基于热弹流理论的球轴承胶合失效研究

敬贤旺, 孟凡明, 巩加玉

(重庆大学 高端装备机械传动国家重点实验室, 重庆 400044)

在高速、重载和润滑不良等极端服役工况下，球轴承的滚动体和滚道接触表面会因为高温及润滑失效导致局部胶合失效. 轴承发生胶合具有不可预测性，极短的时间内超载，球轴承就可能发生胶合，致使整个传动系统功能失效. 因此，研究球轴承的胶合失效的机制具有重要的工程意义，尤其是对于服役于极端工况下的传动装置，如航空航海武器装备中的燃气轮机及减速器.

国内外学者针对胶合失效问题开展了广泛的研究，Blok[1]于1937年首次提出了闪温公式，该公式是建立在热源恒速移动的假设之上，后来众多学者对其进行了改进并形成了一系列齿轮胶合标准[2-3]. 例如，郭梅和贾晨帆等[4-5]比较了多种现行的齿轮胶合承载能力标准，发现不同标准之间的计算结果差异明显. 此外，热弹流润滑理论也常被用为分析胶合失效的手段.Liu等[6]研究了考虑齿廓修形的斜齿轮齿面热弹流闪温分布特性. Pu等[7-8]基于热弹流理论对混合润滑条件下的螺旋锥齿轮胶合承载能力进行分析. 薛建华等[9]对比分析了齿轮啮合线上热弹流闪温和Blok闪温，发现由热弹流理论计算得到的闪温分布更符合实际情况. 同时，研究表明若接触区中存在的较薄润滑油膜无法将两接触表面有效隔开，也是导致其发生胶合失效的重要原因[10-13].

在上述研究中，有关于胶合失效的研究对象大多数为齿轮，而有关滚动轴承的胶合失效研究和判定准则还鲜有报道. 此外，以往胶合失效研究中很少有考虑乏油对胶合失效的影响. 因此，研究球轴承在乏油条件下的胶合失效及提出适用于球轴承的胶合判定准则是有必要的. 针对上述问题，以深沟球轴承6011为例，基于考虑乏油和非牛顿流体效应的热弹流理论建立了适用于球轴承的胶合分析模型，获得了温度安全系数和膜厚安全系数在计算域中的分布，以此研究球轴承的胶合失效，并对2种系数求交集来确定球轴承滚道与滚动体之间的胶合发生具体区域. 本研究可为球轴承胶合失效的分析提供参考.

1 控制方程

球轴承在高速运行条件下，其离心效应往往使得滚动体与外滚道之间的接触载荷大于与内滚道之间的接触载荷. 故本文作者在研究球轴承的胶合失效时，以深沟球轴承的外滚道和最大受载滚动体之间的接触为例进行分析. 首先，通过深沟球轴承拟静力学和运动学分析获得最大受载滚动体与外滚道之间的接触载荷Q、圆周方向和宽度方向的综合曲率半径Rx、Ry和卷吸速度ue等参数，具体求解方法可见文献[14-15].深沟球轴承的外滚道和滚动体之间的接触问题可以等效为点接触热弹流润滑问题. 以外滚道与滚动体的接触中心为坐标原点o建立o-xyz坐标系，x轴为轴承外滚道的圆周方向，y轴为轴承外滚道的宽度方向，z轴为油膜厚度方向，a和b分别表示接触椭圆的接触半宽和接触半长，xin(yin)和xout(yout)分别表示润滑计算域中x(y)方向的入口和出口边界，如图1(a)所示. 图1(b)和(c)所示分别为y=0截面上供油示意图和接触区的温度场计算域示意图.

