变式练习在初中数学教学中的应用研究

谢元琴

摘要：变式练习通过改变常规问题的形态、内容，驱动学生从不同角度思考问题，促进其思维的发散。将变式练习应用于初中数学教学，可丰富教学内涵。文章对变式练习的内涵、在初中数学教学中的应用理论基础、注意事项进行分析，结合具体教学案例，对变式练习在初中数学教学中的应用策略进行研究，指出教师可通过整合资源、创设情境、专项练习、反思指正等方式指导学生参与变式练习，以提高初中数学教学质量，提升学生数学核心素养。

关键词：变式练习；初中数学；教学策略；教学质量；核心素养

中图分类号：G633.6文献标志码：A文章编号：1008-3561（2024）09-0097-04

初中数学课程以培养学生数学思维为目标，旨在通过教学使学生领悟客观事物的本质属性，学会基于数学概念、公式、模型等内容揭示数学对象之间、数学与现实之间的逻辑关系。练习教学作为初中数学教学的重要组成部分，具有检验不足、巩固成果的作用。基础的记忆型习题能满足练习教学的基础要求，却不具备引导学生探索不同数学问题通性、通法的功能。为发展学生数学思维，教师有必要对原有的练习题目进行优化，借由变式练习开阔学生视野，提升学生综合能力。

一、变式练习概述

变式是一种表现形式，具有通过变更对象的非本质特征突出其本质特征的特点[1]。在数学教学中，变式主要表现为概念性变式与过程性变式。其中，概念性变式适用于概念教学，通过改变概念的外延或改变一些可以混淆概念外延的属性（如举反例）突出概念本质，帮助学生领会相应概念所揭示的数学原理，强化其理性认识。过程性变式适用于教学全过程，旨在通过多角度教学引领学生排除学习干扰，掌握数学概念的本质属性、数学思想方法的应用原理与技巧。

数学问题由两部分构成，一为表示问题所求目的的表述内容，二为蕴藏在问题之中的数学关系、概念、原则等本质内容。通常情况下，问题变式改变数学问题的表述内容、形式结构，用以突显问题的本质特征，引领学生掌握数学解题的本质规律。通过调整原问题的表述内容将其转变为新的问题的变式被称为水平变式，这种变式未改变原问题的结构，不会增加学生的认知负荷，可用于巩固学生解决类型习题的学习成果。基于问题的本质改变问题结构、提问方式并增加学生认知负荷的变式被称为垂直变式，这种变式可用于思维训练，帮助学生从各类看似不同的问题中归纳数学解题的通性、通法。

变式练习是通过问题变式训练学生解题能力的一种教学手段，旨在灵活应用水平变式、垂直变式对基础问题的表现形式、问题结构进行改变，培养学生辨析问题本质的能力。变式练习的重点在于明确“什么是变化的、什么是不變的”，基于不同问题之间变与不变的关系设置变式题组，驱动学生链接基础知识与数学思想方法，促成其思维的进阶与提高。

二、变式练习在初中数学教学中的应用理论基础

1.变异理论

变异理论由瑞典哥德堡大学Marton教授提出，认为学习是获得对周边现象与事物认知的方式，核心在于获得审辨事物和现象关键特征的能力，主张学生至少基于两个有足够差异的事例进行对比学习，提炼本质[2]。变异理论可大致分为分离、变异、对比三条策略。其中，分离策略指出，如果一个概念的其他属性不变，唯一改变的那个属性就会分离出来，被学生加以辨析。变异策略指出，通过旁证、反证的方式改变问题形式，可使学生感知问题的属性变化。对比策略指出，通过对比呈现不同事物的关键特征可以帮助学生明确概念的属性及其外延。以“相交线与平行线”一课教学为例，基于分离策略，教师可将“垂直”的概念分离出来，列举标准正例，由此指导学生明确两条直线互相垂直的基本形式。基于变异策略，教师可列举两条直线平行的案例，以举反例的形式突出两直线相互垂直的“相交”属性。基于对比策略，教师可列举两直线相交却并不垂直的案例，以举旁例的形式突出两直线相交且有一个角是直角的本质属性。基于变异理论，初中数学变式练习需要明确概念的外延，为学生提供更多通过分离、变异、对比感悟数学原理不变性的机会，使其在练习的过程中感知知识各维度的变化，形成完整认知。

