基于合情推理能力发展的问题串设计研究

刘园园

［摘  要］ 逻辑推理素养是数学核心素养的六大素养之一，合情推理作为逻辑推理的一个分支，在数学教学中占有重要地位. 文章从两个实际案例出发，具体谈谈合情推理背景下问题串的优势与设计措施，并从“问题需围绕合情推理内容而展开”“问题串应立足于学生认知的起点”“应处理好预设与生成之间的关系”三方面谈一些思考.

［关键词］ 类比推理；归纳推理；问题串

随着新课改的推进，教育工作者越来越关注学生的全面发展，“立德树人”已然成为当下最热门的话题. 然而，当前仍有部分教师的教育教学理念没有跟上时代发展的步伐，尤其是课堂中呈现出来的问题串质量不高，无法达到发展学生合情推理能力的目的. 为此，笔者特别针对基于合情推理能力发展的问题串设计进行了大量的研究.

问题串在课堂教学中的优势

1. 循序渐进，层次分明

以发展合情推理为目标所设计的问题串具有从简单到复杂、由浅入深的规律. 一个个问题串犹如层层阶梯，让学生能够在低起点、小步子、多台阶中进行分析与思考，形成自己独特的见解与猜想，并以推理、总结、验证等方式总结经验［1］. 层次分明的问题串能够夯实学生的知识基础，让学生明晰知识的发展过程.

2. 活跃氛围，引发思考

问题串的介入常能成功地激活课堂气氛，调动学生的学习兴趣，驱动学生产生探索行为. 实践证明，学生的探索欲往往由好奇心所决定. 章建跃认为，问题具有激发学生去思考、实践、观察与学习的作用. 以合情推理发展为目的的问题串，能从较大程度上激发学生的好奇心，提高学生的课堂参与度，引发思考.

3. 环环相扣，建构联系

问题串与单个问题有着质的区别，单个问题一般以解决一个问题为主，而问题串则由多个环环相扣的问题组成，每个问题之间存在着一定的联系，学生通过对问题串的思考，可对知识间的联系产生明确的认识，为建构完整的知识结构奠定基础. 在问题串的引领下，课堂具有一定的节奏感，每个问题的提出都具有一定的基础性，同时问题间的关联性可完善学生的知识体系.

发展合情推理能力的问题串

设计

合情推理是指从事实出发，根据学生自身的认知经验与直觉推断出结论的过程. 类比推理与归纳推理属于合情推理的两种类型，两者都是通过观察、类比、归纳、联想、猜想等方法驱动学生的探索欲，让学生从问题串中提升思维能力［2］.

1. 发展类比推理能力的问题串设计

类比推理是指对两个或两个以上对象的对比，分析它们之间具备怎样的异同点，并根据事物的部分属性推导出其他属性的过程. 美国著名的数学家波利亚认为，提出新的问题、获得新的发现都源自类比. 教师在教学中，应从多渠道引发学生的类比，让学生在问题串的启发下进行推理分析，以促进数学思维的发展.

案例1  “分式”的教学

分式是初中阶段教学重点之一，学生在初始接触时，常常存在思维障碍. 为了有效发展学生的数学思维，让学生掌握分式的本质，笔者设计了如下问题串以促进学生类比推理能力的发展.

设计意图？摇 这三个由浅入深的问题串，意在引导学生通过类比思想的应用，自主获得分式的概念，让学生的思维自然而然地从分数过渡到分式，同时对整式到分式的变化过程有一个明确的认识. 此过程不仅渗透了代数思想，还借助问题引发了学生的深度思考，让学生通过类比思想的应用，自主发现并建构分式的概念，从一定程度上发展了学生的创新意识.

问题4？摇 回顾学习分数时我们研究了哪些内容？（學分数时，研究了分数的概念、性质、运算与应用等）

问题5？摇 与分数类比，你觉得分式应该怎样学？需要学习哪些内容？

设计意图？摇 这两个问题旨在引导学生通过与分数学习过程的类比，自主发现分式知识的学习思路与研究方法，鼓励学生通过套路，自主发现、建构新知，这是提高学生自主学习能力的关键.

问题6？摇 已知一艘轮船位于静水中的最大航速为20 km/h，该船以最大航速顺流行驶100 km所耗费的时间和以最大航速逆流行驶60 km所耗费的时间一样，求水流速度是多少.

和分数类比，分式与分数的分母不一样，分数的分母均为整数，但分式的分母是含有字母的整式，因此可以看出分数是分式的一种特殊情况，分式是分数的一般形式.

问题7？摇 以上分式中的字母是否可以随意取实数？（想要分式有意义，分母不可为0，因此不可以随意取数）

设计意图？摇 从生活情境着手引入分式，让学生结合情境来观察分式，通过与分数的类比获取分式的实际意义. 此情境创设的主要目的在于引发学生自主分析分数和分式具有怎样的关系，并从“是否有意义”的角度来辨别分式应具备的条件.

随着师生探索的深入，分式的概念与本质也随之揭晓. 从这个教学过程来看，问题串的应用成功地激发了学生的类比推理能力，让学生通过与分数的对比，在独立思考与合作交流中获得了分式的概念. 这种学习方式，不仅让学生获得了一定的研究套路，还使得学生在合作交流中进一步掌握了知识本质，为建构完整的知识结构奠定了基础.