Fig. 1 Ball-raceway TEHL model图1 滚动体与外滚道点接触热弹流润滑模型

1.1 Reynolds方程

本文作者旨在讨论滚动体与外滚道之间的点接触摩擦副在高速重载工况下的热弹流润滑性能，并据此分析发生胶合失效的机制. 由于润滑油在高速重载工况下，通常表现出较强的非牛顿特性，故本研究中将使用Ree-Eyring型非牛顿流体模型来建立Reynolds方程，其表达式如下：

式中，ue和ρ分别为润滑油的卷吸速度和环境密度，p为油膜压力，h为滚动体与滚道之间的几何间隙，Ree-Eyring型非牛顿流体的等效黏度其中η为润滑油环境黏度，τ0和τe分别为润滑油的特征剪切应力和剪应力模量，(ρ/η*)e和的表达式请参考论文[16].

式(1)中，θ为滚动体与滚道之间的部分油膜比例，其表达式为[17]

式中，hf为滚动体与外滚道之间的润滑油实际膜厚. 图1(b)表明了在乏油润滑条件下，润滑油只能部分填充入口区和出口区的几何间隙，即hf

对于乏油润滑条件下的Reynolds方程，还需要满足补充条件[18]，即：

p(x,y)[1-θ(x,y)]=0，p(x,y)≥0, 0<θ(x,y)≤1 (3)

式中，θ和p可被看作2个相对独立的变量，上述补充条件可以表达为[19]

此外，上式Reynolds方程还需满足压力边界条件：

1.2 几何间隙方程

接触区考虑弹性变形的几何间隙方程为

式中，hc表示刚体中心膜厚，Rx和Ry分别表示接触副在xoz和yoz平面的综合曲率半径，E'为接触副的综合弹性模量，p(ξ,ψ)为在计算域中点(ξ,ψ)处的油膜压力.

1.3 温度场方程

目前接触副的表面温度主要采用Blok理论和热弹流理论计算，当前以Blok闪温为理论基础形成的ISO标准[2]仅适用于齿轮. 对于考虑乏油效应的球轴承胶合失效分析，使用热弹流理论计算轴承表面温度场更为合适.

润滑油的稳态能量方程为[6]

式中，c为润滑油比热容，k为润滑油热传导系数，u和v表示润滑油沿x和y方向速度，∂u/∂z和∂v/∂z分别表示润滑油沿x和y方向速度梯度.

轴承外滚道与滚动体热传导方程分别为

式中，c1(c2)、ρ1(ρ2)、k1(k2)和T1(T2)分别表示外滚道(滚动体)的比热容、密度、热传导系数和温度.z1(z2)分别为外滚道(滚动体)沿膜厚方向坐标，其正方向与膜厚方向z的正方向保持一致，轴承外滚道与滚动体热传导方程温度边界条件分别为

式中，ht为润滑油与外滚道(滚动体)的固液交界面至外滚道(滚动体)内部热量渗透层深度，超过此深度后外滚道(滚动体)温度不再受润滑油温度影响，且ht=3.15a[16]；T0为润滑油入口油温.

在润滑油和外滚道与润滑油和滚动体热流交界面处，需满足以下热流连续方程：

具体地，将球轴承中外滚道、油膜和滚动体的温度当作1个整体，温度计算域可以写为

1.4 胶合判定准则

1.4.1 温度安全系数和膜厚安全系数

李纪强等[10]基于Bolk闪温和Dowson-Higginson拟合公式，得到了齿轮副表面最高温度和最小油膜厚度，并以此为基础给出了渐开线圆柱齿轮的胶合损伤评判准则，但是该准则不能考虑乏油效应对胶合的影响. 并且，利用上述评判准则只能简单判断接触体表面是否产生胶合，不能计算接触体表面胶合失效的具体位置及胶合程度. 此外，目前尚未有关于球轴承的胶合准则被发现，为此，本文中基于乏油热弹流理论的球轴承胶合分析模型计算得到滚动体与滚道接触副的计算域的表面接触温度分布和实际膜厚分布，进而获得用来表征胶合程度的温度和膜厚安全系数在计算域的每个节点的分布，其表达式分别为