2.尝试教学法

尝试教学法由邱学华教授提出，具有“先试后导、先练后讲”的特点，通过有机组合阅读法、讨论法、谈论法、演示法等多种教学法，建构综合性强的教学课堂[3]。尝试教学法提倡应用灵活的方式开展教学，包括以下三种方式。一是调换式，通过调换教学内容的位置使新、旧知的关联更为紧密，实现迁移思维的培养。二是增添式，通过添加正例、旁例、反例等拓展教学内容，解释教学重难点，提高教学内容的可理解性。三是结合式，通过结合出示教材中的理论教学内容与练习教学内容使“教”与“学”紧密结合，提高教学有效性。尝试教学法打破一直以来的“先讲后练”的教学模式，鼓励学生自主应用已掌握的知识与方法解决问题，为其发散思维解决变式问题奠定基础。基于此理论，教师可在练习教学中鼓励学生尝试应用多种知识、方法解决变式问题，使其在自主尝试的过程中发现不同问题的本质关联，领悟变式问题的“不变”本质，培养其积极思考、自主探索的学习习惯。

3.数学解题理论

数学解题理论见于罗增儒所著《数学解题学引论》，解答了“怎样解决数学问题”[4]。该理论对数学问题的解题观点、过程、方法、策略进行全方面探究，指出数学问题的编拟大致分为演绎法、倒推法、基本量法、模拟法、改编法、模型法。其中，改编法可作为初中数学变式练习的主要方法，如通过仿造、转化、逆转等方式改变数学问题的信息形态、条件或结论，实现问题变式。

三、初中数学教学应用变式练习的注意事项

1.要注意把控变式练习难度

变式练习要注意把控难度[5]。教师如果在变式练习中只改变问题中的数字、符号等不重要的信息，未对题目的结构、形式加以改变，就容易重蹈记忆型习题覆辙，影响学生对习题本质内容的探究。教师如果将多种数学思想方法融入习题中，改变习题的结构、细节等多项内容，就会加大习题难度，加重学生的认知负荷。只有控制变式练习的习题难度，才能使学生积极主动参与。因此，在组织变式练习之前，教师有必要分析学生的“最近发展区”，确定其学习起点与发展潜能，以把控问题变式难度。以“从三个方向看物体的形状”一课教学为例，学生在课程学习中经历了观察几何体、绘制几何体三视图的学习过程，具有将几何体转化为平面图形的能力。通过变式练习，学生能形成逆向思考能力，学会基于给出的平面图形逆推几何体。基于“最近发展区”的分析结果，教师可围绕典型例题设计难度适中的变式习题。其中，典型例题有：出示某一几何体，要求辨认或绘制出该图形的三视图。变式习题有：出示由相同大小正方体构成几何体的三视图，要求学生推理构成几何体的正方体的数量；给出构成几何体正方体的数量及俯视图，并在俯视图上标注不同区域正方体数量，要求学生绘制出该几何体的正视图；给出由数个小正方体构成的几何体的正视图与左视图，要求学生推测构成该几何体的正方体至少有几个。变式问题围绕“基于几何体判断并画出三个方向看到的平面图形”与“根据平面图形想象所描述的几何体”两类知识展开，能有效训练学生联想、抽象等数学思维。

2.要注意把控变式练习数量

变式练习的精髓在于通过改变问题的非本质特征突出问题本质，引领学生多角度解答问题，提高其思维水平[6]。变式练习的重点在“质”不在“量”。即使设计再多形式单一、内容空洞的题目，也无法实现对学生类比、推理、抽象等思维的有效培养。实际教学中，教师有必要对变式练习内容进行审核，剔除过多水平变式的低级数学问题，保留具有典型特征的垂直变式习题，在减轻学生解题负担的同时，保证其练习的有效性。

