关于高斯定理和面电荷处电场的探讨*

杨春艳

(玉溪师范学院物理与电子工程学院 云南 玉溪 653100)

一般电磁学教材[1-4]在高斯定理的应用部分都有求均匀带电球面(薄球壳)、均匀带电圆柱面(薄圆筒)等典型的面带电体激发的静电场的例题或习题,但相关题目的分析和计算中鲜有提及面电荷处的电场强度,极个别教材[3]中偶有提及,却存在分析不妥、易产生歧义的问题.比如,场强空间不完整.因为全空间除包含面内(rR)区域外,还应包含面上(r=R).再如,对面电荷处(r=R)场强“仁者见仁智者见智”,一般有4种观点:

(1)E=0;

(4)因面电荷处场强存在突变,故该处的场强无定义(没有值)[3].

可见,面电荷处电场强度的计算必须受到关注.

1 高斯定理的推广

文献[5]通过证明闭曲面对位于其上的任一点的立体角为2π,推证出点电荷q在高斯面上时的高斯定理为[5]

并将其推广到均匀带电球面的情形.

基于文献[5]的工作,笔者认为可将现行电磁学教材、大学物理教材中的高斯定理推广为

(1)

2 均匀带电球面球面处的电场强度

设电荷Q均匀分布在半径为R的球面上.

2.1 用库仑定律的计算

视均匀带电球面由无穷个共轴且半径连续变化的细环带组成.如图1所示,P为球面上任一点,其与球心O的连线为细环带的轴线.任取一细环带,其对球心O点的位置矢量与轴线的夹角为θ,宽度为Rdθ,带电荷

图1 把球面分成细环带

dQ=2πσR2sinθdθ

其中

为球面上电荷面密度.类比均匀带电圆环在其轴线上激发的场强,易得该细环带上电荷在P点激发的场强为

(2)

式中er是球心指向场点P方向的单位矢量.

因所有环带共轴,故每个环带上电荷在P点产生的元场强同向,即球面上电荷在P产生的场强沿球心与P的连线,故对上式直接积分即得球面上电荷在P点产生的电场强度.

(3)

2.2 用推广的高斯定理的计算

故球面处的电场强度

(4)

显然,由式(4)可知,该计算结果与用库仑定律的计算结果、功能原理的计算结果[5]、以及用近似法计算的结果[6]一致.故均匀带电球面激发的静电场场强分布为

(5)

3 无限长均匀带电圆柱面柱面处的电场强度

设电荷均匀分布在半径为R的无限长圆柱面上,电荷面密度为σ.

3.1 用库仑定律的计算

视圆柱面由许多条弧长为Rdφ的无限长平行细条组成,其中dφ为细条的圆心角.图2所示为圆柱面的任一横截面,P为其上任一点,O为截面中心.

图2 细条上电荷在圆柱面上激发的元场强

类比无限长均匀带电直线激发的电场,易得圆柱面上任意细条上电荷在P点激发的场强为

(6)

式(6)中

为P点到细条的距离,er为细条与横截面的交界指向P方向的单位矢量.

因圆柱面无限长且均匀带电,由对称性可知P点的总电场强度必定在O、P连线方向上,即在圆柱面的半径方向上.因此,P点电场强度值等于dE在OP方向上投影的积分,即

从而得圆柱面上电场强度为

式中en为圆柱面外法线方向单位矢量.

3.2 用推广的高斯定理的计算

以带电圆柱面为高斯面,因电荷只分布在圆柱面上,故

由式(1)有

式中h为高斯面的高.故无限长均匀带电圆柱面激发的静电场场强分布为

4 结果与分析

观察两种面电荷处电场的计算方法,从结果看,计算结果是相同的;从过程看,用推广的高斯定理的计算过程显然比用库仑定律的计算简单快捷.推广的高斯定理因“重视”高斯面上的电荷,从而“保全”了空间的完整性;同时,澄清了尽管面电荷处场强存在突变,但其强度值却是唯一的.