式中，SB(x,y)为温度安全系数分布；Ts为轴承临界胶合温度，Castro等[20]通过试验发现常用材料摩擦副包括齿轮、滚动轴承和凸轮-连杆机构的临界胶合温度与润滑油在高温下的临界黏度相关联，并拟合出摩擦副临界胶合温度Ts与润滑油在40 ℃下的运动黏度的函数，即Ts=26.2ln(v40)，本文中使用的润滑油在40 ℃下的运动黏度约为50.2 mm2/s，根据上式计算出轴承表面临界胶合温度102.6 ℃，该温度也吻合文献[21-23]中试验得到的轴承钢材料表面发生胶合的接触温度为95~110 ℃的结论；TB(x,y)取外滚道与滚动体中较高的表面温度分布，由上述温度场方程计算获得.

式中，Λh(x,y)为膜厚安全系数分布；hf(x,y)为实际油膜厚度分布，Rq1和Rq2分别为外滚道和滚动体表面轮廓均方根偏差，使用白光干涉仪对外滚道与滚动体表面形貌测试，测试结果为Rq1=0.397 μm，Rq2=0.325 μm.

1.4.2 胶合集合域

根据上述定义的SB(x,y)和Λh(x,y)，本文中定义在计算域中满足SB(x,y)＜1.0的物理域为ΩS(x,y)，其物理意义表示在ΩS(x,y)内滚道或滚动体表面温度高于极限胶合温度Ts；Λh(x,y)＜1.0的物理域为ΩΛ(x,y)，其物理意义表示在ΩS(x,y)内滚道与滚动体之间的膜厚比小于1.0，属于边界润滑状态，无法形成有效的油膜. 实际上，只有当滚动体与滚道表面既发生接触其表面温度又超过极限温度，才会发生胶合[11,13]. 因此，高速重载条件下，如果计算域中同时存在物理域ΩS(x,y)和物理域ΩΛ(x,y)，且两物理域存在交集域Ω(x,y)，则在交集域Ω(x,y)内，高于胶合临界温度的滚道与滚动体表面间因无法形成有效的膜厚将它们隔开而大面积接触，进而造成轴承胶合. 基于以上对球轴承胶合失效机理的分析，提出的球轴承胶合判定准则如下：

式中，集合域Ω(x,y)为滚道/滚动体表面发生胶合的区域. 反之，如果ΩS(x,y)与ΩΛ(x,y)不存在交集，即交集为空集 ∅，则判定不会发生胶合.

上述判定准则适用于判定球轴承是否会发生胶合失效. 除此之外，当SB(x,y)＜1.0 且Λh(x,y)≥1.0时，虽然接触区存在有效的膜厚，但是由于接触区温升过高，严重时会引起游隙减小致使轴承卡死等失效[24].当SB(x,y)≥1.0 且Λh(x,y)＜1.0时，此时接触区温度尚未达到金属微观尺寸级别的摩擦-焊合-撕裂条件，不会发生胶合损伤[11-12]，但是出口区由于Λh(x,y)＜1.0形成的ΩΛ(x,y)内可能会发生微点蚀现象[11-12,25].

2 求解方案

基于热弹流理论的球轴承求解方案如图2所示，具体计算流程描述如下:

Fig. 2 Numerical calculation flowchart of TEHL scuffing analysis considering oil starvation图2 考虑乏油效应的球轴承热弹流胶合分析数值计算流程图

步骤1. 输入球轴承的结构，材料和工况参数，以及润滑油的流变参数和设定入口油膜厚度.

步骤2. 基于拟静力学分析，计算获得球轴承外滚道和滚动体之间的接触载荷，综合曲率半径和润滑油的卷吸速度等参数[14-15].

步骤3. 基于FFT算法加速计算滚动体与外滚道之间的综合弹性变形以获得外滚道与滚动体之间的几何间隙，同时计算润滑油黏度和密度.

步骤4. 基于Jacobi线性迭代法和Elrod算法[19]求解考虑乏油效应的Reynolds方程(1)，获得外滚道和滚动体之间的油膜压力和部分油膜比例分布.

步骤5. 基于追赶法求解润滑油能量方程(7)，热传导方程[(8(a~b)]，获得滚动体、外滚道以及油膜温度场分布.

