如何折30°角

王俭

【教学目标】①通过折纸的活动及论证的过程，找到折纸的知识理论依据，并确定折法的可行性。加深对矩形、轴对称图形、三角形全等、勾股定理、直角三角形等知识的理解。②学生经过不断的尝试与探索，培养多角度观察的能力，探索折纸活动的规律。③在不断尝试与探索的过程中，培养学生的学习兴趣，建立正确的数学学习观。

【教学重点】 用長方形的纸片折出30°、60°的角，并论证折法的正确性。

【教学难点】 探索折纸活动中的数学特征和解题策略。

【教具准备】 长方形的纸片

【教学过程】

一、创设情境，导入新课（2分钟）

你们玩过折纸吗？都会折那些物品呢？今天我为大家带来了常见的纸船、纸鹤、纸飞机等。折纸成了一种工艺装点着我们的生活。大家是否想过，折纸中包含了大量的数学信息，我们竟然可以用数学知识解释它。

（设计意图）这样引入是让学生体验折纸的价值，欣赏数学的美丽，充分激发学生的学习兴趣，并与课标所倡导的“注重教学内容与现实生活的联系”所吻合。

二、设疑导思，独立探究（13分钟）

提出问题一：请拿出准备好的长方形的纸，你能折出多少度的角呢？

（预设）可能折出45°90°的角，以此类推，还可以折出90°角的[12]，[14]等。也可能大家经过不断的尝试，将矩形的一边（即平角）近似三等分得到了60°角，把一个直角近似三等分得到了30°，此处找同学评价折叠的可行性。因为这种折法不够严谨，折出的角不够准确，所以这种方法欠妥。但是这种操作在反复折叠中一次比一次地趋近三等分。这里蕴含着朴素的极限思想。

提出问题二：如何准确地折出30°60°的角呢？

把这个任务放手给小组交流探索，在动手实践过程中，教师走到学生中参与交流讨论，倾听他们的想法。

三、解疑导拨，合作探究（15分钟）

若探讨不出满意的成果，予以启发。长方形的纸片中，除了平角就是直角，我们要折出30°，如何利用直角呢？大家自然会想到：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角为30°。我们如何构造这样的三角形呢？启发到此，再让学生充分交流，这次小组或许就有了答案。

【预设方法一】为了找取两倍关系的边，我们将长方形对折，把宽二等分，然后将长方形的宽通过折叠改变位置作为斜边，即通过长方形的一个顶点，将另一个顶点落在折痕处。

提出问题三：以上折出的角是不是30°，60°呢？谁能用数学方法给大家证明呢？

为了证明，我启发学生这样思考：哪些边对应相等？哪些角对应相等？哪些图形全等？很明显，这两个三角形关于这条折痕所在直线对称，于是结合折叠前后图形变化的特征得出这样的数学图形，我们把折纸活动转化为一个数学问题。

【预设证明方法一】

方法一

[A][B][C][D][E][F][M][N]

∵EB=[12]AB，AB=BN

∴EB=[12]BN

在Rt△NEB中，BE=[12]BN

∴∠EBN=60°，∠MBN=30°

方法二：作NG⊥BC

[A][B][C][D][E][F][M][N] [G]

过N作NG⊥BC

∵NG=[12]AB，AB=NB

∵∠NGB=90°

∴NG=[12]BN

∴∠NBG=30°，∠MBN=30°

方法三：连接AN

[A][B][C][D][E][F][M][N]

连接AN

∵EN⊥AB且AE=EB

∴AN=BN

又∵AB=BN

∴AB=AN=BN

∴△ABN为等边三角形

∴∠ABN=60°，∠MBN=30°

【预设方法二】  目的是构造一条直角边与一条斜边，使它们成2倍关系，所以还可以将长方形连续对折两次，其中4等分折法所建构的数学图形是这样的（课件动画演示）。

[A][E][F][B][G][C][D][B′]

证明：如图，在Rt△EFB′中

∵EF＝[12]B′F

∴∠EFB′＝60°

∴∠BFG＝60°

则∠BGF＝30°

还可以进行4等分、8等分、16等分等，其证明方法与前面类似。

（设计意图）通过这个活动，学生们体验到折叠是一种轴对称图形的变换，通过折叠，能折出中点、角平分线。在折叠过程中，抓住图形变化的特征，抽取相应的数学图形，从而把活动数学化。

四、巩固深化，实践探究（7分钟）

为了掌握以上解决问题的策略，设置了一个学以致用，你能用我们准备好的长为12厘米，宽为5厘米的长方形的纸片，折出一个菱形吗？

【预设折法一】  抓住判定菱形的方法，四条边相等的四边形为菱形，所以构造相等的四条边。如下折法，（课件动画演示）就折出了一个菱形。

【预设折法二】 如图，你能说明方案二折出的是菱形吗？

【分析】根据折叠前后对应线段、对应角相等，已经具备了两对边分别相等、两对角分别相等，我们只要说明这两条边相等即可（课件演示）。请比较折出的两个菱形面积的大小。

方案一：

S菱形=S矩形-4S△AEH

=12×5-4×[12]×6×[52]≈30cm2

方案二：设BE＝x，则CE＝12-x

∴AE=[BE2+AB2]=[25+x2]

由AECF是菱形，则AE2＝CE2

∴25+x2=（12-x）2

∴x=[11924]

S菱形=S矩形-2S△ABE

=12×5-2×[12]×5×[11924]

≈35.21cm2

比较可知，方案二所折的菱形面积较大。

课堂总结：通过今天的折纸，让学生谈一谈收获。

知识方面：折纸实质为轴对称图形的变换，能折出很多图形，正方形、矩形、直角三角形、梯形等，以及角平分线、垂直平分线等。我们可以利用全等三角形的性质及勾股定理，解决一些有关求角度、求长度、求面积的问题。其中最关键的是，结合折叠前后变化图形的特征，抽取出相应的数学图形。

数学思想方法方面：这节课还体现了一些思维方法，如逆向思维、从特殊到一般的归纳思想、及转化思想，我们要善于从变化中寻找不变的量。

五、反思升华，引申探究（3分钟）

如下图折叠，你能判断△AEF是什么样的三角形吗？

取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如下。

第一步，先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）。

第二步，再把B点叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为B′，得Rt△AB′E，如图（2）。

第三步，沿EB′线折叠得折痕EF，如图（3）。

探究：△AEF是什么三角形？证明你的结论。