基于嵌套思路的饱和孔隙-裂隙介质本构理论

摘   要：为了指导本构建模工作，需要建立饱和孔隙-裂隙介质的一般本构理论框架. 首先，从混合物理论和嵌套思路出发，获得饱和孔隙-裂隙介质的能量平衡方程. 其次，根据热力学功共轭特性确定了饱和孔隙-裂隙介质本构方程的应变状态变量和应力状态变量. 再次，根据热力学局部平衡假定，获得饱和孔隙-裂隙介质的自由能势函数一般本构方程. 最后，从一般自由能势函数本构方程出发，获得孔隙骨架和裂隙骨架变形相互耦合的各向同性线弹性方程. 当孔隙骨架和裂隙骨架变形解耦時，该方程能够退化到Khalili线弹性方程. 研究表明，在小应变情况下固相应变可分解为裂隙骨架应变、孔隙骨架应变与固相材料体应变之和;当混合物均匀化响应原理成立和流相材料本构模型与单相一致时，裂隙骨架应变、孔隙骨架应变、固相材料体应变、裂隙流相材料体应变和孔隙流相材料体应变分别唯一决定裂隙介质有效应力、孔隙介质有效应力、固相材料真实压力、裂隙孔压和孔隙孔压;当自由能函数是状态变量的二次函数时，可获得线弹性本构模型.

关键词：混合物理论;饱和孔隙-裂隙介质;状态变量;能量平衡方程;本构方程

中图分类号：TU47                           文献标志码：A

文章编号：1674—2974（2021）01—0019—11

Abstract：A general constitutive theoretical framework of saturated pore-fracture media need be formulated to guide constitutive modeling. Firstly，based on the mixture theory and nested way，the energy balance equation of saturated pore-fracture media is obtained. Secondly，according to the thermodynamic work conjugation behaviors，the strain and stress state variables of the constitutive equation for saturated pore-fracture media are determined. Thirdly， based on the assumption of local equilibrium of thermodynamics， the general free energy potential constitutive equations are obtained for saturated pore-fracture media. Finally，deriving from the general free energy potential constitutive equations，an isotropic linear elastic equation is obtained taking into account the coupling of pore and fracture skeleton deformations. When the pore and fracture skeleton deformations are uncoupled， the equation is degenerated into Khalilis linear elastic equation. The researches show that，the solid phase strain can be decomposed into the sum of fracture skeleton strain， pore skeleton strain and volumetric strain of solid material in the case of small strain;When the mixture homogenous response principle is valid and the fluid material constitutive model is the same as the single fluid one， the fracture skeleton strain，pore skeleton strain，volumetric strain of solid material，volumetric strain of fluid material in fractures and volumetric strain of fluid material in pores uniquely determine the effective stress of fractured media， effective stress of pore media，real pressure of solid material，fracture pressure and pore pressure，respectively. A linear elastic constitutive relation can be achieved when the free energy function is a quadratic function of state variables.

Key words：mixture theory;saturated pore-fracture media;state variables;energy balance equation;constitutive equations

自然界中，许多岩土材料具有两种不同尺度的孔隙，如裂隙黏土和岩体等. 一种孔隙尺度比较小，通常仍称为孔隙，另一种孔隙尺度比较大，通常呈裂缝或扁平状，被称为裂隙. 当孔隙和裂隙同时被一种流体占有时，就形成饱和孔隙-裂隙介质. 近年来，随着水利水电、海底隧道、核废料储存以及海洋能源开发等工程大量建设，为了分析渗流和变形的流固耦合特性，饱和孔隙-裂隙介质的本构模型研究愈来愈受到工程力学界重视. Barenblatt等[1]首先研究饱和孔隙-裂隙双重孔隙介质的本构特性. Khalili等[2]、刘耀儒等[3]建立了各向同性饱和孔隙-裂隙介质的线弹性模型. 蔡国庆等[4]和Zhao等[5]建立了各向异性饱和孔隙-裂隙黏土的本构理论. 张玉军等[6]创建了考虑裂隙产状等几何特性的孔隙-裂隙岩体的弹塑性模型. 这些开创性成果有力地促进了饱和孔隙-裂隙介质力学本构理论的发展和应用.

在当前饱和孔隙-裂隙介质本构建模的研究文献中，针对同一个工程问题往往会创建出多种差异悬殊的本构模型. 如何在各种模型中选择适合的饱和孔隙-裂隙介质本构模型成为工程师和学者首先遇到的难题. 混合物理论从普适性的力学守恒定理出发研究孔隙-裂隙本构理论的普遍规律，具有严密的逻辑结构和明确的物理内涵，许多学者建议把混合物理论作为判定其他本构模型合理性的理论依据之一[7-11]. Borja等[7]和Zhang等[8]根据混合物理论推导了饱和及非饱和孔隙-裂隙介质的能量平衡方程，并建立了饱和孔隙-裂隙介质线弹性本构模型，但该模型无法考虑裂隙与孔隙流相压力之差所导致的固相体积变化. Li等[9-10]基于混合物理論推导了非饱和双孔隙膨胀土的外力功表达式，建立了非饱和双孔隙膨胀土的弹塑性本构模型;Guo等[11]采用混合物理论建立了饱和及非饱和孔隙-裂隙介质的双有效应力弹塑性模型. 然而，这些模型没有考虑固相和流相的材料变形，只适用于土体松散介质，无法适用于岩石和混凝土等非松散孔隙-裂隙介质[12-16].  为了弥补上述缺陷，深刻揭示孔隙骨架应变和裂隙骨架应变在多孔介质流固耦合机制中的关键作用，便于利用均匀化响应原理相来建立相对简单实用的本构模型[14]，有必要对饱和孔隙-裂隙介质混合物理论作进一步深入研究.

