三角形垂心的一个定理及其运用

江西省抚州市第二实验学校 (344000) 洪海燕

定理设ΔABC的垂心为H,外接圆半径为R,则AH=2R|cosA|,BH=2R|cosB|,CH=2R|cosC|.

图1

CH=2RcosC.

当ΔABC为钝角三角形时,不妨设角A为钝角,如图2所示,易知AH=2Rcos(π-A)=-2RcosA,BH=2RcosB,CH=2RcosC.

图2

当ΔABC为直角三角形时,不妨设角A=90°,如图3,可验证定理的结论仍然成立.所以定理对任意ΔABC都成立.

图3

形式上与正弦定理类似.

以下略举数例说明定理的应用.

例2 (三角形垂心与外心之间的关系定理)三角形任意一个顶点到垂心的距离,等于外心到该顶点对边的距离的2倍.

证明：如图4,已知H,O分别是ΔABC的垂心和外心,OM⊥BC于M,ON⊥AC于N,OK⊥AB于K.即要证:AH=2OM,BH=2ON,CH=2OK.

图4

同理有BH=2ON,CH=2OK.

例3 设锐角ΔABC的外心与垂心分别为O,H,外接圆半径与内切圆半径分别为R,r,求证AH+BH+CH=2(R+r).

证明：如图5,过外心O分别作OM⊥BC于M,ON⊥AC于N,OK⊥AB于K.由例2知AH+BH+CH=2(OM+ON+OK),故以下只要证明OM+ON+OK=R+r即可.

图5