基于新型趋近律的PMSM 模糊滑模控制

齐歌， 黄文豪， 马丁

（1.郑州大学电气与信息工程学院， 河南郑州 450066；2.河南工业大学人工智能与大数据学院， 河南郑州 450001）

0 前言

永磁同步电机 （Permanent Magnet Synchronous Motor， PMSM） 具有结构简单、 效率高、 损耗小等特点， 在飞行器电动舵机、 机器人和轨道交通等工业领域应用广泛［1－3］。 矢量控制方法是永磁同步电动机中常用的控制方法， 该方法能够将永磁同步电动机看做直流电机进行控制。 由于大型复杂系统都伴随着时变、 非线性和滞后等缺点， 所以传统的PID 控制已不能满足工业生产中复杂系统的控制要求， 因此， 诸多学者致力于研究PID 控制的改进策略。 目前， 先进的控制策略主要有： 自适应控制［4］、 滑模控制［5］、 模糊控制［6］、 神经网络控制［7］等， 其主要思想是通过控制定子绕组电流幅值和转子永磁磁动势与定子磁动势之间的角度， 对电压、 电流进行坐标变换， 实现磁势变量之间的解耦， 从而模拟直流电机［8］。 其中滑模控制具有响应快速、 鲁棒性好等优点， 但由于滑模结构固有的开关现象、 系统惯性、 切换面的随机性、 系统本身的离散性等原因， 使系统产生抖振现象。 抖振会影响系统的稳态性， 找到有效削弱抖振的方法是目前滑模控制研究的热点。 高为炳、 程勉［9］率先提出趋近律概念， 削弱了滑模运动的抖振， 改善了系统的动态性能。 近年来， 为了使滑模控制获得更好的控制效果， 众多学者结合趋近律和其他控制算法进行了改进， 如文献［10］提出在幂次趋近律的基础上加入指数项， 并将系统状态变量引入到幂次项指数中， 使趋近律与系统状态关联， 此法解决了幂次趋近律远离滑模面时趋进速度慢的问题， 但存在参数较多、 参数调节较为复杂等问题。 文献［11］引入系统状态变量和滑模函数幂次项， 以切换函数的绝对值为界， 使趋近律可以表示为2 种不同形式， 能够有效地抑制滑模的固有抖振。 文献［12］提出一种将趋近速度与系统状态误差和滑模切换函数相关联的新型趋近律， 不仅加快了趋近速度并且有效抑制了传统滑模控制的固有抖振。 文献［13］通过将RBF 神经网络与滑模控制有效结合， 利用RBF 神经网络自适应逼近的特点， 能够有效降低切换增益， 削弱抖振。 文献［14］结合反步设计与滑模控制， 并引入自适应机制， 去除了对扰动及系统参数不确定性上界信息的先验要求。 文献［15］采用模糊控制方法， 通过设计模糊滑模控制器，并采用自适应策略估计滑模系统参数的最优值， 有效减小了跟踪误差， 但存在模糊规则较为简单、 参数估计不够精确等问题。

综上所述， 本文作者提出一种改进的指数趋近律， 借助模糊控制器对所设计的趋近律参数进行动态优化； 并采用扰动观测器估计等效扰动， 改善系统的动态性能与稳态性能， 设计出PMSM 滑模转速控制系统模型以验证方案的可行性与有效性。

1 PMSM 数学模型

永磁同步电机是一个非线性、 高耦合的系统， 电磁关系十分复杂， 建立精确的数学模型比较困难。 为了简化分析过程， 在不影响控制性能的前提下忽略一些影响较小的参数， 假设： （1） 空间磁场呈正弦分布； （2） 忽略定子铁芯饱和， 认为磁路线性， 电感参数不变； （3） 不计磁滞和涡流损耗的影响； （4）转子上无阻尼绕组。

