二次根式的化简方法分析及混合运算探究

刘志仪

【摘 要】  二次根式的化简计算中，有些是看上去复杂的加减乘除混合运算，有时能够运用乘法公式、逆用幂的运算性质、加法和乘法的运算律等简化计算，有时也可以运用一些技巧，如拆项、裂项、先求其倒数等使运算简便.在进行二次根式的相关化简和混合计算时，结合二次根式的性质和特点，合理利用条件、选择合适的方法，往往可以使解题过程既快速又准确.

【关键词】 二次根式；化简；混合运算

1 二次根式的化简

把二次根式化为最简二次根式的过程叫做二次根式的化简[1]。二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽。如果被开方数是分式或分数（包括小数），先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式，然后利用分母有理化化简。如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从而将式子化简[2]。

1.1 巧用乘法公式

在二次根式的混合运算中，有符合或者化简后符合完全平方公式和平方差公式的形式的式子，则可利用公式进行解题。有时可以利用配方法把被开方数写成完全平方式，达到去根号的目的。运用公式：或，使计算快捷简便。

例1  化简下面二次根式：

解：化简过程如下

1.2 巧用逆运算

在部分化简题目中，如果多项式的次数较大，且不能直接运算时，可考虑逆用一些乘法公式进行化简。常见的公式逆用，，等。

例2  化简

解：化简过程如下

1.3 巧拆項、裂项、添项

两个含有二次根式的式子相除，如果有一个能够较容易地因式分解，另一个适当地拆项后，能够进行裂项，且裂项后能够约分或较容易分母有理化，就可以使运算简便。

例3  化简

解：化简过程如下

1.4 巧取倒数

两个含有二次根式的式子相除，如果直接化简计算很麻烦，但它们的倒数却比较容易求，就先求他们的“倒数”，这个“倒数”的倒数，就是所求的原式的值。

例4  化简

解：设，则

所以

1.5 换元法

当问题的结构比较复杂，难以直接发现规律时可以把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替（即换元），则能使复杂的问题简单化，以便于发现解题规律。

例5  化简

解：设，，，则

2 二次根式的混合运算

二次根式的混合运算，是指二次根式的乘方、乘法、除法及加法和减法的混合运算，其运算的顺序是先算乘方，再算乘除，最后算加减，同级运算按从左到右的顺序依次进行，有括号先算括号里面的[3]。其中需要注意：（1）二次根式的混合运算的顺序与实数的混合运算的顺序是一致的；（2）计算时的注意事项：①结果要化为最简二次根式；②分母为多项式时不能随便拆项，可以利用分母有理化进行化简；③如果含有字母，要注意字母的取值范围是否能使式子成立，以及其中的隐藏条件；④若分子为多项式，则去分数线时要加括号。

2.1 二次根式的乘除运算

二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用，在运算时要明确运算符号和运算顺序，若被开方数是带分数，则要先将其化为假分数。

例6  计算（1）；（2）。

解：（1）

（2）按顺序先作除法，再作乘法

2.2 二次根式的加减运算

将各个二次根式化成最简二次根式，找出化简后被开方数相同的二次根式，将其合并。若有括号，则先去掉括号再运算。另外，有理数的加法交换律、结合律都适合于二次根式的运算例。

例7  计算（1）；（2）。

解：（1）先算乘除，再算加减

（2）先去括号再运算

3 结语

二次根式的化简看似复杂，但只要灵活运用其运算技巧，便可化繁为简，省去大量计算步骤，快速准确得到最简式。而二次根式的运算顺序同实数的运算顺序一样，都是从高级到低级进行运算，有括号的先算括号，再配合一些方法技巧便可简化运算。

参考文献

[1]王伟宏.二次根式的混合运算分析[J].现代中学生（初中版），2022（18）：21-22.

[2]孙洁.把握化简时机 巧算二次根式[J].初中生世界，2021（Z5）：89-90.

[3]姜鸿雁.二次根式运算背后的“门道”[J].中学生数理化（八年级数学）（配合人教社教材），2018（Z1）：18-19.