初中数学三类函数常见考查题型及解题思路

王倩

【摘要】众所周知，一次函数、二次函数和反比例函数是初中数学函数的主要组成部分，也是初中数学函数问题的主要考查内容.常见的函数问题不仅是对函数图象和基本性质的考查，还能够联系其他知识点进行考查.本文主要结合例题分别对一次函数、二次函数、反比例函数的常见题型和对应解题思路进行分析，帮助学生更全面地了解函数问题，更高效地解答相关问题.

【关键词】初中数学；函数；解题

由于函数知识点比较抽象，大部分学生不太理解函数的学习要点，也不会根据题目灵活地运用公式.而函数属于数学教学重点以及考试考点，并贯穿在各种类型的试题中.因此，教师要教会学生关于函数的解题技巧，提高学生学习兴趣.

1  一次函数

一次函数相关的问题通常会涉及函数的解析式、单调性和图象，即以一次函数的基本知识点为载体，考查学生对一次函数的掌握熟悉程度.解答一次函数问题，应充分了解解析式对应图象，以及单调性、坐标的表达，才能对问题做出相关解答.

例1  如图1，一次函数y=－2x+3的图象交x轴于点A，交y轴于点B，点P在线段AB上（不与点A、B重合），过点P分别作OA和OB的垂线，垂足为C、D，若矩形OCPD的面积为1时，则点P的坐标为.

思考  首先矩形面积等于长宽之积，需要明确对应线段长短，此时需要结合一次函数的解析式和未知点坐标的假设，得到相关表达式，从而分析动点P可能存在情况对应的具体坐标.

解析  已知y=－2x+3，

当x=0时，y=－2x+3=3；

当y=－2x+3=0时，x=32，

所以点A32，0，B0，3，

因为点P在线段AB上（不与A、B重合），

所以设P的坐标为a，－2a+30＜a＜32，

因为PD⊥OB，PC⊥OA，

所以PD=a，PC=－2a+3，

因为矩形OCPD的面积为1，

所以PD·PC=1，

即a－2a+3=1，

解得a=1或a=12，均符合题意，

当a=1时，－2a+3=1，则P1，1，

当a=12时，－2a+3=2，则P12，2，

综上所述，点P的坐标为1，1或12，2.

2  二次函数

与二次函数有关的问题，常常离不开对称轴、图象、解析式、单调性这些方面的综合性考查，常见的题型有：已知解析式求函数上的点构成的图形面积，或已知函数图象分析解析式系数大小关系.解答相关问题，应熟练掌握对称轴的表达式，函数图象与系数的对应关系，只有充分理解这些基础知识点，才能更准确地解答相关问题.

例2  如图2，根据二次函数y=ax2+bx+c的图象得到如下结论：①abc＞0；②2a－b=0；③a+b+c=0；④3a+c＜0；⑤当x＞－2时，y随x的增大而增大；⑥一定存在实数x0，使得ax20+bx0＞a－b成立，上述结论中，正确的有.

思考  首先需要根据函数图象、对称轴和相关点坐标来分析二次函数解析式中系数a、b、c的大小关系等式.其次，根据系数关系依次分析结论是否正确，综合所有情况可得到答案.

解析  因为抛物线开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴交于负半轴，

所以a＞0，c＜0，

因为抛物线关于x=－1对称，

所以－b2a=－1，即2a－b=0，

所以b＞0，

則有abc＜0，所以结论①错误，结论②正确；

因为抛物线过点－3，0，对称轴为直线x=－1，

所以抛物线经过点1，0，

把x=1代入解析式，可得a+b+c=0，所以结论③正确，

因为b=2a，a+b+c=0，

所以3a+c=0，结论④错误，

因为抛物线开口向上，对称轴为直线x=－1，

所以当x＞－1时，y随x的增大而增大，结论⑤错误，

因为函数最小值为a－b+c，

当x0≠－1时，则有ax20+bx0+c＞a－b+c，

即ax+bx0＞a－b，

所以一定存在实数x0，使得ax20+bx0＞a－b成立，结论⑥正确，

综上所诉，正确结论有：②③⑥.

3  反比例函数

反比例函数有关问题主要和函数解析式以及几何图形有密切联系，因此解答反比例函数问题需要熟练掌握解析式和点坐标之间的关系，其次还需要分析几何图形与反比例函数之间的联系.

例3  如图3所示，反比例函数y=2xx＞0的图象经过矩形OABC对角线OB的中点P，与AB、BC交于E、F两点，则四边形OEBF的面积是.

思考  首先对函数上的点P坐标进行假设，其次分析四边形OEBF的组成，用函数解析式表示相关点，并代入其中得到具体值，即可求出最终答案.

解析  因为四边形OABC是矩形，

所以BC⊥y轴，BA⊥x轴，

因为点E、F在反比例函数图象上，

所以S△OCF=S△OAE=22=1，

设P点坐标为m，n，而点P在反比例函数图象上，

则mn=2，

又因为矩形OABC对角线OB的中点为P，

所以B2m，2n，A2m，0，C0，2n，

因为S矩形OABC=AB·OA=2n·2m=4mn=8，

所以S四边形OEBF=S矩形OABC－S△OCF－S△OAE=8－1－1=6，

故四边形OEBF面积是6.

4  结语

上述例题分别对一次函数、二次函数和反比例函数考查形式进行具体分析，主要围绕函数的图形与具体性质展开分析与解答.掌握基础知识点是解答三大基本函数问题的基本要求，其次还需要联系其他方面知识点进行解题，多练习、多思考有助于个人解题效率的提升.

参考文献：

［1］蔡珉.初中数学函数题解题技巧探究［J］.数理化解题研究（初中版），2016（09）：9.

［2］刘钰.初中数学“三类函数”的教学建议［J］.初中数学教与学，2017（08）：26-27.

［3］程绪友.初中数学函数解题思路多元化的方法［J］.试题与研究（教学论坛），2020（12）：159.