步骤6. 检查获得的油膜压力、部分油膜比例和温度场是否分别满足以下收敛准则：

步骤7. 检查载荷是否满足以下收敛准则：

式中，Fc为计算域中通过压力积分计算得到的油膜承载力，载荷收敛精度εF取1.0×10-5，若收敛则继续步骤8，若不收敛则用0.001的载荷松弛因子更新式(6)中的刚体中心膜厚并返回步骤3重新迭代计算.

步骤8. 基于式(12)和(13)计算得到用来表征胶合程度的温度安全系数分布和膜厚安全系数，并根据胶合判定准则判断该球轴承外滚道与滚动体表面是否发生胶合失效.

3 模型有效性验证

球轴承的滚道与滚动体之间的胶合判定准则中的温度安全系数与膜厚安全系数，主要取决滚动体与滚道表面接触温度与膜厚分布. 为验证所建模型的正确性，在与文献[17]相同工况下，对比本文中仿真与文献[17]乏油情况下油膜厚度与接触固体表面温度. 对比验证中，输入的主要参数为入口区供油膜厚为0.9 μm，最大Hertz接触应力为0.6 GPa，椭圆率为2.0，卷吸速度为1.13 m/s，滑滚比为1.0. 考虑到文献[17]使用的是牛顿流体，故本模型中等效黏度η*将使用环境黏度η代替.

图3 (a)给出了对比验证中的滚动体和外滚道表面温度. 2种处理得到的温度整体变化趋势一致，相较于文献[17]，本文中得到的外滚道和滚动体的最高温度T1,max和T2,max的相对误差仅分别为0.31%和0.48%. 由图3(b)可知，本模型的油膜厚度hf和部分油膜比例θ与文献结果整体变化趋势一致，最大误差出现在入口区域与Hertz接触区域的交界位置(约为x=-1.847a)，中心膜厚hf,central和最小膜厚hf,min的相对误差仅为1.27%和3.0%. 造成上述误差的原因或许是本模型利用FFT算法计算弹性变形，而文献中利用多重网格积分法计算弹性变形.

Fig. 3 Contact body temperature, film thickness and fraction film content comparisons between simulated and reference for oil starvation图3 乏油条件下仿真与文献接触体温度，膜厚和部分油膜比例结果对比

为对比仿真得到的膜厚与真实的点接触膜厚在二维空间上的分布特征，本研究使用TFM-150膜厚测试仪，进行了球盘接触润滑试验，加载载荷Q=50 N(Hertz压力pH=730 MPa)， TFM-150膜厚测试仪原理图及仪器参数参见文献[14]. 图4(a)和(c)所示为TFM-150膜厚测试仪测得的不同卷吸速度下油膜厚度干涉云图，图4(b)和(d)所示为本模型仿真得到的油膜厚度分布云图. 对比发现试验与仿真得到的膜厚分布特征相似，整体均呈现经典的“马蹄”状，在y方向两端有明显的“耳垂(Earlobe)”现象，在x方向的出口区出现油膜“颈缩(Necking)”现象，且“耳垂”和“颈缩”现象随卷吸速度增大而变得更为明显.

Fig. 4 Film thickness comparisons between experiment and simulation at entrainment speeds图4 不同卷吸速度下油膜厚度试验与仿真结果对比

综上，乏油条件下本文中模型的仿真与文献结果吻合较好，并且仿真得到的膜厚二维分布与试验测得膜厚干涉云图形状特征类似. 由此可见，本文中建立模型得到的温度与膜厚分布结果作为球轴承胶合判定准则的参数是可靠的.