四、变式练习在初中数学教学中的应用策略

1.奠基：整合习题为变式练习提供资源支持

在初中数学教学中，习题可作为“对话”的载体，引导学生与教师、与教材对话，使其在解决问题的过程中明确教学内容的内涵与功能，积累基本的学习经验[7]。变式问题可作为初中数学变式练习的载体，用于“匹配”理论知识、现实问题，使学生在参与变式练习的过程中感悟不同类型问题的本质特征，掌握解决问题的通性、通法。整合变式问题，是使变式练习有序进行的前提。练习教学之前，教师有必要围绕教学主题收集、整理多种类型的数学练习题，以此为教学提供资源支持。整合习题时，教师需要遵循以下原则：一是主题化原则，即选择与课程本质内容相关的问题；二是个性化原则，即根据学生的知識水平合理编排变式问题；三是现代化原则，即根据教学改革需要调整习题内容。

以北师大版七年级数学下册“探索三角形全等的条件”一课变式练习为例，教师首先要明确教学主题，如三角形的概念和性质，三角形“边边边”“边角边”“角边角”的全等条件等，其次要明确学生对该课知识的掌握情况以及解决典型问题能力的发展情况，最后要明确数学课程标准关于此课的教学要求，如发展学生的抽象能力、推理能力等。根据以上分析，教师可整理教材内外的变式问题资源，如给出全等三角形图片，要求写出两个三角形的对应边和对应角；给出两个全等三角形图片，要求判断某两条边是否相等。

2.增趣：创设生动教学情境营造和谐氛围

兴趣具体表现为对某件事物、某项活动的选择性态度和积极的情绪反应[8]。学生只有对变式练习产生兴趣，才能够把注意力、感知力集中在练习对象上，从而提高练习效率。培养练习兴趣，需要教师采取科学方法。兴趣转移是一种既简单又高效的教学方法，提倡将学生感兴趣的人、事、物与教学内容巧妙联系起来，使学生基于已存在的兴趣发展更多学习兴趣。情境基于教学需要，以生动形象、富有感情色彩的场景或氛围为主体，吸引学生主动学习，具有兴趣转移的功效。教师可在变式练习中基于学生原有兴趣创设情境，将变式问题与现实生活中的人、事、物巧妙联系起来，激发学生探究兴趣，使其在和谐的氛围下主动讨论解决变式问题的原理与方法。

以北师大版八年级数学上册“一次函数的应用”一课的变式练习为例，为使学生对行程问题、工程问题、利润最大值问题、费用最低问题、调运问题、体积问题等不同类型的一次函数问题产生探究兴趣，教师可结合学生感兴趣的花坛改造、操场改造创设生活情境：校长计划将校内两段长度相等的甬路改造为透水甬路，由甲施工队负责这一项目，那么施工队的施工时间、所改造的甬路长度与施工队的施工速度有怎样的关系？是否可以用函数图像表示出来？通过创设情境将现实场景与初中数学“一次函数”相关问题紧密相连，将学生对生活问题的兴趣转移到“一次函数的应用”问题上。在此基础上，教师可组织学生围绕情境问题展开讨论，鼓励其大胆说出自身的观点，提出更多变式问题，使其在听、说、问、答过程中体会变式练习的趣味性，形成主动探索变式问题的积极态度。

3.提效：灵活选择教学方法提高教学效果

初中数学课程涉及数、整式、方程、函数、几何变换、几何判定、数据分析等教学内容。不同教学内容的形式、特征不同，其授课方式自然有所区别。因此，教师应灵活选择教学方法，确保变式练习内容与课程教学主题相契合。

（1）一题多变。一题多变指的是围绕某一问题进行条件变换、结论探索、逆向思考、图形变化，将这一问题转变为其他问题，由此培养学生举一反三、触类旁通的能力。一题多变包括条件变式、结论变式、逆向变式、图形变式、分解变式、推广应用等。其中，条件变式指对题目的某一条件进行变式，从而得到一类变式题组，使学生掌握一类问题的题型结构，加深学生对问题本质的认识。结论变式指对题目的结论进行变式，如横、纵向拓展等，由此得到一类变式题组，引导学生运用类比、联想等发散思维分析问题，从而培养学生触类旁通的能力。逆向变式指从逆向的角度思考原问题，变换问题形式，引导学生探究所解决命题的逆命题，由此培养学生的逆向思维与创新能力。图形变式指以基本图形为“生长点”，采取变换、引申等方式将其变为相关图形，由此得到变式题组，培养学生的对比观察能力、识图能力、想象能力、变化能力等几何能力。根据授课内容特征，教师可有针对性地选取某种变式方法组织变式练习，对学生进行训练。

