APOS理论视角下的初中数学概念教学——以三角形概念教学为例

崔园园

(1.扬州大学 数学科学学院,江苏 扬州 225002;2.江苏省太仓市良辅中学,江苏 苏州 215400)

《义务教育数学课程标准(2022年版)》在对“会用数学的思维思考现实世界”的解释中指出:通过经历独立的数学思维过程,学生能够理解数学基本概念和法则的发生与发展,数学基本概念之间、数学与现实世界之间的联系[1].基于此,如何有效进行概念教学是数学教师值得研究的问题.

1 问题提出

从教育者的角度来看,教师虽然意识到概念教学的重要性,但要形成一节完整的概念教学课耗时较多,若留给学生大量的探究时间,则会减缓教学进度.反之,大部分教师更愿意将时间花费在解题上,通过题海战术来实现学生对概念的巩固与理解.从学习者的角度来看,初中学生的数学抽象水平仍处于一个较低的层次,教师如果不能引导学生经历一个完整的概念形成过程,很难培养学生发现问题与提出问题的能力.因此,在进行概念教学时,教育者需要参考已有的相关研究,改进教学模式,充分调动学生的主动性.

2 APOS理论概述

APOS是美国学者杜宾斯基提出的建构主义学习理论,该理论的前身是皮亚杰的“自反抽象”,自反即“反自”,意为抽身而出,对于自己结束的活动进行观察与反思,从而最终经过抽象得出一个比较严谨的结论[2].之后,杜宾斯基对于这一理论进行了再认识,最终形成 “APOS”理论.该理论主要分为四个阶段:Action(活动阶段)、Process(程序阶段)、Object(对象阶段)以及Schema(图式阶段).

3 教学案例

本文以“认识三角形”为例,将APOS理论融入初中数学概念教学过程中.

3.1 操作阶段

操作阶段又为“活动阶段”,学生通过一系列的活动,初步建立对于所学概念的直观感知.此处的活动不局限于观察、操作、探索及归纳等外显活动,还包括内隐活动,即学生对于头脑中已有的经验性知识进行回忆与反思.

①外显—观察

问题1:请同学们观察课件上两张图片,你能从中看出哪些熟悉的图形?

问题2:除了上述图片,你能从日常生活中再找出一些熟悉的三角形的实物吗?

②内隐—回忆

问题1:请你们尝试着回忆小学阶段中已经学习过的三角形的相关知识.

问题2:有学生会问,为什么我们之前已经学习过三角形,现在还要学习?那么我们回顾之前获得这些知识的过程,发现大部分知识都是通过观察得出的,数学是一门严谨的学科,那么这些知识是否正确?你该如何验证?

设计说明:首先,引导学生从生活实例中抽象出几何图形,引出本节课的课题,并依据几何图形想象出所描述的实际物体,初步建立学生的空间观念;其次,提问学生已经学习的三角形的相关概念,学生回忆在小学阶段已经学习过三角形的概念,师生共同归纳出结构框图,也建立起几何概念的学习体系.

3.2 程序阶段

程序阶段是指对于活动阶段进行反思,对活动中所得的经验进一步抽象,从而得出概念本质特征.

活动1:规范定义

①内隐—回忆

问:我们刚刚回忆时谈到三角形的概念,请你说说什么叫三角形?

学生回答各不相同,但基本上不能完全准确地说出三角形的概念.

②外显—操作归纳

师:请同学们拿出木棒搭建三角形,并从搭建好的三角形中挑选出“特殊”的图形.学生按照教师提示拿出木棒搭建三角形,并将自己搭建好的三角形与课件上两张图片对比,从而完善三角形概念.

活动2:符号表示

①外显—观察

问:观察课件上的屋顶框架,指出其由几个三角形构成,分别是哪些?

②内隐—思考

问题1:回忆三角形构成要素.

问题2:类比角的符号表示,用符号表示三角形并完善表格,最终解决①中的问题.

问题3:屋顶框架是由哪些三角形构成的?

活动3:明确分类

①内隐—回忆

问题1:结合所学知识,你能给三角形分类吗?

问题2:有学生提到按角可以分为钝角,锐角和直角三角形,也有同学提到按边可以分为等腰三角形和等边三角形,请思考:这两位同学各自的分类是否能够包括所有的三角形?如果不能,请你指出哪一种分类存在瑕疵?

师生共同归纳三角形的准确分类.

②外显—操作

课件出示一些三角形的图片并进行分类.

活动4:探究性质

①外显—操作

问题1:拿出5根长度分别为3 cm,4 cm,5 cm,6 cm,9 cm的吸管,任意取出3根首尾相接搭三角形,你可以搭出几种不同的三角形?