4 仿真结果与讨论

由于轴承胶合往往发生在高速、重载和乏油的工况条件下，而轴承的离心效应会导致外滚道和滚动体之间的接触载荷大于与内滚道的接触载荷，故将重点研究不同入口油膜厚度、径向载荷和内圈转速对最大受载滚动体和外滚道之间的接触表面胶合失效的影响. 该轴承内圈旋转外圈固定，在轴承运转时施加的径向载荷Fr为25 kN，最大Hertz接触压力pH=3.73 GPa，内圈转速Ni为25 000 r/min. 外滚道与滚动体的弹性模量均为207 GPa，泊松比均为0.29，材料密度均为7 829 kg/m3.根据球轴承拟静力学分析，最大受载滚动体的接触载荷为Q=8657.1 N，润滑油卷吸速度ue=46.49 m/s，其他结构参数与润滑参数列于表1中. 若无特殊说明，下述仿真结果均在上述参数下获得.

表1 深沟球轴承6 011结构参数与润滑参数Table 1 Structure and lubrication parameters of deep groove ball bearing 6 011

4.1 入口油膜厚度的影响

图5 所示为不同入口油膜厚度hoil下温度安全系数SB和膜厚安全系数Λh在球轴承接触区的分布. 如图5(a)所示，随着hoil逐渐增大(乏油程度逐渐减弱)，SB<1.0的物理域ΩS的范围缩小[图5(a)]，这是由于供油量增加引起接触区的油膜增厚，而较厚的油膜能带走更多的热量. 由图5(b)可见，Λh<1.0的物理域ΩΛ的范围随着乏油程度减弱而缩减明显，而充分润滑条件下ΩΛ仅在出口区的油膜“颈缩”处有小范围分布. 图6给出了2种安全系数SB和Λh在计算域y=0截面的分布及其胶合区域.当轴承处于乏油润滑时，接触区存在胶合区域Ω[图6(a)和(b)子图]，而随着hoil增加，SB和Λh逐渐增大导致Ω的面积缩小，区域中心的安全系数增加，胶合程度减轻.在充分润滑状态下[图6(c)]，虽然接触中心的温度超过了发生胶合的临界温度(即ΩS存在)，但是在ΩS区域内滚动体与滚道没有发生接触(即ΩΛ不存在)，不会发生胶合. 因此，在对轴承进行胶合研究时，需要同时考虑温度与膜厚的综合作用. 上述现象也意味着在良好的润滑条件下滚动轴承不会轻易发生胶合.

Fig. 6 Effect of inlet oil film thickness on bearing scuffing图6 入口油膜厚度对轴承胶合的影响

4.2 径向载荷的影响

图7 给出了不同径向载荷Fr下温度安全系数SB和膜厚安全系数Λh在y=0截面的分布，其中图7(a)和(b)的子图表示接触区的放大示意图，图7(c)和(d)的子图表示胶合区域Ω. 如图7(a)和(b)所示，当Fr=17.5 kN时，SB和Λh均大于1.0，且交集为空集；当Fr=20 kN时，由于SB<1.0的物理域ΩS出现在接触中心位置，而Λh<1.0的物理域ΩΛ出现在油膜“颈缩”处，导致二者交集也为空集，这意味着球轴承在2种工况下均不会发生胶合，但是当Fr=20 kN时，由于在油膜“颈缩”处出现在ΩΛ出口区，可能会伴随微点蚀现象的产生[25]. 当Fr=22.5 kN时，接触区中心出现了SB和Λh小于1.0的交集区域Ω，且随着Fr继续增大，胶合区域面积扩大，接触中心位置出现安全系数小于0.9的红色区域，胶合程度进一步加剧，如图7(c)和(d)所示. 产生上述现象的原因是，过大的径向载荷使得大量润滑油被挤出接触区，导致润滑油动压效应减弱，油膜变薄进而引起Λh降低[图8(a)].同时，过大的载荷也会引起油膜压缩做功过多，导致外滚道表面温度升高，引起SB降低[图8(b)]. 因此减小轴承的载荷是提高轴承抗胶合承载能力的有效途径.

