一种改进趋近律的PMSM 非奇异终端滑模控制*

杨松林 陈天昊 刘启航 王 坤 陈少华

（①北京信息科技大学仪器科学与光电工程学院，北京 100192；②北京信息科技大学光电测试技术北京市重点实验室，北京 100192；③北京航空航天大学惯性技术国防科技重点实验室，北京 100191；④北京市高速磁悬浮电机技术及应用工程技术研究中心，北京 100191）

近年来，由于永磁同步电机具有功率密度较高、调速性能好和结构简单等优点，被广泛应用于轨道交通、新能源电动化汽车、航空航天等领域[1-2]。为了提高电动机的运行效率，必须掌握准确的转子转速及位置信息。目前，对于电动机转子的检测，一般都是采用霍尔、磁阻和电涡流等传感器检测实现的。位置传感器增加了设备的体积与成本，对设备的使用环境提出了更高的要求，但降低了电机系统的可靠性。无位置控制方法包括高频信号注入法、反电动势法、扩展卡尔曼滤波算法、滑模观测器算法等。其中，滑动模态观测器算法是指通过人为设定平衡点的相位轨迹，从而使系统的各个状态点沿着这一相轨道逐步趋于稳定。设计过程不受系统参数影响，响应速度快，更适用于永磁同步电机控制。

滑模观测器算法的关键在于使系统稳定后停留在滑模面附近，然而现存的抖振问题仍然是研究的热点之一。文献[3]提出用边界可变的分段幂函数代替传统的符号函数，引入随系统自适应变化的滑模增益，有效削弱了系统的抖振现象，引入自适应变化参数使滑模观测器算法复杂度过高，参数整定更加复杂。文献[4-8]针对抖振问题提出新型趋近律来改善控制系统稳定性，提高了系统的鲁棒性，但是所设计的趋近律多与系统参数相关，其导致所得到的速度位置等结果不准确，且容易受到系统参数的影响。文献[9]通过卡尔曼滤波算法将系统线性化，实现了电机转子位置的观测，但是此方法计算量大，实际应用效果一般。

人工智能控制算法学习人类的非线性思维，具有较强的学习能力，但计算量较大，对系统控制器的硬件配置要求较高。文献[10]提出了一种无参数的有限集预测方法，利用最小二乘法进行系统预测，提高了面对电机参数不确定的适应性。文献[11]利用模型参考自适应机制实现了对电机参数分布识别，具有良好的精度，但较难识别到切换点。文献[12]提出了一种利用遗传算法逼近不同工况和参数下电机系统的数学模型，具有较高的精度，但是遗传算法难于实施，容易陷入局部最优解，影响模型精度。文献[13]在滑模控制算法中引入了模糊控制算法，在不需要知道系统参数的情况下就可以调整，但模糊控制太过依赖相关研究人员的经验调整。

在滑模控制算法分析中，在仅使用线性滑模面时，无论如何设定系统变量均无法使其停留在滑模面。针对这一问题，文献[14]提出一种前馈补偿复合控制算法与传统的PI 控制算法做比对，该算法有效提高了精度。然而，该控制算法在远离平衡点时收敛速度慢，且超调量仍然不满足系统要求。针对此问题，本文基于指数趋近律（exponential approach law，EAL）的基础提出一种新型趋近律（new approach law，NAL），并基于此趋近律将与非奇异终端滑模面相结合。