（2）一题多解。一题多解指的是围绕同一个问题，组织学生基于自身的知识基础，从不同的角度出发提出猜想，运用不同的方法尝试解答问题。开展一题多解教学活动，有利于发散学生思维，培养其创新意识和思考能力。在一题多解练习中，教师需要尊重学生的主体性，使其在自主思考、合作探究的过程中综合运用所学概念、公式、数学模型，尝试不同的解题方法。

4.巩固：客观反思为变式练习巩固教学成果

不同变式题组要求学生运用不同的数学知识、思想方法进行解答。部分学生在解答变式问题时思维混乱，教师要及时指导学生反思变式练习内容，使其发现变式题组的本质关联，从而真正发挥变式练习的功能，确保学生综合能力得到提高。以北师大版九年级数学下册“二次函数与一元二次方程”一课的变式练习为例，教师可设计已知二次函数表达式及其图像求关于未知数x的一元二次方程的变式题组，判断关于x的二次方程的解的范围的变式题组，求商场、服装店、文具店降价销售利润的变式题组等。完成计算题、应用题等变式练习后，教师可从两方面引导学生进行反思。一方面，引导学生反思原问题与变式问题之间的联系与区别。另一方面，引导学生反思原问题与变式问题解法之间的区别与联系。此外，教师还可引导学生从更多的角度反思变式问题的解法，如构造函数的方法、求函数图像面积的方法等，帮助其跳出思维定式。

五、结语

变式练习的优势在于通过水平、垂直变式的方式逐渐增加学生的认知负荷，使其在观察、对比、分析不同问题的过程中感悟数学问题的本质属性，体会“变”与“不变”的辩证关系，扎实掌握数学规律。变式练习应用于初中数学教学，需要教师明确学生的基本情况，根据其学习需要把控变式的难度与问题练习数量，以免加重学生学习负担，影响其学习积极性。同时，教师还应结合课程教学基本情况组织练习内容、创设练习情境、组织专项练习，巩固学生的学习成果。此外，教师应负起指导责任，定时组织学生反思阶段性学习成果，确保其建构脉络清晰的知识体系。

参考文献：

[1]董霞.基于本原性问题的初中数学变式教学探讨[J].中学教学参考，2022（35）：13-15.

[2]林洁容.聚焦问题结构揭示数学本质———从一道中考试题谈初中数学习题课的变式教学[J].中学数学杂志，2022（12）：47-50.

[3]孫朝仁，朱桂凤.初中数学“二次变式”的设计、实践与思考[J].教学与管理，2022（34）：51-55.

[4]苏香兰.一题多变视角下的初中数学变式教学[J].学苑教育，2022（33）：29-31.

[5]王乐乐.初中数学教学中开展变式教学的实践分析[J].中学数学， 2022（22）：20-21+24.

[6]蒋媛.初中数学例题变式教学的实践与认识[J].文理导航，2022（12）：91-93.

[7]朱海燕.初中数学变式教学的应用研究[J].数学大世界，2022（09）： 6-8.

[8]李玉雪.浅谈变式训练在初中数学教学中的应用与思考[J].名师在线，2022（24）：61-63.

Research on the Application of Variant Exercises in Junior Middle School Mathematics Teaching

Xie Yuanqin

（Xindian Middle School， Qingzhen City， Guizhou Province， Qingzhen 551405， China）

Abstract： Variant exercises drive students to think about problems from different perspectives and promote their divergent thinking by changing the form and content of conventional problems. Applying variant exercises to junior middle school mathematics teaching can enrich the teaching content. The article analyzes the connotation of variant exercises， the theoretical basis of their application in junior middle school mathematics teaching， and the precautions to be taken. Combining with specific teaching cases， it studies the application strategies of variant exercises in junior middle school mathematics teaching. It points out that teachers can guide students to participate in variant exercises by integrating resources， creating situations， specialized exercises， reflecting and correcting， in order to improve the quality of junior middle school mathematics teaching and enhance students mathematical core competence.

Key words： variantexercises； juniormiddleschoolmathematics； teachingstrategies； teachingquality； corecompetence