数形结合视角下教学活动的开展——以“二次函数的图象和性质”的教学为例

文| 张 媛

“二次函数的图象和性质”是人教版九年级上册第二十二章第一节的内容。该节内容包含二次函数的概念以及y=ax2、y=a（x-h）2+k、y=ax2+bx+c（其中，a均不为0）函数的图象和性质等内容。以下将重点放在对二次函数图象和性质的探寻上，且探寻过程均在a≠0 的情况下进行。

一、二次函数y=ax2 的图象和性质

（一）图象和性质的探寻

教学中明确y=ax2图象和性质的探寻方向，可以保证教学活动有序、高效推进，因此，教师可以预告教学内容，从抛物线的开口大小、对称轴与顶点特点、y 随x 的变化趋势方面进行探讨。

对于抛物线开口大小的教学，课堂上教师分别展示a＞0 和a＜0 时的多个二次函数图象，要求学生分析a 的大小对函数图象开口大小的影响。这里a 分别取值绘制对应函数的图象，如图1所示。

图1

观察图1，在a＞0 的情况下，a 越大，图象的开口越小；在a＜0 的情况下，a 越大，图象的开口越大。同时，要求学生从图形对称的角度观察函数图象，确定其对称轴，分析图象的特征。观察、归纳可以得出不考虑a 的正负，函数图象均关于y 轴对称。其中当a＞0 时有最低点，即顶点（0，0）；当a＜0 时，函数有最高点，顶点也为（0，0）。

探究任务：当a＞0 时，沿着x 轴的正方向观察函数图象是怎样变化的，分析对应y 值的变化规律，而后与学生一起进行探寻。沿着x 轴的正方向观察对应着x 的值逐渐变大，容易看到函数图象先下降至顶点而后上升。由于函数图象由无数个点构成，图象的下降对应函数的值减小，图象上升对应函数值增大。用数学语言描述为：当x＜0 时，y 随着x 值的增大而减小；当x＞0 时，y 随着x 值的增大而增大。

课堂上要求学生参考上述分析思路，分析a＜0 时函数图象的性质，并完成如下填空内容。

当a＜0 时，抛物线的开口____；当x＜0 时，y 随x值的增大而___；当x＞0 时，y 随x 值的增大而___。

（二）应用讲解

例1.已知A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线上，若y1＜y2，则下列说法正确的是（）

A.0≤x2＜x1B.x1＜x2≤0

C.x1＜x2≤0 或0≤x2＜x1D.以上均不对

由二次函数y=ax2的图象和性质可知，A、B 两点的位置并不确定，需要进行分类讨论，考虑A、B 处在y 轴左侧、右侧、两侧三种情况。借助图象，通过数形结合进行分类讨论，可以直观地看到A、B 两点的位置，得出x1，x2的大小关系，如图2 所示：

图2（a）

对于图2（a）可得x1＜x2≤0；对于图2（b）可得0≤x2＜x1；对于图2（c）可得x2＜0≤x1，且x2＜x1；对于图2（d）可得x1＜0≤x2，且x2＜x1。综上分析可知，正确答案为D。

二、二次函数y=a（x-h）2+k 的图象和性质

（一）知识讲解

二次函数y=a（x-h）2+k 的图象和性质教学中，根据学生的认知规律，先通过函数图象的平移研究抛物线y=ax2和抛物线y=ax2+k 的关系。为方便理解，将这两个抛物线实例化为抛物线y=2x2，y=2x2+1，y=2x2-1，并展示三个图象。

要求学生观察函数图象，自主完成表格内容。（见表1）

表1

而后提出问题：将抛物线y=2x2进行怎样的平移才能得到抛物线y=2x2+1 和y=2x2-1？在此基础上你能总结出抛物线y=ax2和抛物线y=ax2+k 的关系吗？

由函数图象可以清晰地看到，将抛物线y=2x2向上平移1 个单位得到抛物线y=2x2+1；向下平移1 个单位得到抛物线y=2x2-1。推广开来，抛物线y=ax2可以通过上下平移个单位得到抛物线y=ax2±k，其中k 的符号为正则向上平移，为负则向下平移，简记为“上加下减”。

待学生掌握抛物线上下平移的规律后，教师要求学生讨论在平面直角坐标系中还可以怎样平移抛物线？显然，还可以左右平移抛物线，为此引出问题：抛物线y=a（x-h）2和抛物线y=ax2存在何种关系？该探究过程，可以要求学生从探寻抛物线三者的关系入手。在平面直角坐标系中，三个抛物线的位置如图3 所示。

图3

通过两种平移思路可以得出抛物线进行左右平移时是对自变量x 而言的，即先将二次项系数提取出来再考虑平移的单位是多少。在平移的过程中，抛物线的顶点会发生改变，如抛物线的顶点为（0，0），抛物线的顶点为（-1，-1）。其中，上下平移不改变抛物线的对称轴，左右平移改变抛物线的对称轴。抛物线的对称轴为y轴，抛物线对称轴为直线x=-1。综合起来，可以得到二次函数y=a（x-h）2+k 性质，其对称轴为直线x=h，顶点为（h，k），其开口方向根据a 的符号来定，为正开口向上，为负则开口向下；y 随x 的变化情况，需要结合a 的正负以及对称轴情况进行分析。

（二）例题展示

例2.若二次函数y=a（x-4）2+4 的图象在2＜x＜3这一段位于x 轴上方，在6＜x＜7 这一段位于x 轴下方，则a 的值为____。由二次函数y=a（x-h）2+k 的图象和性质可以知道，二次函数y=a（x-4）2+4 图象的顶点为（4，4），对称轴为直线x=4，根据题意其开口只能向下。画出对应的图象如图4 所示：

图4

由图4 可知，图象刚好过点（2，0）和（6，0）时满足题意。由二次函数y=a（x-h）2+k 的性质可知：当a＞-1 时，图象开口变大，在x＞6 时图象有部分在x 轴上方，与题意不符；当a＜-1 时，图象开口变小，x＞2时，图象有部分在x 轴下方，不满足题意。综上分析可以得出a=-1。

三、二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质

（一）理论讲解

二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质教学，可以从学生已有的知识储备入手，搭建新旧知识的桥梁进行推理、总结。

基于上述知识铺垫，接下来探寻二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质。对二次函数y=ax2+bx+c 进行配方，得到，对照二次函数y=a（x-h）2+k，容易得到：其对称轴为直线，顶点为（。对于y 随x 的变化关系，教学中既可以要求学生联系y=a（x-h）2+k 的图象和性质进行总结，也可以结合对应的图象进行分析。由于a的正负影响二次函数图象的开口方向，因此，需要分a＞0 和a＜0 两种情况。

（二）课堂训练

例3.已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图5 所示，若M=5a+4c，N=a+b+c，则M、N 与0 的大小关系分别是____。

图5

由题意可知，当x=1 时，y=a+b+c，由图5 可知，N＞0；另外，图象的对称轴为直线x=1，即b=-2a。又由图可知，当x=2.5 时，整理得到：25a+10b+4c＞0，将b=-2a 代入整理得到：5a+4c＞0，即M＞0。

四、总结

二次函数的图象和性质教学中，以数形结合为指引，和学生一起探寻，给学生带来直观的感性认识以及理性的推理分析，增强数学课堂教学趣味性的同时，使学生通过参与知识的形成过程深入理解、牢固掌握所学，有效地锻炼了学生的解题技能。