从2023年高考谈滑块木板模型问题备考建议——以2023年山东高考卷压轴题为例

王金兵

(江苏省南通市天星湖中学,江苏 南通 226010)

滑块-木板模型涉及多个物体多个过程,知识综合性强,涉及相对运动、临界力、极值问题、摩擦力的分析、摩擦生热、动量以及往返运动,是高考物理的难点,有助于实现对人才的选拔,体现试卷的区分度,频现于高考试卷中.分析2023年高考试卷发现有5省在压轴题中考了此模型,考查了力与运动,功与能综合分析能力,对动量守恒定律、功能关系、能量守恒定律的应用做了较全面的考查.本文对2023年5省高考压轴题中滑块-木板模型的考查情境进行分析,以2023年山东卷压轴题为例进行解析,归类总结,拓展提升,并对后期高三复习提出启示.

1 2023年滑块-木板模型高考考情分析

对2023年高考试卷分析发现,全国有5个省份的试卷对滑块-木板模型进行了考查,分别是山东卷18题、辽宁卷15题、湖南卷15题、海南卷18题、全国乙卷12题.

共同之处:都考查了力学的牛顿运动规律、能量规律(动能定理或能量守恒)、动量规律(动量守恒定律或动量定理),都涉及到多过程运动、碰撞等.

不同之处:从模型建构上分析,海南、湖南、山东3省卷模型是圆弧,辽宁、山东卷直接运用板块(辽宁卷是板块上下叠放、山东卷是平行放置).而全国乙卷相对其他4卷有较大的不同:将水平运动改为竖直运动,充分体现了命题的创新意图.海南、辽宁、山东3卷都在右侧设置挡板.详情如表1所示.

表1 2023年全国5套高考卷中滑块-木板模型考查情况

2 2023年滑块木板模型例题分析

例1(2023年山东高考物理卷第18题).如图1所示,物块A和木板B置于水平地面上,固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切,竖直挡板P固定在地面上.作用在A上的水平外力使A与B以相同速度v0向右做匀速直线运动.当B的左端经过轨道末端时,从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点,并以水平速度v滑上B的上表面,同时撤掉外力,此时B右端与P板的距离为s.已知v0=1 m/s,v=4 m/s,mA=mC=1 kg,mB=2 kg,A与地面间无摩擦,B与地面间动摩擦因数μ1=0.1,C与B间动摩擦因数μ2=0.5,B足够长,使得C不会从B上滑下.B与P、A的碰撞均为弹性碰撞,不计碰撞时间,取重力加速度大小g=10 m/s2.

图1 示意图

(1) 求C下滑的高度H;

(2) 与P碰撞前,若B与C能达到共速,且A、B未发生碰撞,求s的范围;

(3) 若s=0.48 m,求B与P碰撞前,摩擦力对C做的功W;

(4) 若s=0.48 m,自C滑上B开始至A、B、C 3个物体都达到平衡状态,求这3个物体总动量的变化量Δp的大小.

设计意图:本题通过创设滑块-木板情境来考查动能定理、牛顿第二定律、运动学公式、弹性碰撞、动量守恒等规律,是一道力学综合题.过程多、对象多、情境多,有利于考查学生的思维能力,达到选拔人才的目的,提高试卷的区分度.通过对物体的下滑过程分析来考查动能定理.通过滑块C在木板B上的滑动来考查牛顿运动定律和运动学公式.通过碰撞之后B与A的相互作用,来考查动量守恒、弹性碰撞.需要考生对每个阶段的过程认真分析,弄清受力情况以及相对运动,各个突破,分析清楚,每个小过程难度并不大,能够有效对学生的思维能力、情境分析能力进行考查,从而实现对考生物理学科关键能力的考查目标,提升核心素养.

分析:(1) 物块C下滑过程,根据动能定理求解下滑高度.