2. 发展归纳推理能力的问题串设计

归纳是指数学教学中从特殊到一般的过程，归纳推理则是从特殊到一般的推理. 教师应关注学生的实际认识水平与生活经验，带领学生从他们所熟悉的事物着手进行研究、总结、概括，以发现一般性的结论. 基于归纳推理的问题串设计，应遵循由浅入深的过程.

案例2  “多边形的内角和”的教学

学习多边形内角和难度并不大，学生只要发现并掌握其中存在的规律即可获得结论. 但其探索过程却属于比较困难的环节，若引导不好，学生则难以打开思维，最终只能对公式进行机械性记忆，到后续应用时则漏洞百出. 想要让学生从根本上掌握多边形内角和的规律，就要让学生通过对特殊情况的探索推导出一般性的规律.

设计意图？摇 三角形、长方形、正方形、梯形等都是学生所熟悉的图形，由此作为思维的起点，让学生思考问题2“是否所有四边形的内角和均为360°”，这是从特殊到一般的研究过程，学生的思维自然而然地随之发展，这两个问题的提出为后续探索多边形的内角和奠定了基础.

设计意图？摇 在问题2的基础上提出问题3，可成功引发学生的认知冲突，让学生进入四边形内角和的探索中去，尤其是方法2的应用，为后续解决多边形的内角和问题奠定了方法基础.

方法1中，学生通过量角器的应用，切身体验了任意四边形的内角和，这种方法有效提升了学生的动手操作与思考能力. 方法2的应用，有效渗透了化归思想，成功激发了学生的潜能. 同时，一题多解对发散学生的思维、提炼思想方法以及优化解题技巧具有重要意义.

问题4 ？摇请尝试应用以上方法分别探索五边形、六边形的内角和.

如图2，从五边形中的某个顶点出发，分别与其他顶点相连，共有2条对角线，此时原图形就被分割成3个小三角形，那么五边形的内角和为3×180°=540°.

如图3，从六边形中的某个顶点出发，分别与其他顶点相连，呈现3条对角线，此时原图形被分割为4个小三角形，由此可以确定六边形的内角和是4×180°=720°.

设计意图？摇 循序渐进的问题串让学生通过对三角形、四边形、五边形、六边形这些特殊图形的探究，获得一般性的n边形内角和的结论：（n－2）·180°. 这种从具体到抽象、从特殊到一般、从简单到复杂的过程，对发展学生的归纳推理能力具有重要促进作用.

几点思考

这两个案例对于培养学生的合情推理能力具有重要意义，不论是类比推理还是归纳推理的发展都离不开问题串的辅助. 如今，问题串在课堂中的应用已经相当普遍，实践告诉我们，以发展合情推理能力为目的的问题串设计需要注意如下几点：

1. 问题需围绕合情推理内容而展开

问题串应用的目的在于引发学生合情推理能力的发展，因此每一个问题的设计都要紧紧围绕合情推理的内容，将此作为问题的起点与终点. 如案例2中的每一个问题，从表面上看是逐个突破几边形内角和，而从本质上来观察，每个问题都为引发学生发现多边形内角和规律而准备. 大胆猜想、严谨验证、提炼数学思想方法、归纳公式等都在一个个问题的逐个突破中完成，学生的合情推理能力也在此过程中得以有效发展.

2. 问题串应立足于学生认知的起点

合情推理是有根据的推理过程，绝非毫无根据的胡思乱想. 因此，每一个问题的设计都要有明确的依据，可以学生已有的认知作为问题的起点. 比如案例1中的每一个问题都是在学生原有认知基础上而设计的，学生的思维随着问题的深入而发展. 学生从熟悉的分数出发，在问题串的作用下，通过类比推理的方式获得分式的概念、性质等. 整个过程自然、流畅.

3. 应处理好预设与生成之间的关系

每一节课都是动态发展的，不论多么精心的预设都不能保证课堂能够根据预设前进. 即使教师根据学生的认知起点来设计问题串，也不能保证每个学生的思维朝一个方向发展［3］. 这就要求教师需拥有随机应变的能力，根据课堂的实际情况及时调整教学策略.

如案例2中对于四边形内角和的探索，教师预设了两种方法，但实际教学中极有可能会出现更多的方法. 此时，教师应启动应急能力，快速辨别学生所提出的新方法是否適用于多边形内角和的推导. 若可以，则顺应学生的思维，接着往下推导；若不可以，则需做好引导工作，让学生心悦诚服.

总之，新课标背景下的数学教学以发展学生的数学核心素养为宗旨，以“立德树人”为核心. 这就要求教师能够与时俱进地更新教学理念，让课堂在合情推理中充满内涵与灵气. 实践证明，有问题的课堂是灵动的课堂，有高质量问题的课堂是充满智慧的课堂，问题串的应用常能让课堂在“通情达理”中动态生成.

参考文献：

［1］邵长松. 精心设计数学问题 培养合情推理能力——例谈考查合情推理能力的主要方式［J］. 中学数学杂志，2018（04）：20-22.

［2］史宁中. 试论数学推理过程的逻辑性——兼论什么是有逻辑的推理［J］. 数学教育学报，2016，25（04）：1-16，46.

［3］宋运明. 论数学问题提出和数学活动经验的关系［J］. 数学教育学报，2010，19（06）：34-36，49.