大单元指导下的教学设计案例分析

刘红霞

【摘  要】普通高中数学学科新课程标准的教学目标从对知识点的了解、理解和记忆提升到了对学生进行数学学科核心素养的培养和对价格观念的培育层次，这就要求教师在进行教学设计时不能只关注单一的知识点，而要引导学生着眼于全局，逐渐引领学生形成一个知识网络，即要以大单元的思路设计每一节课程，对引入的每一个情境要为大单元的学习服务，从而为圆满实现大单元的学习任务作好应有的铺垫。那么，如何在大单元指导下进行每一节课程的设计，则成了一线教师需要思考的问题。下面以“等比数列的前n项和”第一课时的教学设计为例，谈谈笔者对基于发展学生核心素养进行的“大单元”的教学设计及反思。

【关键词】大单元教学;初中数学;教学案例

一、教材分析

从数列这一章来讲，“等差数列的前n项和”与“等比数列”“等比数列的前n项和”是相继延续和发展的。从学生的整个数学学习过程来讲，“等比数列的前n项和”可以放在求“和”的大单元中。

二、学情分析

就学生而言，这是一个求“和”的问题。从已有的求“和”的经验来看，在此之前小学阶段就有了逐项求和、归纳求和、简便运算的方法。本章通过前几节的学习，让学生掌握了等差数列的定义和通项公式，以及通过探究也了解和掌握了等差数列的前n项和公式的推导过程，初步具备了数列的概念，也具备了一定的探究能力和运算能力，在此基础上，通过“最近发展区”的衍生，在一定的引导和启发下，让学生思考如何推导等比数列前n项和公式。

教学目标

（1）在大单元“和”的引导下，探究并理解等比数列的前n项和公式的意义及各个要素的具体含义。同时通过对等比数列的前n项和公式的推导，引导学生掌握一定的数学思维方法，并能够利用这些公式解决一些简单的数学問题。

（2）通过对等比数列的前n项和公式的推导、演绎、探索、发现与证明过程，让学生初步感知和理解探究的一些基本方法，如分类讨论、整体消元等。

（3）在 “国王赏麦”的奇妙故事中出现的“和”的问题的思考中，体验数学探究的乐趣，感知生活中蕴含的数学文化。

教学重点难点分析

教学重点：等比数列的前n项和公式的推导及演绎过程，并能利用此公式针对一些具体的实际问题进行正确解答。

教学难点：等比数列的前n项和公式的推导过程。

课堂实录：

师：同学们，今天很荣幸和同学们度过接下来的40分钟，今天老师带了一个棋盘？你们看看这是什么棋盘？

师：棋盘上有多少格子？可以怎么数？

设计意图：有些学生可能不了解国际象棋，首先我们对它有个认识。而在数格子时我们可以大致采用二种思路：一是采用一一对应;二是斜数1+2+3+…7+8+7+6+…+2+1，这正好对应了已学过的求“和”的方法：逐项相加、简便运算（化加为乘），体会不同的数法对应不同的算法，不同的算法对应不同的运算的“繁”与“简”。所以对一个求“和”的式子，数学运算的方法的选择很重要。

师：历史上还有一个关于棋盘的其妙故事呢！

情境“国王赏麦的故事” （具体故事情节此处略）

从古至今流传着许多关于数学的奇妙故事，今天我们就看一则关于印度国王舍罕和他大臣的奖赏故事……最终国王无法兑现自己的奖励承诺。

设计意图：在“最近发展区”理念的引导下，通过创设流传广泛的数学小故事，激发学生积极思考的欲望，培养学生的数学建模意识及类比的思维方法，让学生感受到数学世界的奇妙，驱动学生探究等比数列前n项和公式的原动力。同时，通过情境创设让学生感受到“数学来源于生活”“生活处处有学问”的意识，培养学生从生活情境中归纳推理出数学模型的能力，以及对数据进行科学分析的能力。

师：1+2+22+…+263等于多少？

设计意图：学生感受等比数列的前n项和，揭示研究的必要性。问题抛出后，给学生时间探索，集思广益。学生可能会谈到逐项相加、归纳猜想、类比等差数列的简便算法。

师：这是一个“和”的问题，从学习数学起，这并不是一个陌生的问题。那同学们打算怎么求呢？

师：很好，逐项相加确实是一种方法，但是缺点是项数多时，理论上可以操作，但是实际操作计算量太大！再想想还有没有其他办法？

师：嗯，这位同学说得很好，它的前n项和应该也是一个数列，我们可以从少到多、由特殊到一般，对结果归纳（归纳）！大家试试看.