通常采用id＝0 的永磁同步电机转子磁场控制，转矩的大小只与定子电流幅值成正比， 实现了永磁同步电机的解耦控制。 则永磁同步电机在d－q 轴下数学模型如下：

（1） 定子电压方程

式中：ud、uq分别为d、 q 轴电压；id、iq分别为d、 q 轴电流；ωe为转子的电角速度；R为定子电枢绕组电阻。

（2） 定子磁链方程

式中：Ld、Lq分别为d、 q 轴的电感， 在表贴式PMSM 中一般认为Ld＝Lq；φf为永磁体磁链， 为常数。

（3） 电磁转矩方程

式中：B为黏性摩擦系数；J为转动惯量；TL为负载转矩。

2 新型指数趋近律的设计与验证

2.1 趋近律设计

引理1［16］： 空间轨迹中的全部运动点最终都能到达并稳定运行于滑模切换面， 是滑模运动的理想运行模式。 在运动点到达切换函数s（x）＝0 两侧时， 滑动模态的存在必须满足：

滑模控制实质上是一种非线性控制。 滑模控制的性能优劣取决于切换函数的选取和滑动模态趋近律，其中趋近律的选取影响滑模可达性。 根据滑模控制理论的基本原理， 在滑动相位中， 系统的状态空间变量从任意未知的初始状态在有限时间内到达滑动面， 必须满足滑模式（7） 的可达性条件。 因此， 可以设计各种趋近律函数来保证正常运动阶段的质量。

较为常用的指数趋近律为

式中： sign（s）为开关函数，s＞0 时值为1，s＝0 时值为0，s＜0 时值为－1；ε为趋近速率；k为趋近系数。

ε和k的取值大小决定趋近速度， 但是过大的ε和k必定导致系统的抖振程度增加， 所以合理选取这2 个系数对于系统既有效削弱抖振又加快趋近运动速度尤为重要。

为了减少传统指数趋近律带来的抖振， 加快收敛的速度， 作者提出了一种新的基于模糊控制的趋近律。 基于指数趋近律引入状态变量x， 并结合幂次趋近律的特点， 设计一种新型指数趋近律。

根据李雅普诺夫函数的证明可知此系统稳定。

2.2 趋近律控制性能分析

在一个典型系统中验证和分析新趋近律的性能。对于典型的SISO 单输入单输出系统有以下公式：

表1 趋近律参数选取Tab.1 Parameter selection of reaching law

图1 显示了新型趋近律在相位轨迹和控制输入方面与传统指数趋近律相比的优势。 仿真结果表明： 新型趋近律优先进入滑模面， 可以有效地减弱抖振。

图1 控制性能分析Fig.1 Control performance analysis： （a） control input；（b） phase trajectory

3 模糊控制器和NSMDO 的设计

3.1 模糊控制器设计

由于滑模趋近律中的ε和k决定了滑模控制系统稳态误差和响应速度， 合理地选择ε和k的值， 可以使系统拥有较好的控制性能。 利用模糊控制算法的原理， 设计一个二维模糊控制器， 以系统变量x和其导数x·作为模糊控制的2 个输入变量。 选择变量x和x·的隶属函数类型为高斯函数， 模糊控制的输出变量分别为Δε和Δk， 隶属函数选择三角函数， 论域分别为（－6， 6） 和（0， 30）， 如图2、 3 所示。 通过经验方法和仿真调试得到模糊控制规则。

图2 输入变量x 和x·的隶属函数Fig.2 Input variables x and x·membership function

图3 输出变量Δk 和Δε 的隶属函数Fig.3 Output variable Δk and Δε membership function

在图2、 3 中， NB 代表负大， NM 代表负中， NS代表负小， ZO 代表零， PB 代表正大， PM 代表正中，PS 代表正小。

根据式（9）， 结合所设计的模糊规则， 模糊滑模 控 制 器 （ New Fuzzy Sliding Mode Controller，NFSMC） 为

滑模控制的实现过程如图4 所示。

3.2 NSMDO 设计

根据式（16） 和Te＝1.5pλfiq， 在考虑系统建模和负载转矩变化引起的扰动时， 新的运动方程为

式中：u为要设计的控制律； Δa、 Δg、 Δh为电机的参数变化；d为参数与负载变化引起的匹配扰动。 由于这些扰动总是变化缓慢且有界， 可以认为d·＝0。 根据文献［17］， 采用饱和函数代替符号函数。当饱和函数使系统收敛于边界层时， 使用连续函数代替符号函数可以有效地削弱抖振， 使系统输出更平滑。

