一类轴向均匀变化磁场中感生电场问题研究*

姜付锦

(武汉市黄陂区第一中学试题研究中心 湖北 武汉 430300)

韩 灿

(武汉市黄陂区第三中学 湖北 武汉 430300)

1 感生电场强度

(1)

式(1)是对边界内、外的区域都成立.

2 矩形边界

【题目】如图2所示,用均匀导线做成的正方形线框边长为0.2m,正方形的一半放在垂直于纸面向里的匀强磁场中.当磁场以10T/s的变化率增强时,线框a、b两点间的电势差是( )

图2 题目附图

A.Uab=0.1V

B.Uab=-0.1V

C.Uab=0.2V

D.Uab=-0.2V

2.1 文献1中的分析

对左半边电路(acb段)使用“含源支路欧姆定律”,有

(2)

其中Eacb代表acb段的感生电动势(绝对值),I、R分别代表线框电流(绝对值)和电阻.由已知条件得线框面积S=0.04m2,故全线框感生电动势(绝对值)

(3)

由全电路欧姆定律E=IR,则式(2)变为

(4)

注意到Eacb是全线框感生电动势E的一部分,暂令Eacb=βE(其中0<β≤1),代入式(4)得

(5)

本题只能做到这一步,关键是出题人并未给出β值,而且从图2无法知道感生电场在线框内如何分布,从而无法得知β值,故原题没有答案正确[1].

2.2 对参考文献[1]分析的反思

(6)

β值到底是多少呢?

设矩形区域-a≤x≤a,-b≤y≤b,a=0.05m,b=0.1m,k=10T/s,则式(1)积分变为

Ey(x,y)=

(7)

则acb边产生电动势占总电动势比值为

β比值大约为0.676 1,代入式(6)得

(8)

故原题没有选项正确.

2.3 a、b两点间的电势差另一种算法

对右半边电路(ab段)使用“含源支路欧姆定律”,有

(9)

其中Eba代表ab段的感生电动势(绝对值),I、R分别代表线框电流(绝对值)和电阻.由已知条件得线框面积S=0.04m2,故全线框感生电动势(绝对值)

(10)

由全电路欧姆定律E=IR,则式(10)变为

(11)

注意到Eba是全线框感生电动势E的一部分,暂令Eba=αE(其中0<α≤1),代入式(4)得

(12)

由式(7)可得ab边电动势的占比

α比值大约为0.323 9,代入式(12)得

(13)

对比式(8)、(13)发现α+β=1,这与理论分析相吻合,因此以上分析方法与思想没有问题.但在非静电场(保守场)中,电场沿回路的积分与积分路径有关,所谓的电势(差)是没有物理意义的[2].因此在高中阶段应尽量避免计算感生电场中电势差的问题.

3 无穷大边界感生电场

3.1 由圆柱形边界推导

(14)

图3 扇形电路

右边圆弧上感应电动势为

(15)

(16)

由式(14)～(16)可得回路中总感应电动势为

(17)

若圆柱半径趋近于无穷大,图4中扇形闭合回路趋近正方形,式(14)、(15)均会趋近于无穷大,式(17)会趋近于

(18)

图4 参考文献[3]中的分析

两个扇形边所在位置感生电场强度分别为

(19)

当圆柱半径趋近于无穷大时,矩形左右两边感生电场强度和总感生电场强度都趋近于无穷大,但它们差值有限.之所以会出现这种情况主要是因为感生电场强度严格依赖磁场边界.若磁场边界有限,则空间感生电场强度有限.若磁场边界趋近无穷大,则空间感生电场强度趋近无穷大.

3.2 参考文献[3]分析

如图4所示,建立坐标系xOy,取水平向左为x轴正方向,y轴为半无穷大边界,则通过理论分析得空间感生电场分布如下[2]

(20)

其中

式(20)表明:

当x>0时,感生电场为Ex=0,Ey=-kx,感生电场沿y轴方向.

当x<0时,E=0,即在磁场边界及外部空间没有感生电场,感生电场只分布在边界内部.

边界内部感生电场强度方向与y轴平行,大小与x成正比,在x轴上感生电场强度为零.这与参考文献[4]中理论——“越接近边界感生电场越强”和“在边界外也有感生电场”矛盾,也与式(19)矛盾,故参考文献[3]中关于无限大边界感生电场问题的分析有待商榷.

3.3 无穷大感生电场的另一种理解

无穷大边界的磁场区域实际上是不能实现的,但可以逼近.举个例子,一个很小的蚂蚁靠近一个均匀带有电荷的平板,蚂蚁距离平板越近,它看到的平板就越大,感受到的就是无穷大带电平板所产生的电场.所以,考虑一个有限大小正方形的磁场区域,要讨论感生电场趋向边界处的近似渐近行为,分从里面逼近和从外面逼近.解析公式给不出的话,可以数值计算讨论.也可以从最简单的圆形区域磁场开始讨论.

4 结束语

通过以上分析不难发现,感生电场分布图与变化磁场边界紧密相关,若磁场边界确定则感生电场分布就确定,在边界上某处感生电场强度有最大值,但边界不一定是电场强度等值线;当边界趋近无穷大时,边界处感生电场强度趋近于无穷大,但这在真实物理情境中是不允许的,故在高中阶段尽量不要出现无穷大边界的感生电场问题.