Fig. 7 Effect of the radial load on ball bearing scuffing图7 径向载荷对球轴承胶合的影响

Fig. 8 Effect of radial load on temperature and film thickness safety factor图8 径向载荷对温度和膜厚安全系数的影响

此外，本研究中仿真发现球轴承发生胶合的最大接触应力为3.61 GPa [图7(c)]，而文献[26]在高速轴承钢滑滚试验中发现与球轴承接触类型一致的椭圆接触摩擦副表面发生胶合的极限接触应力为3.5 GPa. 可以看出本研究的仿真结果与试验观测到的发生胶合的极限应力是大致吻合的，产生上述极限应力差异原因是文献中滑滚摩擦副的滑滚比为0.15，而本研究中的滑滚比仅为0.05 (更符合球轴承实际情况)，过大的滑滚比会导致轴承表面温升更高，在更小的极限应力下发生胶合. 这进一步说明了本文中模型的合理性.

4.3 内圈转速的影响

图9 (a~d)给出不同内圈转速下温度安全系数SB和膜厚安全系数Λh在y=0截面分布. 内圈转速为17 500 r/min时[图9(a)]，ΩS和ΩΛ的交集为空集，未发生胶合，但是出口区存在发生微点蚀的可能. 当转速升高至20 000 r/min以上[图9(b~d)]，接触区开始出现胶合区域Ω，随着转速升高，胶合面积逐渐扩大，胶合程度逐渐加剧. 这是由于当内圈转速升高时，一方面由于离心力增大引起的接触载荷增加和油膜剪切作用增强(卷吸速度增大引起)，导致接触区温度升高，降低了接触区的温度安全系数SB[图10(a)]；另一方面离心效应引起的接触载荷增加也会导致接触区的膜厚下降，进而降低了膜厚安全系数Λh[图10(b)]. 对比图10(a)和(b)可以发现，当内圈转速由17 500 r/min升高至25 000 r/min，最小SB降低了8.3%，而接触中心和最小Λh的相对降幅分别为4.95%和4.65%，可见，改变内圈转速对SB的影响大于Λh，所以，高转速工况下的轴承温升过高是其胶合的主要原因.

Fig. 9 Effect of the inner ring speeds on ball bearing scuffing图9 内圈转速对球轴承胶合的影响

Fig. 10 Effect of inner ring speed on temperature and film thickness safety factor图10 内圈转速对温度和膜厚安全系数的影响

此外，文献[21]已发现在最大接触应力为3.52 GPa下，当卷吸速度ue为32.9 m/s时，椭圆接触摩擦副表面不会胶合；而卷吸速度ue为43.87 m/s时，摩擦副表面发生了胶合. 本研究仿真发现当轴承载荷为25 kN时(最大接触应力3.73 GPa)卷吸速度为32.54 m/s时，轴承没有发生胶合[图9(a)]，而卷吸速度达到41.84 m/s时，接触区出现明显的胶合区域[图9(c)]. 仿真与试验结果的高度吻合，也佐证了本研究中所提出的球轴承胶合准则的合理性.

5 结论

a. 建立了基于热弹流理论的球轴承胶合分析模型，通过与文献和试验结果对比，证明了该模型的有效性.

b. 提出了1种可考虑乏油润滑影响的球轴承胶合判定方法. 该方法对温度安全系数和膜厚安全系数小于1.0的区域求交集，据此可判定球轴承滚道与滚动体表面的胶合区域以及该区域的胶合程度.

c. 研究了入口油膜厚度对球轴承胶合失效的影响，发现入口油膜厚度主要通过影响球轴承滚动体和滚道之间的接触区的膜厚安全系数，进而影响球轴承的抗胶合承载能力，而良好的润滑条件能降低球轴承胶合失效的风险.

d. 研究了径向载荷对球轴承胶合失效的影响，发现径向载荷能影响球轴承滚动体和滚道之间接触区的温度安全系数和膜厚安全系数，过大的径向载荷会造成球轴承胶合失效.

e. 研究了内圈转速对球轴承胶合失效的影响，发现过高的内圈转速会降低球轴承滚动体和滚道之间的接触区的温度安全系数，导致球轴承的抗胶合承载能力降低.