例说思维品质在立体几何解题中的渗透

广东省惠州市第一中学 (516007) 戴 飙 方志平

数学教学的核心是思维活动的教学.“思维”可以从不同的角度去解释,从心理学的角度来说,“思维”是人脑的一种高级的心理活动,“思维”不同于其他心理活动的本质在于“思维”是对客观事物本质属性以及内在规律的反映[1].思维品质主要包括思维的广阔性、深刻性、批判性和独创性等几个方面.针对思维品质的训练,对提高学生的思维能力,落实数学核心素养具有积极的意义.本文列举几例阐述思维品质在立体几何解题中的渗透,供读者参考.

1.在探索性问题中渗透思维的广阔性

思维的广阔性是指善于全面地考察问题,从事物的各种联系中认识事物,避免问题的片面性及狭义性,这使我们不仅能抓住事物的基本特征,而且不忽略重要的细节.数学思维的广阔性具有流畅、变通和独特的特点,在教学中,要引导学生不局限于某一种解题思路及方法,大胆联想,从问题的各种条件与结论出发,发现解决问题的新途径.

图1

2.在关系转换问题中渗透思维的深刻性

思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平.表现为能洞察所研究的每一个事物的实质以及相互关系,能从所研究材料中揭示被掩盖住的特殊情况,能够抓住问题的本质和规律,深入细致地加以分析和解决,而不被一些表面现象所迷惑[2].

例2 三个边长为12的正方形都被连接两条相邻边的中点的直线分成A,B两片,如图2所示,把这六片粘在一个正六边形的外面,如图3所示,然后折成一个多面体,求这个多面体的体积.

图2

图3

解：如图3,每个B片的两侧都是A片,要将其粘合在一起就是要将三个直角顶点和边粘合在一起,那么三个直角顶点和边粘合在一起是一个怎样的图形?图中的直角边MN和GH会重合吗?点N,L,H三点会有怎样的结果?

图4

图5

如果将正六边形的顶点与点S连接起来,如图6所示,则原几何体被分割成一个正六棱锥和三个全等的有三条棱两两垂直的三棱锥,体积可求.

图6

如果注意到将图中QY,PX延长必交于一点,得一正方形……可将原几何体补形成如图7所示的正方体,其体积恰为一个棱长为12的正方体体积的一半.

评注：本题的思维价值,就是学生能否揭示该问题中最特殊的情况,即三个直角粘合在一起的图形特征,这正是该问题能否解决的关键所在.通过由表及里的思维,概括归纳,抓住事物本质及规律,可发展思维的深刻性.

3.在涉及概念问题中渗透思维的批判性

批判性是数学思维优良品质的一个重要特性,其内涵是能自觉地进行自我反省,对自己的思维和行为作出评价、判断和监控,并可预见到可能出现的各种结果;能从问题的正、反两方面进行思考,既有成功的思想准备,也有失败再重来的思想意识;能及时判断解题方法的优劣,调整改善解题的思路,以求得优美的解法;善于总结自己成功和失败的经验,并用来指导未来的实践[3].

例3 如图8,在多面体ABCD-A1B1C1D1中,上、下底面平行且均为矩形,相对的侧面与同一底面所成的二面角大小相等,侧棱延长后相交于E、F两点,上、下底面矩形的长、宽分别为c、d与a、b且a>c,b>d,两底面间的距离为h.(1)求侧面ABB1A1与底面ABCD所成二面角的正切值;(2)证明:EF∥面ABCD.

图8

评注：本解法的错误之处在于:直接利用结论“O1O垂直于上、下底面”,事实上,这是正棱台的性质,在本题当中,该结论仍然正确,但证明该结论相当困难,所需篇幅甚至远大于解答本题之篇幅.

图9

图10

(2)∵AB、CD为矩形ABCD的对边,∴AB∥CD,又面ABCD∩面CDEF=CD,∴AB∥面CDEF,又∵面ABEF∩面CDEF=EF,∴EF∥AB,AB⊂面ABCD,又EF⊄面ABCD,∴EF∥面ABCD.

4.在动态问题中渗透思维的独创性

思维的独创性是指思维活动的创新程度.它表现为思考问题和解决问题时的方式、方法或结果的新颖、独特、别出心裁.善于发现问题、解决并引申问题是思维创造性的表现之一[4].

例4 若点P∉α,直线l⊂α,过点P且与直线l成30°角的直线交平面α于点M,若点M的轨迹为一圆锥曲线,求其离心率.

图11

评注：本题中尽管“动态”的背景下活跃着动态的点和线,但在其动态性的层面内,隐藏和潜伏着不变(静态)的元素.只要细心观察,匠心独运,独具慧眼,就会从动态的图形中捕捉到不变的静态的因素,实现“动中取静,以静制动”之效应.

综上案例,思维品质在立体几何解题中的渗透,向我们阐述了思维的广阔性是对学生进行思维品质训练的基础与前提,思维的深刻性是对学生进行思维品质训练的深化过程,思维的批判性是在深刻性的基础上发展起来的,思维的独创性是对学生进行思维品质训练的归宿与新的起点.