初中数学教学中学生逆向思维能力的培养

王 利

(江苏省南京市栖霞区实验初级中学,江苏 南京 210033)

在数学学习中,逆向思维的运用十分常见.所谓逆向思维就是把问题倒过来,或从问题的反面思考,或逆用某些数学公式、法则解决问题.当前,根据《义务教育数学课程标准(2022年版)》要求,发展学生的数学思维已成为课程教学的主要目标之一,而加强逆向思维的训练,可以培养学生思维的灵活性和发散性,使学生掌握的数学知识得到有效的发挥,同时也是落实课程标准的重要体现.基于此,教育工作者应根据数学学科特点,启发学生逆向思考,强化思维训练,提升学生的思维品质.

1 通过讲解数学定义,培养学生逆向思维能力

定义、概念等理论是数学学科的基础,也是发展学生逆向思维的起点.在初中数学课程中,许多定义、概念本身就体现了“逆向”的特点,因此,教师在教学中应有意识地进行渗透,启发学生逆向思考,让学生理解抽象数学定义,并为后续学习奠定基础.

例如,在学习相反数的定义时,教师基于定义中包含的逆向思维对学生进行如下引导:第一,回顾知识,思考问题.教师引导学生复习回顾“数轴”相关知识,并提出问题:在数轴上,A、B两点分别在原点的左、右两边,请你观察这两点与原点的距离,你有什么发现?数轴上与原点的距离是2的点有几个?这些点表示的数是多少?与原点的距离是5的点有几个?这些点表示的数是多少?请你画一条数轴,请将下列4个数在数轴上表示出来:-2,-4,+2,+4.在这一环节,教师引导学生依托数轴体验对称点的特点,为相反数在数轴上的分布特征做准备,同时以开放的问题情境,引发学生从数轴的一侧对应观察另一侧,实现逆向思考.第二,引出定义,探索意义.教师在学生形成感性认识的基础上呈现相反数的定义:如果两个数只有符号不同,那么称其中一个数为另一个数的相反数,零的相反数是零.接下来,引导学生结合定义,思考其中意义,挖掘其中蕴含的逆向思维.如相反数的几何意义表示“在数轴上,两个互为相反数的数表示的点分别在原点的两旁,且到原点的距离相等”,其代数意义则是“在一个数的前面添上负号,就表示这个数的相反数,负数的相反数是正数,正数的相反数是负数”“相反数是指两个数之间的一种特殊的关系”[1].在学生理解了相反数的意义后,教师继续提问:数轴上表示相反数的两个点与原点有什么关系?学生通过对数轴的观察,准确回答问题.通过这一环节的指导,学生能够巩固相反数的概念,强化互为相反数的两个数在数轴上表示的点的几何意义,同时也在数形结合的过程中启发了逆向思维.第三,课堂练习,总结归纳.教师依据定义为学生设计练习,让学生在解题过程中不断深化相反数的概念,获得逆向思维的训练.在此基础上,教师进行归纳总结,强化学生逆向思维.

2 通过推导数学公式,培养学生逆向思维能力

数学公式是学生日常解题的“抓手”,在数学学科中,包含逆向思维的公式有很多,如平方差、完全平方公式等.在教学指导中,有些教师习惯性引导学生从左至右来推导公式,这让许多学生也习惯了从正向来运用公式,但是,在遇到需要反向思考的问题时就会陷入困境,无法实现公式的灵活运用.基于此,在讲解数学公式的过程中,教师应引导学生从正反两个方面进行探究,打通学生的思维通道,确保学生在逆用公式的过程中能够得心应手.

例如,完全平方公式是对多项式乘法中出现的较为特殊一类算式的归纳、总结,是后继学习必备的基础,不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用,更是以后学习分解因式、分式运算的重要基础,同时也对培养学生养成严密的逻辑推理能力具有重要作用.基于此,教师在引导学生推导完全平方公式的过程中,从正反两个方向进行,让学生真正把握公式的不同表现形式,为公式的灵活运用奠定基础.在课堂上,教师主要通过如下环节对学生的逆向思维进行培养:一是创设情境,提出问题.教师利用图形的面积问题构建情境,引起学生的认知冲突,使学生对旧知产生疑惑,从而激发学习兴趣和求知欲望.二是发现问题,归纳结论.学生通过对图形面积的计算,逐渐推导出(a±b)2=a2±2ab+b2.乘法公式的教学必须在学生自主探究、经验归纳的基础上获得,教学中必须展示思维的过程,在这一环节,教师为学生提供了充分的观察、分析、独立思考、小组交流等机会,引导学生自主完成对公式的推导[2].三是逆向思考,加深理解.教师总结归纳了完全平方的公式,并通过逆向设计引导学生从反向进行思考,这样能够使学生的认知结构得以优化,知识体系得以完善,使学生的数学理解能够突破思维定式,形成逆向探索的能力.四是巩固训练,强化思维.如教师设计题目:①若(x-2y)2=(x+2y)2+M,求M的值.②若9x2-kxy+4y2是一个完全平方式,求k的值.教师从正反两个方向设计习题,让学生反馈教学、内化知识,并得到逆向思维的训练.

