磁场中三角形最小面积的错解分析

周耀虎

(安徽省合肥一六八中学)

在磁场专题复习中,带电粒子在匀强磁场中的运动问题,通常涉及求最小三角形、圆形磁场、矩形、“叶片形”等区域磁场面积,学生不能正确理解磁场的对称性和均匀分布的特点以及不能根据所需的磁场强度和分布情况来计算最小面积。在解决这类问题时,需要掌握一些基本原理和解题方法,否则很容易产生一些错解。下面以高三复习中的典型试题为例,加以分析。

【例1】如图1所示,在平面直角坐标系xOy中的第一象限内存在磁感应强度大小为B、方向垂直于坐标平面向内的有界匀强磁场区域(图中未画出);在第二象限内存在沿x轴负方向的匀强电场.一粒子源固定在x轴上的A点,A点坐标为(-L,0)。粒子源沿y轴正方向释放出速度大小为v的电子,电子恰好能通过y轴上的C点,C点坐标为(0,2L)。电子经过有界磁场偏转后方向恰好垂直ON,ON是与x轴正方向成15°角的射线。(电子的质量为m,电荷量为e,不考虑粒子的重力和粒子之间的相互作用)。求:

图1

(1)第二象限内电场强度E的大小;

(2)若有界磁场是三角形,求三角形磁场的最小面积S2。

图2

【失误分析】看答案似乎正确,但过入射点出射点切线所构成的三角形真的是最小的吗?

作出如图3所示,圆心角为2θ的圆弧半径为R,两端点分别为A、B,过A、B切线交点C与A、B所围成的三角形即为上述所描述的最小三角形。

图3

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上述情形的三角形只是一种特殊情况。为了证明普遍性,如图4所示,再找两个对称点E、F,设∠COE=∠COF=α,其中α∈[0,θ],过E、F切线相交于点I,并分别交AB延长线于G、H,△GHI为一般三角形。

图4

对y求导得y′=

利用软件作出y-α图像如图5所示

图5

【解决策略】通过前面的分析,可知问题最终源于题干中未明确所求三角形的有界磁场是等边三角形、直角三角形又或是其他三角形?若不加说明让学生求最小三角形磁场面积问题时,学生一般都是会思维定式、想当然地去处理问题,这就要求教师在命制此类试题的时候一定要经常对数据进行反复演算,避免出现这类不科学的问题;多研究高考真题去编制更多符合学生认知、能准确考查学生核心素养的好试题。

通常在高中阶段求解的都是最小正三角形的磁场面积,而解决这类问题也有通法:带电粒子进磁场的射入点与出磁场的射出点的连线——即轨迹圆的弦是确定最小磁场区域面积极为重要的一条参考线。

【例2】如图6所示,一个质量为m,带电荷量为q(q>0)的粒子在BC边上的M点以速度v垂直于BC边飞入正三角形ABC。为了使该粒子能在AC边上的N点垂直于AC边飞出该三角形,可在适当的位置加一个垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场。若此磁场仅分布在一个也是正三角形的区域内,且不计粒子的重力,试求:

图6

(1)画出正三角形区域磁场的边长最小时的磁场区域及粒子运动的轨迹;

(2)该正三角形区域磁场的最小面积。

【解析】(1)由题意可知,粒子刚进入磁场时先向左偏转,不可能直接在磁场中由M点向右做圆周运动到N点,当粒子刚进入磁场和刚离开磁场时,其速度方向应该沿着轨迹的切线方向并垂直于半径,如图7所示作出圆O,粒子的运动轨迹为弧GDEF,圆弧在G点与初速度方向相切,在F点与出射速度相切。画出三角形abc,其与圆弧在D、E两点相切,并与圆O交于F、G两点,三角形abc为符合题意的最小磁场区域。

图7

图8

从以上案例分析来看,求一般三角形的面积需要数据验证,难度较大,教师命题或者学生做题都易出现错误,且数据处理较为烦琐;而正三角形最小面积则可以通过结论快速求解,提高了高三复习备考效率。同时启发我们在复习中宜采取以下两个策略:

(1)建立知识框架。首先需要明确磁场的基本概念和原理,包括磁感应强度、磁通量、磁场强度等;然后在此基础上建立知识框架,将相关知识点串联起来;

(2)注重实例和练习。通过实例题和练习题来加深对磁场问题的理解和应用。有助于学生更好地掌握解题方法和技巧,同时也能发现自己在解题过程中的常见错误和问题。

【总结和反思】在完成实例题和练习题后,学生需要对自己的解题过程进行总结和反思。包括思考自己在解题过程中的思路、方法、步骤等方面是否存在问题,如何改进等。同时也要注意总结解题方法和技巧,以便在解题中能够更加熟练地应用。

在复习过程中,难的不是物理,而是数学处理!学生需要注重对磁场问题的理解和常见情境的应用。只有真正理解问题的本质和解决方法,才能更好地应用所学知识来解决实际问题。