基于“四个理解”的三角形内角和定理教学设计

李 红 霞

(内江师范学院 数学与信息科学学院, 四川 内江 641100)

1 四个理解

直观理解,以培养学生直观想象素养为目标,借助图形描述和分析问题,获得感性认识,感悟数学的抽象性．借助几何图形可以使某些抽象的数学问题更加具体和直观,从而有助于找到解决问题的思路,预测结果．教学中通过直观的方式解释和呈现数学的概念和原理,能够让学生更直观地理解和感受数学的魅力,有助于培养学生的直观想象能力和合情推理能力,把握数学问题的本质,从浅层学习走向深度思考．

深度理解,以发展学生思维为目标,通过引导学生亲历探索,可以准确定位课时目标,帮助学生明晰教学重难点,促进对数学概念和定理的深度理解,感悟数学的理性精神．为促进学生对教学内容的深度理解,教学中需要确立科学合理的教学目标、多维度解读教材、深化学习方式、注重多元化的结果评价等,为学生深度理解教学内容的开展奠定坚实基础．

反思理解,以培养学生反思意识、提高反思能力为目标．教育家弗赖登塔尔指出:“反思是数学思维活动的核心和动力”,“通过反思才能使学生的现实世界数学化”,“没有反思,学生的理解就不可能从一个水平升华到更高的水平”[1]． 教学实践表明:反思可以促进学生思维能力的发展,感悟数学方法本质．通过反思有助于弄清问题的实质,有利于帮助学生建立起知识体系,促进知识的同化和迁移,更有利于学生对知识特点及知识联系的整体把握.因此,在教学实践中要引导学生善于反思、勤于反思、乐于反思,在反思中感悟,在反思中提升学生的数学素养[2]．

文化理解,以立德树人为导向,以发展学生核心素养为目标,通过数学文化的沁润,让学生领悟数学知识发现与再创造的过程,感受数学家们严谨治学的科学精神．新课标提出:数学教学不仅仅是运算和推理的教学,更是语言表达和数学思想文化的教学[3]．在教学中可以通过融入数学史、数学知识与实际生活的联系、数学与其他学科之间的联系、感受数学美等多种方式渗透数学文化,体会数学中蕴含的文化内涵,树立正确的数学文化观．当数学文化的魅力真正渗入教材,到达课堂、融入教学时,数学就会更加平易近人,数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学[4]．

四个理解在层次上相互关联,构成了一种逐步深入的理解过程．直观理解是最基础的理解,通过观察、感知和描述现象来获取对数学知识的初步认识．深度理解是在直观理解的基础上,深入挖掘数学知识的本质,理解数学的概念、定理和公式,深度理解是数学学习的核心层次．反思理解则是在深度理解的基础上,对已有的知识和认识进行反思,巩固数学知识,提升数学能力,掌握数学学习与研究的一般方法．文化理解则是在上述三个理解的基础上,呈现数学概念、定理的历史发展脉络,引导学生体会数学家们的钻研精神,彰显数学课程育人价值．在教学实践中,四个理解相互融合,相辅相成,共同构成了一个层次分明、逐步深入的理解体系．

因此,基于以上“四个理解”的数学教学设计,有利于引导学生厘清知识的生长脉络,注重知识间的相互联系,从而实现教学知识的自然生长;有利于让学生在探究中理解数学知识本质,领悟数学方法策略;有利于让学生在探究中产生思维上的冲突,引发学生深度思考,使学生数学核心素养能力的培养得到落实．

下面是基于“四个理解”的数学教学设计理念,对“三角形内角和定理”的教学设计．

2 “三角形内角和定理”教学设计

2.1 教材分析

本课题是北师大版八年级上册第七章第五节的内容．该节属于初中数学“图形与几何”版块中的“图形的性质”,主要研究三角形三个内角之间的数量关系,是几何问题代数化的体现．本节是在学习了平角、三线八角、平行线的判定与性质的基础上对三角形内角和定理进行严格的证明,既是对平行线知识的延伸,也是今后学习三角形外角定理及多边形内角和、外角和等知识的基础,因此它起着承前启后的作用．

同时,在本课题的学习过程中,还蕴含着丰富的数学思想,例如抽象思想、分类思想、推理思想、化归转化思想等,这些思想对解决数学问题有着重要帮助．因此,本节课无论是知识的传承,还是能力的发展,思维的训练,都属于“图形与几何”领域中“图形的性质”部分的重要内容,同时本课题的学习也是发展学生数学素养的重要载体．

2.2 学情分析

知识储备:①经历通过度量、折纸和简单拼图的方法得到三角形内角和等于180°这一结论,具有寻找证明这一结论的心理期望．②已学过平角、平行线的判定与性质等知识,为定理的证明和运用打下了基础．

能力储备:初二学生初步具备了一定的合情推理能力与问题探究意识．

认知障碍:定理证明思路的切入点——添加辅助线．

2.3 教学目标

知识目标:

掌握三角形内角和定理的证明,并能运用定理解决实际问题．

能力目标:

①经历从实物拼图抽象为几何图形,观察发现证明思路的过程,培养学生的直观感知能力、抽象概括能力和演绎推理能力．

②在一题多解、一题多变中,积累解决几何问题的经验,培养学生发散思维能力,提升学生问题解决的能力．

素质目标:

借助数学史,了解“三角形内角和定理”的发现与证明,培养学生严谨求实的科学精神,落实立德树人的育人目标．

教学重难点:

重点:通过演绎推理证明三角形内角和定理．

难点:添加辅助线的基本思路．

2.4 教法学法分析

新课程标准要求学习活动应体现学生身心发展特点,应有利于引导学生主动探索和发现．因此,采用启发式、探究式、问题驱动式教学方法,让学生在实验发现、自主探究、合作交流中掌握推理证明与数学表达的基本方法,培养学生“学问”“会问”的创新意识和能力.本设计打破传统静态教学局限,灵活运用网络画板等信息化教学手段,以动图形式,精心设计可视化课堂,达到动态化、直观化、视觉化的课堂教学效果,引导学生从动态角度直观地思考问题,帮助学生理解运动变化的观点．

2.5 教学过程

为体现以学为中心、以生为本的教学理念,围绕“学”设计了以下六大教学环节．

2.5.1 实验操作,获取证明思路

(1)梳理旧知.

通过视频回顾小学研究三角形内角和为180°的方法(见图1),从而引出本节课的课题——三角形内角和定理．

图1 小学探究三角形内角和定理的方法

【学生活动】学生观看视频,唤醒已有知识记忆．

【设计意图】学生在小学四年级已经通过度量、折纸和简单拼图的方法得到三角形内角和等于180°这一结论,但是并没有经过严格的推理论证．通过视频回顾拼图、度量等方法,唤醒学生已有知识记忆,激发学生学习兴趣．

(2)合作探究.

探究活动一教师呈现视频中的第一种拼图(见图2)．

问题1同学们还有其他的拼法吗?请同学们利用手中的三角形纸片尝试其他的拼法．

【学生活动】学生先独立完成拼图,然后小组交流归纳、总结,充分展示．

学情预设:此处,学生根据手中的拼图,可能出现如图3、图4的情形．

图2

【设计意图】让学生经历观察、实验拼图,获得感性认识．引导学生分析、观察、总结共性:将三个角“凑”到一个顶点处,为后面探索三角形内角和定理的证明思路做好铺垫．

2.5.2 证明定理,发展推理能力

(1)证明定理.

问题2 如何借助“图2”证明三角形内角和为180°?

教师引导学生通过“实物拼图—抽象图形—建立模型—分析归纳”的途径探索证明三角形内角和定理的思路(见图5)．(教师引导学生画图,分析已知、求证,明确做辅助线的语言,板书完整证明过程.)

图5 探究证明三角形内角和定理的思路

【学生活动】学生根据图2口述证明过程．

已知: ΔABC如图6所示,求证:∠A+∠B+∠C=180°．

图6

证明:略

定理:三角形的内角和等于180°．

【设计意图】学生经历了从实验操作到推理证明的过程,体会实验操作的思维性和符号化的理性作用,在图2的基础上,抽象出几何模型,从而自然得到添加辅助线的方法．通过添加平行线实现移角,将三个角“凑”到一个顶点处,实现论证目标,化分散为集中的论证思想的渗透．让学生感悟添加辅助线的作用与做辅助线的基本要求,体会“转化”的数学思想,从而突出本节课重点,并且自然地完成难点的突破．

(2)方法多样.

问题3 对于图3或图4,又该如何添加辅助线呢?

【学生活动】学生独立分析图3和图4,鼓励学生继续探索新的证法,在学案上完成证明,小组交流后派代表上台展示证法(见图7、图8)．

(a) (b)

(a) (b)

通过回顾刚才的三种证法,引导学生发现和总结规律,再次让学生体会辅助线的桥梁作用,在潜移默化中渗透初中阶段一个重要数学思想——转化思想．

师生总结,形成如下模型:

【设计意图】用不同的方法,通过严密的几何推理对三角形内角和定理进行证明,使学生经历在活动中探索、验证三角形内角和定理的过程,积累数学活动经验,以此进一步锻炼学生分析和解决问题的能力．

2.5.3 反思证法,感悟方法本质

探究活动二

问题4 还可以把三个角“凑”到何处来证明?

教师指导点拨:①从三角形的边上思考;②从三角形的内部思考;③从三角形的外部思考．

电脑演示如图9所示的四种不同的图形.

