利用加速度瞬心分析刚体平面运动初瞬时问题

黄俊杰

(江苏省海门中学,江苏 南通 226100)

1 加速度瞬心

(1) 定义:[1]平面运动刚体,任一瞬时平面图形上总有一点加速度为零,此点称为加速度瞬心,记为Q.

图1 刚体转动示意图

图2 各点加速度分布图

2 加速度瞬心在刚体平面运动初瞬时问题中的应用

一般情况下,刚体平面运动的角速度和角加速度不为零且未知,故加速度瞬心难以确定,但在某些特殊情况下,例如刚体平面运动初瞬时问题中,加速度瞬心则较为容易确定.

图3 示意图

以加速度瞬心Q为参考点,角动量定理的形式为MQ=JQβ,利用对加速度瞬心的角动量定理来分析刚体初瞬时问题是一种重要的方法.

例1.如图4所示,将一根质量为m、长度为L的匀质细杆用两根竖直细绳从两端挂起来,杆与水平线的夹角为θ,现突然剪断右边细绳O2B,求此瞬时细绳O1A的张力是多大?

图4 示意图

研究刚体平面运动初瞬时问题的常规方法涉及到基点法的加速度合成、对质心的角动量定理、质心运动定理,加速度合成关系较为复杂,方程较多,计算量较大.利用对加速度瞬心的角动量定理则能够快速得到角加速度,避免了复杂的加速度合成分析,使问题分析更加简便.

例2.如图5所示,将一根质量为m、长度为L的匀质杆AB用两根细绳从两端挂起来,细绳OA与杆AB垂直,细绳OA长度也为L,细绳OB竖直,杆B端恰好与光滑水平地面接触,没有挤压.现突然剪断细绳OB,求此瞬时细绳OA的张力T和地面的支持力N.

图5 示意图

解析:本题多了个约束,杆B端只能沿水平方向运动,剪断细绳OB瞬间,受力分析如图6所示,绳OA拉力为T,重力为mg,水平面支持力为N,杆顺时针转动角加速度为β.

图6 受力分析图

A点绕O转动,则此时aA⊥OA,B点加速度aB水平向左,作aA和aB的垂线,相交于Q点,Q点为该瞬时杆AB转动的加速度瞬心.由于OA⊥AB,此瞬时加速度瞬心Q点与O点重合.

利用加速度瞬心可快速求解杆转动的角加速度,只需引入未知参量β、T、N、aC,再结合质心运动定理和对质心的角动量定理便可解决问题.

例3.如图7所示的平面系统,匀质细杆AB重为G1=m1g,长为L,上端B靠在光滑的竖直墙壁上,下端A以铰链和一匀质圆柱的中心相连,圆柱重为G2=m2g,半径为R,放在粗糙的地面上,从图示位置(θ=45°)由静止开始做纯滚动,求初瞬时A点的加速度、杆AB的角加速度β1和圆柱的角加速度β2.

图7 示意图

图8 运动分析

此瞬时杆AB的加速度瞬心.

由杆对加速度瞬心Q的角动量定理

MQ=JQβ1得

(1)

对圆柱进行分析,如图9所示,初瞬时,圆柱做纯滚动,角速度为ω2=0,角加速度为β2,与地面接触点D的速度vD=vA-ω2R=0,得到vA=ω2R,aA=β2R.初瞬时,ω2=0,D相对圆柱中心A的向心加速度anDA=0,相对切向加速度aτDA=β2R,方向与aA相反,则aD=aA+aτDA+anDA=0,D点是圆柱体初瞬时的加速度瞬心.

图9 运动分析

列圆柱对加速度瞬心D的角动量定理MD=JDβ2得

(2)

加速度关系为

(3)

3 小结

本文介绍了加速度瞬心的概念、几何位置特征及物理意义,以及在刚体平面运动初瞬时情况下加速度瞬心的简易确定方法,并应用加速度瞬心的物理意义以及相对加速度瞬心的角动量定理分析了刚体平面运动初瞬时问题,可以看出应用加速度瞬心能够避免复杂的加速度合成关系,快速得出刚体角加速度关系,加速度瞬心方法是分析刚体平面运动初瞬时问题的一种较为简洁重要的思路.当然,在刚体平面运动一般过程中,由于角速度不为零,加速度瞬心很难确定,加速度瞬心方法也就失去了作用.