(2) 与P碰撞前,若B与C能达到共速,且A、B未发生碰撞,则s最小.B与C刚好共速瞬间恰好与P碰撞,s最大.A、B发生碰撞瞬间,B与P发生碰撞;滑块C滑上B时,C的速度大于B的速度,C做匀减速直线运动,B做匀加速直线运动,B、C共速后,一起做匀减速直线运动,根据牛顿第二定律求解加速度,根据运动学公式列式求解即可.

(3) B与P碰撞时,滑块C与木板B没有共速,根据运动学公式求解时间和C的位移,根据做功公式求解摩擦力对C做功.

(4) B与P碰撞前,B做匀加速运动,C做匀减速运动.发生弹性碰撞后,B以原速率反弹,B向左做匀减速运动,C向右做匀加速运动,B与A做相向运动.A与B相遇时发生弹性碰撞,根据动量守恒定律和机械能守恒定律求解碰撞后A和B的速度,进而判断A、B、C的运动情况,当3个物体都达到平衡状态时,A做匀速直线运动,B和C静止,根据动量公式列式求解即可.

(2) 滑块C刚滑上B时,C受到水平向左的摩擦力,f2=μ2mCg.

木板B受到C的摩擦力水平向右,

f2′=μ2mCg.

B受到地面的摩擦力水平向左,

f1=μ1(mC+mB)g.

所以滑块C的加速度为

木板B的加速度为

设经过时间t1,B和C共速,有

4-5×t1=1+1×t1,代入数据解得t1=0.5 s.

木板B的位移为

共同的速度为

v共1=(1+1×0.5)m/s=1.5 m/s.

此后B和C共同减速,加速度大小为

此时B的位移为

综上可知满足条件的s范围为

0.625 m≤s≤1.707 m.

滑块C在这段时间的位移为

所以摩擦力对C做的功为

W=-f2sC=-μ2mCgsC=-6 J.

(4) 因为木板B足够长,最后的状态一定会是C与B静止,物块A向左匀速运动.木板B向右运动0.48 m时,有vB0=(1+1×0.4) m/s=1.4 m/s,vC0=(4-5×0.4) m/s=2 m/s,sA=(1×0.4) m=0.4 m.

此时A、B之间的距离为

s=0.48 m-0.4 m=0.08 m.

整个过程动量的变化量为Δp=p末-p初=-9.02 kg·m/s,即大小为9.02 kg·m/s.

3.1 拉力水平作用于木块或木板

(1) 水平拉力作用在滑块上.

如图2所示,水平拉力作用在滑块上,共同静止的条件为F<μ2(m1+m2)g,Ff1=F.

图2 示意图

共同加速条件为

(2)水平拉力作用在木板上.

如图3所示,水平拉力作用在木板上,共同静止的条件为F<μ2(m1+m2)g,Ff1=0.

图3 示意图

共同加速条件为a2≤a1max,m1最大加速度为a1max=μ1g.

μ2(m1+m2)g

分离条件为a2>a1max=μ1g,即

F>(μ1+μ2)(m1+m2)g.

3.2 木块有较大的初速度带着木板运动(无水平外力)

情形1(如图4所示):μ2(m1+m2)g≤μ1m1g.

图4 示意图

情形2(如图5所示):μ2(m1+m2)g>μ1m1g.

图5 示意图

情境1:木板不动,m1以加速度a1=μ1g做匀减速直线运动,直到速度减为0.

3.3 不同非水平外力沿不同方向作用在木板或滑块上

此类问题涉及到临界问题,需要列出拉力F的函数表达式,然后运用数学知识讨论F的极值(设木板刚好相对地面滑动时的临界拉力为F1,木板与滑块刚好相对运动时的临界拉力为F2).当拉力F≤F1时,系统处于静止状态;当拉力满足条件F1F2时,滑块和木板发生了相对运动,且两者均做加速运动,物块加速度增加得更快.因篇幅所限,此处不再赘述.