师：很好！我们刚从特殊到一般，从n=1，n=2，n=3，n=4的结果归纳出了首项为1，公比为2的等比数列的前64项的和。归纳猜想是创新能力的一部分，但是归纳猜想的结果仍然有局限，一是如果改成公比为3，4，5呢？二是结果可靠吗？

师：很好，确实，归纳猜想只能提供问题解决的方向，并不能真正证明。数学上的思想方法除了归纳猜想，还可以类比，我们之前学习等比数列，概念和性质都可以类比等差数列，那么等差数列求和公式的是如何推导的？

设计意图：突出等差数列求和公式推导的本质，揭示它的数学内涵——利用等差数列的项的性质化成了相等的n项的和，整体消项，构造方程组，成功消去中间含有省略号的部分，达到了化“未知项”为“已知项”，达到了“整体消项”的目的，利用了“方程”的思想。公式将许多不定项的和变成了确定项的乘积，化多项的加法为等差数列的平均数和项数地乘法，项数变少了，运算次数变少了，方便了运算，乘法的意义也正在于此，为等比数列的求和类比等差数列求和公式的推导做好充分的铺垫。

生： 倒序求和Sn=a1+a2+a3+…+an

Sn=an+an-1+an-2+…a1

师：为什么能用倒序求和呢？

生：等差的性质a1+an=a2+an-1=…an+a1，每一组都是相等的。

师：这就成功处理了带省略号的部分，化成了相等的n项的和，达到了化“未知项”为“已知项”，达到了“整体消项”的目的，利用了方程的思想。公式将许多不定项的和变成了确定项的乘积，化多项的加法为等差数列的平均数和项数地乘法，项数变少了，运算次数变少了。方便了运算，乘法的意义也正在于此。等比数列能否类比等差数列呢？

设计意图：教师引导学生借助等比数列中的每一项乘公比2都等于后一项，构造了相同项，两个方程作差成功地处理中间省略号的那一部分项，轻松地达到“消项”，化“未知项”为“已知项”。

生：Sn=1+2+22+…2n-1

Sn=2n-1+2n-2+…+2+1

生：不是定值Sn=1+2+22+…2n-1

Sn=2+22+…2n-1+2n

师：很好，通过Sn=1+2+22+…2n-1乘2产生另一个方程，借助等比数列中的每一项乘公比2都等于后一项，构造了相同项，两个方程作差成功地处理中间省略号的那一部分项，轻松地达到“消项”，化“未知项”为“已知项”。为了形象直观地看出其中的规律，我们可以将两个式子的右边错开一位排列，这样就会使两个等式的同类项（相同项）在一列上，在进行错位相减时就可以很容易地观察到其差。同学们能否给它起一个名字呢？

师：很好，错位相减法可是18世纪瑞士大数学家欧拉在《代数学基础》中采用的.

师：那如果一般化呢？若将公比变为q，项数变为n，你觉得1+q+q2+…qn-1的结果是？

设计意图：问题再次数学化，通过拼图移格子，更加形象直观地理解错位相减，前面少一格，后面多一格。

师：大家觉得对吗？

师：若将首项改为a1，你能计算出Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1的结果吗？

设计意图：问题6、7是将具体数字变成字母，又由一个字母变成两个字母的过程，是一般化、再一般化的过程。体现了探究数学问题的由具体到一般，再到更一般的过程。

师：那么等比数列求和公式是什么？

师：我们可以将这两种情况写成什么样的形式？

师：同学们也能自己得出呢，真不错！其他小组有没有需要补充的或存在疑惑的？

设计意图：学生从两个角度对公式进行推导，既体会了错位相减、整体消元的数学分析方法，让学生体会再产生一个式子是为了化“繁”为“简”，达到消省略号的目的，当然是消去的项越多越好，所以还是乘以q是比较好。二是对q≠1这个条件。

师：大家觉得行吗？还可以乘以什么？

师：很好，错位相减的目的是消掉很多中间项。既然再产生一个式子是为了化“繁”为“简”，达到消省略号的目的，当然是消去的项越多越好，所以还是乘以q比较好。当然同学们还可以尝试其他的推导方法，将各自的推导过程展示在班级学习园地，共享探究。

师：我们在上几节课学习了两种形式的等差数列前n项和公式，其中一种是用首项、末项、项数来表示出公式的意义，那么同样能够利用这些要素（a1，q，an等）表示出等比数列的前n项和公式吗？

设计意图：类比等差数列的求和公式的两种表示，让学生感知等比数列的通项公式两种表示，并说明每个字母的函数。

由等比數列的通项公式推出求和公式的第二种形式：当q≠1时， S=

师：我们一起来总结上述公式的特征：（1）等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况。（2）当q≠1时，等比数列前n项和公式有两种形式，分别都涉及4个量，4个量中“知三求一”。（3）等比数列通项公式结合前n项和公式涉及5个量a，q，n，a，S5个量中“知三求二”（方程思想）。

师：我们推导出了等比数列的前n项和公式，那么我们就要对它加以运用，继续回到课前的一个等比数列中来。

课堂小结

问题：本节课你有哪些收获、体验和感悟？

师生互动，教师总结如下：本节课是求“和”，在求“和”时方法的选择很重要，对求和要选择合适的算法，才能使得运算能力有提高。

设计意图：适当小结，在小故事上结束这堂课，首尾呼应，同时培养学生的概括能力，让学生清楚会用数学眼光观察世界，会用数学思维思考世界，会用数学语言表达世界的重要性。

课后反思与感悟

本文从大单元“和”的视角出发，以宏观的角度凸显了数学“大单元”的思想，“和”是贯穿整个数学学习的一个很重要的数学运算。本节课通过大单元设计改变了“和”的碎片化教学，实现了原有知识和现有知识的对接。本节课教学设计的载体为问题情境，其核心是以激发学生的思维为主导，从而进行数据分析，最终获得数学结论。