问题2:哪些情况下小木棒经过组合能构成三角形?哪些情况下小木棒经过组合不能构成三角形?

师:在经过上述问题的初步探究之后,我们有同学已经提出:三角形两边之和大于第三边.但在这个过程中数据量还是比较少的,接下来请看老师用几何画板进行的操作展示.

②内隐—思考

问题1:将三角形三边关系的文字语言转化为符号语言.

问题2:你能否用我们已经学习的知识来证明该结论?请同桌二人相互讨论.

问题3:在探索“三角形任意两边之和大于第三边”的过程中,你是否有其他结论?

问题:关于“三角形任意两边之差小于第三边”的证明,留给你们课后思考.

设计说明:在三角形概念引入的过程中,小学是直接通过观察,教师总结概念得出,因此在活动1中,对小学学习中三角形概念进行了进一步的完善,增加了“不在同一条直线上”;活动2通过三角形框架这一模型认知冲突,学生体会到符号表示的必要性,进一步认识三角形的基本元素,学生在这个过程中“会用数学的思维思考现实世界”.

3.3 对象阶段

对象阶段是对操作阶段和过程阶段的延续与拓展,这一阶段是对前面两个阶段得出的概念进行符号化,实现“压缩”和“解压缩”的过程.

例1下列数据中,能组成三角形的有( )组.

① 3,8,10;② 5,2,7;③ 5,5,11;④ 13,12,20.

A.1 B.2 C. 3 D. 4

问题:在解决上述问题的过程中,有没有能够快速判断构成三角形的方法?

变式1:在三角形中,已知一边长是4 cm,另一边长是8 cm,求第三边a的取值范围;

变式2:在上述三角形中,若第三边是偶数,求第三边;若第三边是奇数,求第三边.

例2已知等腰三角形的一边是5 cm,另一边是7 cm,求这个三角形的周长.

变式:若等腰△ABC周长为30,AB=6,求其余边的长.

设计说明:通过上述例题,引导学生在解决问题的过程中学会总结方法.在变式训练中,学生需要进行分类讨论,呈现知识的层次性.在这个过程中,学生逐步“会用数学的语言表达现实世界”.

3.4 图式阶段

图式阶段是对前三个阶段进行整合,学生在此阶段已经具备相应的知识与经验基础,该阶段主要是将新知纳入已有认知,对认知结构进行整合.

任务1:绘制出本节课学习内容的框架.

任务2:讨论本节课和之前学习三角形相关概念的区别.

设计说明:图式环节既巩固了前三个阶段,也引导学生发现前后学习内容的区别,学生的图式结构得到进一步完善.

4 思考与启示

在APOS理论的指导下,学生在活动中获取知识,在反思中理解概念,最终完成概念学习.在教学中,四个阶段运用APOS理论时需注意以下几点.

4.1 创设情境

活动阶段需要创设合适的情境,该阶段是学生学习新知识的起点,若以纯粹的数学性知识引入,学生会觉得枯燥乏味.首先,情境的创设要能够体现教学目标,有利于教学活动的展开;其次,情境的选择需要具有真实性,需联系学生的已有经验,否则会影响学生对概念探究的兴趣;最后,选择情境时还需注意情境的多样性.

4.2 巧设问题串

程序阶段要巧妙设计问题串.首先,问题串的设计需要体现出教学过程中的重难点,在整个过程中教师须发挥引导作用,通过问题串引发学生的认知冲突;其次,问题串的设计要具有层次性,后一个问题的提问是对前一个问题的补充和拓展,学生能够在问题串的回答过程中不断接近知识全貌,对学生自主探究概念的过程有一定的启发性.

4.3 变式教学

对象阶段是集“压缩”与“解压缩”于一体的过程,其主要功能是对“活动阶段”和“程序阶段”进行内化.该阶段主要是通过例题和习题呈现,但是题目的呈现不能是简单机械地重复,需要教师挑选出典型例题,对题目中的条件与结论进行变式,不断变换题目中的非本质特征.学生能不断抽象出概念本质特征,教师还应给予学生一定的自主性,引导学生自主对题目进行变式,也可以呈现出一些开放式的题目,多给学生一些反思和归纳的时间与空间.

4.4 灵活运用APOS

APOS理论具有一定指导意义,没有固定的模式,教师在进行教学设计时,应充分考虑知识结构及学生的学情,进行合理的分阶段设计,适当对四个阶段进行重组和补充.

5 结束语

通过应用APOS的四阶段理论来指导概念教学,学习者可以更好地理解概念的生成过程,主体性地位在进一步增强,从而提升了他们的思维水平.