针对系统状态变量无法到达滑模面，且抗扰动能力较差的问题，本文在以下几个方面取得了成果：

（1）引入了非奇异终端滑模面，同时将转速差与滑模面相结合。

（2）为了提高系统的响应速度和抗干扰能力，基于指数趋近律形式构造了新型趋近律，以适应系统发生扰动时的要求。

（3）为了降低系统面对未知干扰时高增益带来的抖振问题，本文采用积分滑模面，设计了滑模观测器，同时对系统转矩进行前馈补偿，有效提高了其稳定性。

通过仿真和实验证明本文设计的终端滑模控制算法较指数趋近律算法具有更好的抗扰性，较低的超调量以及较快的响应速度。

1 PMSM 及其数学模型

根据在电机中永磁体位置分布的不同，可将其分为内置式和表贴式永磁同步电机。为了简化分析，对永磁同步电机建立理想化模型：

（1）不计电机磁滞、涡流损耗。

（2）忽略转子上阻尼绕组。

（3）假设三相绕组产生磁场与PMSM 中永磁体产生磁场均正弦分布。

其交直轴下的电机数学模型为

式中：uq、ud、iq、id、φq、φd为永磁同步电机的交、直轴的电压、电流以及定子磁链；Rs为电机定子电阻；ωe为电机电角速度。

定子磁链方程的数学模型为

式中：Ld、Lq为电机交、直轴电感；φf为永磁体磁链。

电磁转矩方程为

式中：Pn为电机磁极极对数。

由于表贴式永磁同步电机中交、直轴电感相等，因此式（3）可简化为

永磁同步电机的运动平衡数学模型为

式中：Te为永磁同步电机电磁转矩；TL为负载转矩；ωm为机械角速度；J为轴端的转动惯量；B为电机的摩擦系数，一般为常数。

2 滑模面设计

2.1 收敛性分析

滑模控制结构被提出以来，以其被控对象的非连续为特征。在系统发生改变时，控制系统可以根据系统状态的改变做出相应的调整，实现简单，响应快，且对系统参数不敏感。考虑一般情况，列写系统如下：

如图1 所示，设s(x)=0 是一个滑模控制切换面。

图1 滑模面

基于图1，传统的线性滑模面定义为

式中：x1、x2是系统状态变量；c 是正的常数；x2是x1的一阶导数，在系统到达滑模面之后，s为0，即：

对微分方程求解得到状态变量x1从初始位置到滑模面的时间ts为

从式（9）可知，该式发散，即状态变量不收敛。为了避开无解的情况，因此设计了以下滑模面：

其中：0＜n＜m＜2n。

同样地，令s=0，得到微分方程如下：

对微分方程求解得到状态变量收敛到0 的时间ts为

显然从式（12）可知，状态变量在有限时间内可以收敛到0。

2.2 终端滑模面设计

为了使电机的状态变量可以停留在滑模面上，本文采用线性与非线性相结合的方法，得到终端滑模面如下：

针对滑模控制器定义如下状态变量：

式中：ω*为设定的电机的转速；ωm为电机实际转速；为了使系统更加稳定，定义相对合适的积分初值。对终端滑模面求导后，可得式（15）：

2.3 新型趋近律的提出

常用的趋近律包含：

等速趋近律：

指数趋近律：

幂次趋近律：

一般趋近律：

式中：ε为正数且物理意义为系统运动到切换面的速率。虽然以上的四种趋近律均满足Lyapunov 函数稳定性判定，但是在实际应用中是不够的，系统在快速性、抗扰动性等方面的性能有很大的提升空间。因此本文在结合以上几种趋近律的基础上，提出一种新型的趋近律以解决永磁同步电机在面临扰动时产生的问题。

为了提高负载转矩或电机参数变化时永磁同步电机的动态质量，且保证状态变量的收敛性良好，收敛速度快，结合指数趋近律的形式，对原有的指数趋近律进行改进，本文提出了一种新型趋近律如下：

式中：0＜k1＜1，0＜k2＜1，k＞0，q＞0，p＞0。

在新的趋近律中，引入了系统状态变量，使得趋近律依赖于状态变量，|x2|大则趋近速率大，反之亦然。同时将状态变量与滑模面结合在一起，当系统离开滑模面时 (-k1|x2|2-k2|h|)tanh(s)和-ks两种速率一起趋近滑模面，以达到趋近快的目的；当系统接近滑模面时，-ks趋近于零，(-k1|x2|2-k2|h|)tanh(s)项起最主要的作用，且积分项使系统以更快的速度趋于稳定；由于指数趋近律等传统趋近律中引入了sgn(x)函数，且因为该函数的不连续性导致了严重的抖振问题，因此本文设计的趋近律采用tanh(x)函数，避免因为高频开关导致严重的抖振问题。因此本文设计的趋近律不仅很好地抑制了系统的抖振问题，且相比传统的趋近律在抗扰动性能，响应速度等显著提升。