图9

【学情预设】此处学生会遇到困难,注意设置“问题串”逐步引导学生深入思考,学会总结,感悟数学思想．

【学生活动】讨论交流思考,学生分析不同证法的特点,认真思考,发现证法之间的联系．

教师引导学生进行证法的梳理、总结和数学方法的提炼:

①都是通过做平行线进行等角转移;

②发现可以过平面上任意一点做三角形三边平行线;

③都是将三个角的和转化为平角或者同旁内角解决;

④证法之间可以“转化”——多法归一．

【设计意图】探索多种证法是锻炼学生思维的最佳途径,通过对不同证法的观察和分析,总结出解决问题的通法,渗透化归的思想,同时也培养学生分类讨论的数学思想,因势利导将学生的思维引向深处,使学生的学力得到提升．

2.5.4 应用定理,解决数学问题

证明三角形内角和定理后,引导学生应用三角形内角和定理解决问题．

例题:如图10,在ΔABC中,BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,当∠A=60°时,求∠P的度数．

变式1:如图11,当∠A=α,其余条件不变时,求∠P的度数．

变式2:如图12,BP1和BP2三等分∠ABC,CP1和CP2三等分∠ACB,∠A=α,求∠BP1C和∠BP2C的度数．

变式3:如图13,已知ΔABC中,∠ABC的n等分线与∠ACB的n等分线相交于P1,P2,…,Pn-1,试猜想:∠BPn-1C与∠A的关系．

图10

【设计意图】(1)通过例题检验学生能否利用三角形内角和定理解决简单的问题,培养学生的数学应用意识,同时让学生理解三角形内角和定理是几何关系代数化的体现,从而认识数学的内在联系．(2)例题及变式的条件从特殊到一般,渗透一题多变,提升学生的思维能力,考查学生对“三角形内角和”这一隐含条件的挖掘和应用,同时关注学生符号意识的发展,通性通法的教学,在问题解决中渗透“整体”思想、“变与不变”的思想．

2.5.5 总结升华,丰富认知结构

教师引导学生回顾本节课流程图,师生共同完成本节数学知识、数学方法、数学思想的总结和提炼．

师生总结,形成如下知识结构:

【设计意图】通过流程图的梳理使学生对本节课所学知识的结构有一个清晰的认识,引导学生建构自己的知识经验,形成知识体系,从感性认识上升到理性认识．

2.5.6 历史回顾,渗透数学文化

以时间轴为依据,让学生感受数学家们发现三角形内角和定理的过程和方法．

(1)公元前6世纪,古希腊数学家泰勒斯通过拼图方法发现三角形内角和定理．

(2)毕达哥拉斯学派利用平行线的方法证明了三角形内角和定理．

(3)公元前3世纪,古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中给出了三角形内角和定理的另一个证明．

(4)古希腊数学家普罗克拉斯利用同旁内角互补的方法证明了内角和定理．

(5)18世纪,法国数学家克莱罗在其《几何基础》中给出三角形内角和的一种发现方法．

(6)1635年,法国数学家帕斯卡利用折叠拼凑发现了三角形内角和定理．

(7)1809年,德国数学家提波特利用旋转的方法证明了三角形内角和定理．

【设计意图】借助数学史重现三角形内角和定理发现和解决的过程,使学生在体会数学发现与再创造的乐趣的同时,感受数学文化的价值与魅力,体现数学文化的育人价值．

3 教学设计亮点

3.1 强化育人意识,夯实文化素养

以立德树人为导向,以发展学生核心素养为目标,通过回顾三角形内角和定理的发展历程,感受数学家们的探索精神和不懈努力,将数学知识和数学文化有机地融合在一起,可以帮助学生更好地理解数学和欣赏数学．本教学设计着眼于学生文化素养的熏陶濡染,不断增强数学课堂“思政”教育的亲和力和感染力．

3.2 渗透四个理解,夯实数学之基

本教学设计力图关注学生对三角形内角和定理的四个理解:

实验操作—直观理解:让学生经历观察、实验拼图,获得感性认识,从而获得对三角形内角和定理的直观理解．

定理证明—深度理解:引导学生亲历探索三角形内角和定理的过程,让学生感悟添加辅助线的方法,感受辅助线“平行线”的作用,通过严密的几何推理对三角形内角和定理进行证明,感悟数学的理性精神,深化对三角形内角和定理的深度理解．

反思证法—反思理解:通过设置问题串逐步引导学生深入思考,除了把三个角“凑”到三角形顶点处,还可以从三角形的边上、内部、外部来思考,反思不同证法的特点,发现证法之间的联系,感悟方法本质,促进反思理解．

历史回顾—文化理解:通过回顾三角形内角和定理的发展历程,拓宽学生视野,实现文化沁润,引导学生体会数学家们的钻研精神,实现学科育人,促进文化理解．

在“四个理解”的指引下,以发展学生思维为目标,通过观察、操作、猜想、归纳、验证、交流的合作学习过程,扎实“四基”,发展“四能”,提升数学素养．

3.3 理解数学本质,凸显以生为本

通过两个探究活动解决两个探究问题,深刻挖掘数学本质,通过自主探究、小组合作、成果展示的合作学习过程,既培养了学生创新精神、探究意识和合作能力,也促进了学生成乐于提问、敢于质疑、勤于反思的良好思维品质,较好地体现了以生为本的教育理念．