4.1 科学建模 选好对象 用好规律

如图6所示,先通过阅读题目情境进行模型建构,确定滑块-木板模型.对滑块和木板分别进行受力分析,明确它们的运动状态.判断两者是否存在相对运动,从运动学条件和力学条件两个方面考虑滑块和木板发生相对运动的临界条件.运动学方面,如果两者不能相对静止或者不能具有共同的加速度,则发生相对运动.力学方面,用整体法算出共同加速度,然后对其中一个物体进行隔离算出摩擦力,比较所求的摩擦力和最大静摩擦力的关系.如果摩擦力大于最大静摩擦力,则两者发生相对滑动,否则两者相对静止.依据牛顿第二定律,在受力分析的前提下,求出各自的加速度.从位移关系或者速度关系方面对滑块和木板进行分析,列出方程,联立方程组求解,求出滑块和木板相对地面的位移,画出位移关系图.假如两者能够达到共同速度,根据运动学公式或者动量观点求出时间,分析滑块离开木板的临界条件,当木板的长度一定时,滑块恰好到达木板的边缘,且两者刚好相对静止,这是滑块离开木板的临界条件.

图6 滑块-木板模型建构

4.2 整合试题 变式拓展 提升效率

滑块-木板模型可以从多方面进行变式拓展,例如运动平面的拓展、运动对象的拓展、碰撞方向方面的拓展.在运动平面方面:2023年山东卷压轴题是在水平面上的物块、木板之间的相互作用问题;2023年湖南卷压轴题是在圆弧上滑块的运动问题,涉及到动量守恒问题以及重力势能的变化,另外小球在凹槽所在的椭圆上,又考查了数学知识中的椭圆方程,体现学科跨界融合,有利于选拔理科思维能力强的人才.运动对象方面:山东卷压轴题是两个滑块与木板之间的作用,可以增加弹簧,讨论滑块与弹簧的相互作用;2023年辽宁卷第15题对此进行了考查,增加了对弹簧压缩,从而涉及到弹性势能问题以及弹簧弹力变化问题.碰撞方向方面:山东卷是在水平方向上,可以拓展到竖直方向的相互作用;2023全国乙卷12题就研究在竖直方向的碰撞问题,情境让人耳目一新,但实质仍然是滑块-木板模型.从2023年考查的情况分析,教师可在高三复习时对典型试题进行有效整合,巧妙进行变式训练,多方面进行拓展.通过一种情境创设相关情境的一系列问题,尽可能多地进行新情境的创设,让考生在拿到高考卷时不会因为新情境的生疏而怯场.

4.3 突破难点 弄清关系 水到渠成

难点在于首先要判断滑块和木板之间是否存在相对运动.可以先假设滑块和木板相对静止,用整体法和隔离法求出加速度和它们之间的静摩擦力;然后把静摩擦力与最大静摩擦力进行比较,如果所求的摩擦力小于或等于最大静摩擦力,那么滑块和木板将相对静止,否则滑块和木板就会有相对运动.相对静止的两个物体具有相同的速度,根据木板的长度以及所求的滑块和木板的位移关系,画出位移情景图.必要时可以借助v-t图像进行辅助判断.滑块和木板两者的速度相等,是发生运动状态变化的重要临界条件.滑块-木板模型是物理学中的重要模型之一.两者的动摩擦因数、质量、位移等关系将影响两者的运动情况.另外所受的外力大小与方向、作用的对象等多个因素将影响运动情境.在不同的条件下,滑块-木板运动的状态可能不同.在复习时必须要在弄清题目的基础上再下笔,磨刀不误砍柴工.把握以上关键要点才能水到渠成.

滑块木板模型是高考命题的热点问题,也是高三平时教学中的难点和重点.在高三复习时,要引导学生学会分析两者速度关系、位移关系.抓好临界力,运用数学上的极值问题进行相关讨论.画出有关位移图像和速度图像来辅助解题,把握好相关的技巧与方法,达到事半功倍的效果.