2.4 滑模控制器设计

由上述公式，联立式（14）、式（15）、式（20）得：

联立式（5）和式（21）得控制器输出电流：

为了验证所设计控制器对系统而言是稳定的，定义滑模面的Lyapunov 函数为

验证Lyapunov 第二稳定性条件，对定义滑模面的Lyapunov 函数求导：

联立式（21）和式（23）得到：

根据Lyapunov 的第二稳定性判定可知，所提出的滑动模态控制器具有渐进稳定性。然而，在实际的电机控制系统中，当负载不确定时，往往会通过增大增益的方式来增强系统的抗扰动性能，但也会带来更大的抖振，使控制精度下降。

2.5 滑模观测器设计

为了解决电机系统面对负载扰动时较高增益带来的抖振问题，本文设计了滑模观测器进行扰动补偿，并在此基础上以负载转矩为未知扰动，对永磁同步电动机的转速进行建模。将外部总扰动定义为d(t)，由于仿真和实际实验设置中总扰动的变化量非常小，所以可以将总扰动的微分量视为0。根据系统运动方程并结合系统的总扰动量d(t)，系统的运动方程变为

假设永磁电机在空载情况下启动时，即Tl=0，式（26）可以变为

变为矩阵形式：

为了获得外部总扰动的估计值，结合本文模型，滑模干扰观测器设计为

同样地，为了削弱抖振现象，定义滑模观测器的滑模面为

求导为

趋近律为

式中：

其中：c1、c2、ε、k为正常数，tanh(s)为双曲正切函数。同时将式中视为外部干扰，则联立式（28）～式（33）得：

从式（34）可知，将转速误差以及直轴电流作为输入时，扰动滑模观测器可以检测系统扰动时的状态。

定义Lyapunov 函数，证明滑模扰动观测器的稳定性：

求导得：

显然满足Lyapunov 的第二稳定性判据，即所设计的滑模观测器是稳定的。

3 仿真验证

为了验证本方法的可行性，在基于Matlab/Simulink的仿真平台进行验证，仿真中采用id=0的控制方式，使用到的电机相关参数见表1。

表1 电机参数表

为了验证本文所设计的控制算法在抗扰动方面性能，搭建了滑模观测器仿真系统，其内部结构框图如图2 所示。永磁同步电机调速系统的控制结构框图如图3 所示。电机调速系统的速度控制器采用新型控制律控制，电流环采用传统的PI 控制。

图2 滑模观测仿真结构图

图3 PMSM 调速系统控制框图

为了验证所设计的控制器的有效性，以NAL方法与EAL 方法作比较，以验证所提出控制策略的有效性。在仿真中不断调整控制器的相关系数，直至系数变化使在一定范围内结果逼近至最优值。仿真中电流环采用PI 控制，电流环参数kp=4，ki=10，m/n=1.1，c1=10，c2=25，k1=0.4，k2=0.6，k=0.4。

首先仿真中设置永磁同步电机为空载启动。设置电机启动转速为50 r/min，在仿真0.3 s 时突然改变电机转速为300 r/min，在0.6 s 时改变电机转速为250 r/min，其转速仿真结果如图4 所示。从仿真结果中可以看出：NAL 方法在0.02 s 时可以达到50 r/min，且超调量为6%，调节时间短，但EAL 方法启动时间为0.07 s，且超调量为15%；当转速增加到300 r/min 时，采用NAL 方法时响应时间为0.05 s，而EAL 方法响应时间0.1 s；当在0.6 s 时转速减到250 r/min 响应时间为0.37 s，EAL 方法响应时间为0.08 s。通过对比显然可知：当空载运行时，采用NAL 方法电机的启动时间、超调量、响应速度以及面对转速突然变化时的波动量更小。