3 通过分析数学法则,培养学生逆向思维能力

在初中数学的学习中有许多定理,如勾股定理、韦达定理等.在解题过程中对这些定理的逆向运用,有时会产生意想不到的结果.但是,在日常学习中,由于受思维定式的影响,部分学生难以灵活运用数学定理,针对此,教师则应该从逆向思维能力培养的角度加强训练,让学生能够打破固有的定式思维,提高对数学定理的应用能力.

例如,在“勾股定理的逆定理”的教学设计中,教师立足教学内容对学生的逆向思维进行训练.第一,复习旧知,导入新课.教师引导学生复习勾股定理,强调要分清其题设和结论.第二,讲解新知,引发思考.教师引导学生思考3,4,5之间的关系,引导其结合勾股定理的学习经验明确32+42=52;出示数据2.5 cm,6 cm,6.5 cm,请学生计算验证数据是否满足上述平方和关系,并画出相应边长的三角形检验是否为直角三角形;学生两人一组进行验证,在得到肯定结论后,引导学生基于以上例子大胆猜想得出新的定理:如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.教师要强调定理的题设和结论,并引导学生发现新的定理与勾股定理的题设和结论恰好相反,从而引出“定理”和“逆定理”概念,强调二者的相互关系.第三,验证逆定理,深入思考.教师提出证明任务后,学生发现直接证明的困难性,此时教师提示可以证明此三角形与一个直角三角形全等,并引导学生思考并写出证明过程.最后明确“勾股定理的逆定理”,简单解释逆定理的概念,并提问:原命题正确,逆命题一定正确吗?学生之间相互讨论,有的学生举出反例:对顶角相等,但相等的两个角不一定是对顶角.由此得到否定结论:原命题成立时,逆命题不一定成立.第四,课堂练习,巩固逆定理.教师结合勾股定理和逆定理的运用设计习题,强化学生的认识,锻炼学生逆向思维.

在这一案例中,教师围绕学生的逆向思考进行引导,通过符合学生心理认知规律的教学活动设计,循序渐进地让学生在和谐、愉悦的氛围中建构、验证勾股定理逆定理,让学生理解消化了知识,也提升了逆向思维能力.

4 通过证明数学命题,培养学生逆向思维能力

在初中学数学中,学生会接触到命题、逆命题等概念,在各类考试中,对命题的真假性进行判断也是十分常见的题型.基于此,教师应通过对各类命题的讲解来培养学生的逆向思维能力,让学生在判断命题、逆命题的过程中实现创新思维及发散思维,进而提高思维品质.

例如,在讲解“逆命题”相关知识的过程中,教师立足学生逆向思维能力培养进行如下指导:第一,回顾旧知,引入新课.教师给出命题的概念:对某一件事情作出正确或不正确的判断的句子叫做命题.我们还知道,命题都有两部分,即条件和结论,它的一般形式是“如果……,那么……”,并结合例题进行说明.在教师的引导下,学生发现:在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个命题叫做原命题,那么另一个命题叫做它的逆命题.学生在认识了原命题和逆命题的概念后,教师结合常见的数学命题、法则促使学生作出判断,并提问:每个命题都有它的逆命题,但每个真命题的逆命题是否一定为真命题?学生带着问题进入下一环节.第二,深入思考,探究命题.教师给出系列原命题,并要求学生说出命题的逆命题,判定逆命题的真假:①既是中心对称,又是轴对称的图形是圆[3];②有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;③磁悬浮列车是一种高速行驶时不接触地面的交通工具.通过总结分析学生认识到:原命题为真,逆命题不一定为真.第三,逆向训练,巩固新知.教师出示习题:请写出“线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等”的逆命题,并证明这个逆命题是真命题.教师结合习题引导学生回顾命题的条件和结论,促使学生在逆向思考中证明,以巩固所学.

5 通过解答数学问题,培养学生逆向思维能力

在解答数学问题的过程中,逆向思维的运用十分常见.通常来讲,如果从正向直接思考无法顺利解决问题时,则可以从结论入手,进行反向思考,这样则可以豁然开朗,甚至找到更加便捷的解题方法.基于此,在初中数学教学指导中,教师应在解题训练中强调逆向思维,引导学生掌握常见的逆向思维方法,从而拓宽解题思路,提高解题能力.

例如,某班共有30名学生,在一次满分为100分的测试中,全班平均成绩为90分,则成绩低于60分的学生至多有多少人?

这一习题适合用逆向思维法,即由题意得到全班一共要失去300分,而低于60分的学生每人至少失掉40分,所以低于60分的至多有7人.

通过这样的解题指导,教师可以有效提升学生的数学逆向思维能力.当然,在教学实践中,教师还应结合例题讲解更多逆向思考方法,并让学生在训练中融会贯通、熟能生巧.

6 结束语

数学思维的培养是数学教学永恒的主题.在数学教学过程中,教师要以知识为载体,培养学生的数学思维.基于此,教师应继续深入思考,以培养学生的数学思维为研究目标,关注数学知识的特点及所讲知识在整体教材中的地位和作用,关注学生思维发展过程,充分发挥学生的主体地位,促使其通过学习得到数学知识,实现思维品质的有效提升.