“本手”筑基,“妙手”生花

⦿ 湖北省十堰市东风高级中学 夏巨星

2022年全国语文新高考Ⅰ卷的作文题中出现了“本手、妙手、俗手”这三个围棋术语,本手是指合乎棋理的正规下法;妙手是指出人意料的精妙下法;俗手是指貌似合理,而从全局看通常会受损的下法[1].

在数学解题教学与学习过程中,也可以很好借助围棋术语中的“本手”与“妙手”来类比与拓展.“本手”筑基,合理构建并应用数学基础知识与基本思想方法等,筑牢基础知识,构建知识网络;“妙手”生花,巧妙创设场景并利用相关的精妙解法等,优化解题过程,提升解题效益.

1 问题呈现

众所周知,解三角形是高中数学的一个重点内容.合理构建于初中平面几何的基础上,融入解三角形、三角函数以及平面向量等相关高中知识,是高考数学试卷填空压轴题中经常设置的一类综合应用问题,特别是涉及多个知识点的交汇与融合的创新应用问题.

下面通过一道有关解三角形背景下平面向量数量积的求解问题,从多个角度进行分析,剖析数学解题与数学教学中的“本手”与“妙手”,以培养学生的推理论证能力和创新意识,促进学生思维能力和思维品质的提升.

此题最早出现在2022年浙江省宁波“十校”高考数学联考试卷(3月份)中,以一个相邻两边为定值的三角形为问题背景,结合三角形外心和垂心的给出,进而确定以这两个“心”所对应的向量与第三边所对应的向量的数量积,借助“不确定”的三角形的创设来“确定”对应向量的数量积,“数”与“形”结合,“动”与“静”转化,构建一幅完美、和谐的“画卷”.

特别,我们也尝试从“本手”与“妙手”这两个不同的层面来分析与处理该问题,阐述问题的内涵与解题的本质,剖析解题技巧与应试策略.

2 “本手”筑基

数学解题中,“本手”是基础,只有筑牢基础,落实“本手”,掌握相关问题的“通技通法”,才是数学教学与数学学习的根本所在.

此类以平面几何为场景,交汇并融合解三角形与平面向量的相关知识,破解的基本思维策略就是正确剖析平面图形中边与角的关系,通过解三角形中的正弦定理、余弦定理以及平面向量的线性运算、数量积等加以综合与应用,也是解决此类问题的“本手”所在,基础所在.

2.1 余弦定理法

设∠AOB=α,∠AOC=β,△ABC的外接圆的半径为r.

由余弦定理,可得AB2=AO2+OB2-2AO·OB·cosα=r2+r2-2r2cosα=2r2-2r2cosα=25.

同理AC2=AO2+OC2-2AO·OC·cosβ=r2+r2-2r2cosβ=2r2-2r2cosβ=9.

故填答案:8.

解后反思：根据平面向量的线性运算,以及△ABC的外心和垂心的几何性质,结合解三角形中的余弦定理,合理转化,巧妙应用,特别是合理转化平面向量的数量积的关系中各向量的“同起点”问题,进一步优化解决与应用过程.

2.2 余弦定理的向量式法

故填答案:8.

解后反思：根据平面向量的线性运算,以及△ABC的外心和垂心的几何性质,巧妙结合解三角形中余弦定理的向量式,有机“串联”起解三角形与平面向量之间的联系,使得问题的解决得到很大的优化与提升.

3 “妙手”生花

数学解题中,“妙手”是创新.只有发展思维,推进“妙手”,拓展探究问题的“巧技妙法”,才是优化与提升解题能力、培养创新思维的土壤.

涉及此类由问题场景的“不确定”的创设来“确定”对应的数值等相关创新应用,往往可以借助特殊思维,从问题的特殊情况入手,通过特殊思维,借助特殊元素(包括特殊图形、特殊点、特殊值、特殊函数等)的构建,确定特殊场景下对应的数值,进而回归一般,得以“妙手”偶得.

图1

故填答案:8.

图2

故填答案:8.

解后反思：根据三角形的相邻两边为定值进行极端思维,合理构建特殊图形进行特殊思维,通过不同场景下的直角三角形的创设,快速确定对应的外心与垂心,结合平面向量的线性运算与数量积公式加以转化与应用.“一般”中寻找“特殊”,“特殊”中呈现“一般”,优化解题过程,提升解题效益.

4 教学启示

其实,在新教材(人民教育出版社2019年国家教材委员会专家委员会审核通过)、新课程(《普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订》)、新高考的“三新”背景下,高考试题更加注重思维品质、关键能力以及核心素养等方面的考查,凸显教师与学生对新高考方向与命题思路的适应程度,反映教考衔接环节之间的匹配度[2].因而,在数学解题教学与学习过程中,要立足“本手”,求取“妙手”;要学好“本手”,下出“妙手”;要勤于“本手”,方能“妙手”.同时,解题研究中,要以“本手”主本,才能“妙手”偶得;要以“本手”固基,才能“妙手”辉煌;要以“本手”行稳,才能“妙手”致远.

特别在数学解题过程中,不能再借助以往的老经验,一味地走“题海战术”的老路,应该合理下稳“本手”,科学实施“妙手”,全面促进学生数学基础知识与数学思想方法等“四基”的内化与提升,提升数学思维的发散性与开阔性,强化数学思维的灵活性与创新性,培养数学核心素养.