图4 空载启动时转速观测波形图

其次在仿真中设置永磁同步电机为带8 N·m 的负载启动。电机的启动转速为300 r/min。在电机运行稳定后，在仿真的0.3 s 时突然加入24 N·m 的外部扰动时，电机的转速仿真结果如图5 所示，电磁转矩仿真结果如图6 所示。

图5 突然加负载时转速观测波形图

图6 突然加负载时电磁转矩波形图

电机带8 N·m 的负载，以300 r/min 启动至稳定运行后，在仿真的0.3 s 突然加入24 N·m 的外部扰动时，NAL 和EAL 方法电机定子三相电流波形仿真结果如图7 和图8 所示。通过对比仿真结果数据发现：在0.3 s 突然加入负载后，NAL 方法的定子三相电流波形较EAL 方法三相电流峰值小约1.2 A。即电机面对负载突然变化而产生的电流脉动得到了很好的抑制，有助于电机的稳定运行。

图7 NAL 控制下的定子三相电流波形图

图8 EAL 控制下的定子三相电流波形图

在相同的上述设置中，滑模观测器所得到的观测转速波形与实际转速波形仿真结果如图9 所示。从仿真结果中可以看出，本文所设计的滑模观测器可以对未知扰动进行补偿并及时观测到电机面对扰动时的转速状态，观测效果良好。

图9 观测转速与实际转速对比图

4 实验验证

在此基础上，构建相应的试验平台对所提方法进行验证。实验平台所使的电机参数与仿真中电机参数一致，该实验平台由电机控制器、旋转变压器、示波器、永磁同步电机等部分构成。在电机的实验中采用扭矩传感器带动永磁同步发电机为实验提供负载，实验设备如图10 所示。设定实验中启动的参考转速为300 r/min，参数调整参考仿真测试调整过程，为了验证两种方法的区别，在同一系统下分别做了空载启动实验和突然加负载实验。当以300 r/min 空载启动时，两种控制方法的空载启动时相电流启动结果如图11 和图12 所示。

图10 永磁同步电机控制系统实验平台

图11 EAL 空载启动电流波形图

图12 NAL 空载启动电流波形图

由图11 和图12 可以发现：当空载启动时，EAL启动方法约为0.17 s，NAL 启动时间约为0.13 s，相比EAL 方法启动时间提升了23.5%；且在经过短暂的启动过程之后，电机的电流趋于稳定，显然NAL 方法在电机运行稳定之后电流为4.6 A，相比EAL 方法电流更小。

当运行稳定之后，给电机突然加入20 N·m 的瞬时扰动，以对比两种方法的抗扰动能力。实验电流波形如图13 和图14 所示。

图13 EAL 方法实验电流波形图和FFT 变换结果

图14 NAL 方法实验电流波形图和FFT 变换结果

在加入瞬时扰动之后，EAL 方法在约0.55 s 电机电流恢复到扰动之前的状态；NAL 方法在0.4 s左右恢复到扰动之前的状态，时间相比EAL 方法缩短了27.2%，抗扰动能力明显增强。在使用本文所设计的方法之后，电流波形相比之前得到了一定的改善，经过FFT 变换后，NAL 控制方法基波幅值为3.9 A，而EAL 方法基波幅值为3.5 A，相比原来基波含量增加了12%；对于影响较大的三次，五次谐波含量都有一定程度的减少，有效地削弱了谐波的影响，对于电机扰动恢复过程中电流波形也得到了一定的改善。通过对比实验可知，本文提出的控制方法具有更好的性能。

5 结语

本文针对永磁同步电机伺服控制系统响应速度慢、鲁棒性差的问题，利用终端滑模面的特性，采用将转速差和非奇异终端滑模面结合的方法，提出了一种可根据转速差实时调节的新型趋近律，在此基础之上设计了电流-转速控制器，在增强系统抗扰动性和快速性方面取得了成果。另外，为了降低系统面对未知干扰时高增益带来的抖振问题，本文设计了滑模观测器，对控制器进行前馈补偿以及转速观测。通过实验及仿真证明了本文设计方法的有效性和可行性。