较长的圆柱壳表现出较小的刚度,而径厚比对阶梯圆柱壳的振动特性影响较小。

(a) 圆柱壳长径比

(b) 圆柱壳径厚比图6 圆柱壳的尺寸参数对FG-GPLRPC阶梯圆柱壳无量纲频率的影响Fig.6 Influence of dimension parameters of cylindrical shells on dimensionless frequency of FG-GPLRPC stepped cylindrical shell

石墨烯片长宽比和长厚比对FG-GPLRPC阶梯圆柱壳无量纲频率的影响如图7所示。当长厚比给定时,频率随着石墨烯片长宽比的增大而减小;同时不同长宽比壳体之间频率相差在0.01之间,说明石墨烯片的长宽比对频率的影响较小。当长宽比给定时,随着石墨烯片长厚比的增大,壳体频率增大;此外,当石墨烯片的长厚比超过102时对频率的影响逐渐变小。

(a) 石墨烯片长宽比

(b) 石墨烯片长厚比图7 石墨烯片的尺寸参数对FG-GPLRPC阶梯圆柱壳无量纲频率的影响Fig.7 Influence of size parameters of graphene platelet on dimensionless frequency of FG-GPLRPC stepped cylindrical shell

4.5 边界弹簧刚度值的影响

为了研究边界弹簧刚度值的影响,设置平动和旋转弹簧刚度值从102增加到1014,当平移或旋转弹簧刚度值增加时,另一组弹簧的刚度保持不变,计算各个刚度值的FG-GPLRPC阶梯圆柱壳无量纲频率如图8所示。由图8可知,频率变化有三个阶段,在开始阶段,频率保持不变且频率较低;第二阶段频率明显增加;最后频率再次保持稳定不变。此外还可以发现,平动弹簧刚度值频率的变化幅度高于旋转弹簧,频率突然增加时的刚度值小于旋转弹簧。

(a) 平动弹簧刚度

(b) 旋转弹簧刚度图8 边界弹簧刚度值对FG-GPLRPC阶梯圆柱壳无量纲频率的影响Fig.8 Influence of boundary spring stiffness values on the dimensionless frequency of FG-GPLRPC stepped cylindrical shell

4.6 无量纲频率随周向波数的变化规律

不同孔隙分布类型下FG-GPLRPC均匀圆柱壳和阶梯圆柱壳随周向波数的变化如图9所示。可以看出,三种孔隙分布类型都随着周向波数的增大呈现先减小后增大的趋势,表明m=1,n=1不是所有模态振型中频率最小的;在孔隙分布类型Ⅰ下,周向波数对频率的影响比在类型Ⅱ和Ⅲ时显著;当周向波数n>3时,阶梯圆柱壳比均匀圆柱壳频率低,且变化程度相较于均匀圆柱壳小;当所有孔隙类型波数小时频率接近,波数大时差别越来越明显,因此孔隙类型在较高模态对壳体振动特性的影响更加显著。

图9 无量纲频率随周向波数的变化Fig.9 Variation of dimensionless frequency with circumferential wave numbers

5 结 论

本文以FG-GPLRPC阶梯圆柱壳为研究对象,基于一阶剪切变形理论、惩罚参数法和Jacobi-Ritz法,研究了FG-GPLRPC阶梯圆柱壳的振动特性。主要结论如下:

(1) 验证了本文方法的有效性和收敛性,当壳段数为2且截断数为6时具有良好的收敛性和计算效率,适用于FG-GPLRPC阶梯圆柱壳的振动特性分析。

(2) 层数对FG-GPLRPC阶梯圆柱壳频率影响较小;孔隙系数对频率的影响较大,表现为孔隙系数增大时频率减小;石墨烯含量对阶梯圆柱壳具有明显的刚度增强效果,表现为石墨烯质量分数增大,频率增大;同时,GPL-X分布模式和孔隙分布类型Ⅱ具有最佳的增强效果。

(3) 尺寸参数对频率的影响不同,具体表现为阶梯圆柱壳长径比增大时频率明显减小,而径厚比的变化对频率的影响较小;石墨烯片长宽比增大时频率减小,而长厚比增大时频率呈增大趋势。

(4) 平动弹簧对壳体频率的影响大于旋转弹簧,表现为平动弹簧刚度值频率的变化幅度高于旋转弹簧,频率突然增加时的刚度值小于旋转弹簧。FG-GPLRPC阶梯圆柱壳的频率随着周向波数的增大呈现出先减小后增大的趋势;在三种孔隙分布类型下,类型Ⅰ的变化程度最大。