新型滑模扰动观测器（New Sliding Mode Disturb⁃ance Observer， NSMDO） 满足：

式中：ρ为边界层厚度；z1、z2分别是ωm、d的观测值；α1、α2、α3和k是待设计的参数， 均为正常数。 观测误差：

式中：e1＝z1－ωm，e2＝z2－d分别为速度和扰动的观测误差。

滑动面选取s＝e1， 用李雅普诺夫函数V＝1/2s2证明该滑模面的稳定性。

扰动观测器的原理框图如图5 所示。

图5 扰动观测器原理框图Fig.5 Principle block diagram of disturbance observation period

通过扰动观测器得到系统扰动d， 并将它前馈到SMC。 结合公式（16）， 控制器的输出为

其中：ωm为实际转速；u为控制器输出iq。 由式（22） 可知， 控制器的输出与趋近律参数的选择、 模糊控制输出参数的选择和系统的扰动有关。 通过合理设置参数可以获得较好的控制效果。 此外， 在趋近律中加入速度偏差x作为变量， 可以加快趋近速度， 减少抖振。 至此， 永磁同步电机新型模糊滑模调速控制器的设计完成。

4 仿真与讨论

通过Simulink 平台构建基于扰动观测永磁同步电机新型趋近律模糊滑模控制的PMSM 矢量控制仿真模型如图6 所示， 验证算法的合理性和有效性， 并与传统指数趋近律滑模控制系统进行对比。 在仿真实验中， 永磁同步电动机的参数设置如表2 所示。

图6 永磁同步电机调速系统框图Fig.6 Block diagram of PMSM speed－regulation system

表2 永磁同步电动机模型参数Tab.2 Model parameters of PMSM

对于新型模糊滑模控制器， 应从小到大调整参数α和β， 直到系统出现明显抖振， 这是其上限。 此时减小参数以达到抑制抖振和兼顾快速性的目的。 新型扰动观测器的收敛速度由α1和α2决定。 首先选择较大的值， 然后逐渐减小， 直到没有明显的抖振现象。α3和k决定扰动观测周期的误差趋于零。 仿真实验参数取值如表3 所示。

表3 仿真实验参数Tab.3 Parameters of simulation experiment

4.1 空载实验

电机以空载800 r/min 启动， 0.2 s 加速到1 000 r/min， 仿真时间为0.4 s。 仿真结果如图7 所示。 可以看出： 与传统的指数趋近律控制器相比， 新型趋近律具有更快的启动响应， 并且在速度突变时无超调。然而， 新型趋近律在启动时有很大的超调， 通过添加模糊控制器， 有效消除了启动时的抖振和转速突变时的超调， 可以保证系统快速到达滑模面。

图7 空载转速波形对比Fig.7 Speed waveform comparison with no load

4.2 负载实验

实验模拟时间为0.4 s， 在0.2 s 时对系统施加10 N·m 的负载， 0.3 s 时负载降至0， 速度响应如图8 所示。 可以看出： 当0.2 s 突然增加10 N·m 负载时， 传统指数趋近律控制（SMC） 下的速度波动更明显， 动态稳定时间更长， 相对而言， 新型趋近律（NSMC） 和加入模糊控制器的新型趋近律在相同条件下转速波动更小， 稳定时间更短。 图9 显示了将干扰观测器NSMDO 添加到模糊滑模新型趋近律前后对应的速度。 图10 所示为各趋近律下的转矩响应。 可以看出： SMC 的转矩响应起动和变转速时超调大、稳态波动大； NFSMC 的转矩响应消除了起动超调，但稳态波动依然很大且转速变化时响应时间慢； NF⁃SMC－NSMDO 的转矩响应消除了起动和变转速的超调， 提高了响应速度。

图8 负载转速波形对比Fig.8 Load speed waveform comparison

图9 NSMDO 速度观测器Fig.9 NSMDO speed observer

图10 转矩响应Fig.10 Torque response： （a） SMC； （b） NFSMC；（c） NFSMC－NSMDO

5 结论

文中提出了一种永磁同步电机转速控制系统动态性能优化的模糊滑模新型趋近律。 通过MATLAB/Simulink 建立仿真模型， 证明所提出的结合模糊控制的新型滑模趋近律在各方面都优于传统的指数趋近律。 为了减小干扰对控制效果的影响， 提出了一种新型滑模扰动观测器（NSMDO） 来观察控制系统的干扰并对其进行补偿。 仿真结果验证了该方法的可行性。 结果表明： 所设计的方法能够获得满意的性能，具有一定的优势和实际应用价值。