鉴于此，笔者发现孔隙-裂隙介质可视为两个单重孔隙介质的嵌套叠加，即孔隙-裂隙介质可视为在单重裂隙介质的固相基质中嵌套了一个单重孔隙介质. 本文从这一嵌套思路出发来研究饱和孔隙-裂隙介质的能量守恒方程和一般本构模型理论框架，从一般本构模型理论出发可推导饱和双重孔隙介质的线弹性方程，指导和校正当前饱和孔隙-裂隙介质的本构建模工作.

1   体积分数和密度

1.1   饱和孔隙-裂隙介质各组分体积分数和密度

饱和孔隙-裂隙介质是由固相、裂隙流相与孔隙流相组成的混合物. 固相由S表示，裂隙流相由F表示，孔隙流相由P表示. 令α∈{S，F，P}为组分指征变量. φα为第α组分的体积分数，ρα为第α组分的平均密度，ρα为第α组分的真实密度（或称材料密度），满足ρα = φα ρα，则饱和孔隙-裂隙介质的总密度为ρ = ρS + ρF + ρP. 根据体积分数的定义有：

1.2   基于嵌套思路的各组分体积分数和密度

本文把固相材料与孔隙流相组成的饱和单重孔隙介质称为饱和孔隙介质. 当把饱和孔隙-裂隙介质中的固相材料和孔隙流相所构成的饱和孔隙介质视为一个整体时，此时只有裂隙被视为孔隙，本文把这种视角下的广义饱和单重孔隙介质称为饱和裂隙介质. 这样，饱和孔隙-裂隙介质可看作在饱和裂隙介质的基质中嵌入饱和孔隙介质而成，而饱和孔隙-裂隙介质可视为两个单重孔隙介质的嵌套叠加.

根据上述嵌套思路，首先考虑饱和裂隙介质. 饱和孔隙介质作为饱和裂隙介质的一个组分用SP表示，它的体积分数为固相和孔隙流相体积分数之和φSP = φS + φP. 根据式（1），在饱和裂隙介质中有：

3.2   混合物均匀化响应原理

为了适应工程应用，工程界常常利用混合物均匀化响应原理来简化混合物的本构关系. 混合物均匀化响应原理的内容为[14]：当混合物单元体承受外荷载时，若混合物单元体中每一点的真实应变增量（或速率）相等，则该混合物单元体等效于单相均匀单元体，即单元体内每一点处的真实应力增量（或加荷速率）也相等;反之也然. 在Khalili等[2]、陈正汉[17]、陈勉和陈至达[18]推导各种饱和和非饱和混合物本构关系时，混合物均匀化响应原理曾发挥了至关重要的作用.

显然，当1/KHD = 0时，式（84）、式（88）和（89）与式（93）、式（96）和（97）完全一致，说明从本文的自由能势函数一般本构方程出发可以获得与Khalili等相同的线弹性本构模型. Khalili等把他们的线弹性本构模型用于裂隙黏土的固结分析，获得了与试验数据相一致的理论分析结果[2，15]. 这说明从本文的一般本构方程出发可获得经过试验验证的本构模型.

5   结   论

1）在考虑固相和流相材料变形的条件下，以嵌套思路推导了饱和孔隙-裂隙介质的能量平衡方程. 确定了饱和孔隙-裂隙介质本构方程的应变状态变量是裂隙骨架应变、孔隙骨架应变、固相材料体应变、裂隙流相材料体应变和孔隙流相材料体应变;应力状态变量是单位密度上的裂隙介质有效应力、孔隙介质有效应力、固相材料真实压力、裂隙孔压和孔隙孔压.

2）在小应变情况下，固相应变可分解为裂隙骨架应变、孔隙骨架应变和固相材料体应变之和. 获得有限应变和小应变条件下的饱和孔隙-裂隙介质的自由能势函数一般本构方程.

3）当混合物均匀化响应原理成立时，裂隙骨架、孔隙骨架和固相材料的本构模型相互解耦;当裂隙与孔隙中流相材料的本构关系与纯流相本构关系相同时，固相与流相材料变形相互解耦. 当上述两个性质均成立时，裂隙骨架应变唯一决定裂隙介质有效应力、孔隙骨架应变唯一决定孔隙介质有效应力、固相材料体应变唯一决定固相材料真实压力、裂隙流相材料体应变唯一决定裂隙孔压和孔隙流相材料体应变唯一决定孔隙孔压. 运用这些本构性质可以简化本构关系的复杂程度，有利于工程应用.

4）当自由能势函数取为状态变量的二次多项式时，获得孔隙骨架和裂隙骨架相互耦合的各相同性线弹性本构方程，当孔隙骨架和裂隙骨架变形解耦时，该线弹性方程退化为饱和孔隙-裂隙介质Khalili线弹性方程. Khalili等利用他们提出的线弹性本构方程获得与试验数据相一致的理论分析结果[2，15]， 这说明本文基于一般势函数的本构方程理论框架可以指导饱和孔隙-裂隙介质的具体本构建模工作.

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