复变函数与积分变换的渐进式教学研究

摘 要：文章主要通过复合闭路定理、柯西积分公式、留数定理三种方法去处理几类积分路径内含有奇点的积分问题，并对它们的适用条件进行了比较.在教学中，有助于对这三个知识点的引入与讲解.

关键词：奇点；复合闭路定理；柯西积分公式；留数定理

Research on Progressive Teaching of Complex Function and

Integral Transformation

—Taking the Solution of Complex Integral with Singularities as an Example

Chi Jiancheng

Department of Basics，Anhui Sanlian University AnhuiHefei 230601

Abstract：The article mainly deals with several types of singular point problems with singularities in the integration path through three methods：compound closed circuit theorem，Cauchy integral formula，and residue theorem，and compares their applicable conditions.In teaching，it is helpful to introduce and explain these three knowledge points.

Keywords：Singular point；Compound Closed Circuit Theorem；Cauchy integral formula；Residue theorem

1 概述与预备定理

作为工科尤其是电气专业基础课程的复变函数，其内部的知识点与高等数学课程有着较为密切的联系，如解析函数导数与二元实函数偏导数的联系、闭曲线上的复积分与牛顿莱布尼茨公式的关系等.目前，复变函数与积分变换的教学中，大家对教学方法和新的教学辅助工具的引入研究较为常见，可见参考文献［5］—［8］，该文章主要在渐进式教学前提下，以含奇点问题的积分作为研究对象进行讨论.含奇点的闭曲线积分问题是复变函数课程中的重点问题，文章从复合闭路定理、柯西积分公式、留数理论三种方法给出了该类问题的解题思路，并对相应的区别与优劣给出了比较，从而深化了该部分的教学效果.

下面依次给出柯西积分定理、复合闭路定理、柯西积分公式、高阶导数公式、留数定理相关的概念与定理，分别对应于定理1.1、定理1.2、定理1.3、定理1.4、定理1.5.

定理1.1［1］ ：如果复变函数f（z）在某单连通区域D内部每一点都是解析的，在D内任作一条简单闭曲线C，那么∮C f（z）dz=0.

定理1.2［2］ ：设区域D为多连通区域，外圈边界为C，内圈边界为C 1 ，C 2 ，C 3 ，…，C n .如果复变函数f（z）在多连通区域D内和边界上都是解析的，则

∮C f（z）dz=∮C1 f（z）dz+∮C2 f（z）dz+…+∮Cn f（z）dz.

定理1.3［1］ ：如果复变函数f（z）在某单连通区域D内部每一点都是解析的，且f（z）在D内及其边界C上皆是连续的，在D内任取一点z 0 ，有f（z 0 ）=12πi∮C f（z）z-z 0 dz.

定理1.4［1］ ：如果复变函数f（z）在某单连通区域D内部每一点都是解析的，且f（z）在D内及其边界C上皆是连续的，在D内任取一点z 0 ，有f n （z 0 ）=n！2πi∮C f（z）（z-z 0 ） n+1 dz，其中n=1，2，….

定理1.5［4］ ：如果復变函数f（z）在某区域D内部除去n个孤立奇点z 1 ，z 2 ，…，z n 外的每一点都是解析的，在D内取一条包含z 1 ，z 2 ，…，z n 的简单正向闭曲线C，则

∮C f（z）dz=2πi{Res［f（z），z 1 ］+Res［f（z），z 2 ］+…+Res［f（z），z n ］}.

另外，关于圆周的复积分，有如下结论：

定理1.6［1］ ：设以z 0 为圆心，R为半径的圆周为C，n为整数，则∮C 1（z-z 0 ） n dz=2πi，n=1

0，n≠1.

关于极点处的留数，有如下结论：

定理1.7［3］ ：若z 0 是复变函数f（z）的n阶极点，那么留数Res［f（z），z 0 ］=lim z→z 0  d n-1 dz n-1 ［（z-z 0 ） n f（z）］（n-1）！.

特别地，若n=1，留数Res［f（z），z 0 ］=lim z→z 0  （z-z 0 ）f（z）.

2 应用举例

例题1：求值：∮C 2z（z-1）（z+1）dz，其中简单闭曲线C内部含有-1，0和1三个点.

解法1（复合闭路定理）：首先，在C的内部，以-1，0和1为圆心作三个相互外离的小圆C 1 ，C 2 和C 3 ，从而复变函数2z（z-1）（z+1）在C的内部，C 1 ，C 2 和C 3 的外部，这个多连通区域内处处解析，从而，

∮C 2z（z-1）（z+1）dz=∮C 1z（z-1）-1z（z+1）dz

=12∮C 1z-1-1z-1z-1z+1dz

=12∮C 1z-1-2z+1z+1dz

考虑到2z（z-1）（z+1）在C 1 ，C 2 和C 3 每个圆内仅有一个奇点，由定理1.1、定理1.2和定理1.6知，

12∮C 1z-1-2z+1z+1dz=12∮C1 1z-1dz-2∮C2 1zdz+∮C3 1z+1dz=12［2πi-2·2πi+2πi］=0.

解法2（柯西积分公式）：类似于解法1，在C的内部，以-1，0和1为圆心作三个相互外离的小圆C 1 ，C 2 和C 3 ，从而复变函数2z（z-1）（z+1）在C的内部，C 1 ，C 2 和C 3 的外部，这个多连通区域内处处解析，由定理1.2和定理1.3知，

∮C 2z（z-1）（z+1）dz=∮C1 2z（z-1）z+1dz+∮C2 2（z-1）（z+1）zdz+∮C3 2z（z+1）z-1dz

=2πi2z（z-1）| z=-1 +2πi2（z-1）（z+1）| z=0 +2πi2z（z+1）| z=1

=2πi-4πi+2πi

=0.

解法3（留数定理）：复变函数2z（z-1）（z+1）在C的内部的孤立奇点是-1，0和1三个点，而且均为一阶极点，由定理1.7，有Res2z（z-1）（z+1），-1=lim z→-1 （z+1）2z（z-1）（z+1）=1，

Res［2z（z-1）（z+1），0］=lim z→0 z2z（z-1）（z+1）=-2，Res2z（z-1）（z+1），1=lim z→1 （z-1）2z（z-1）（z+1）=1，

再由定理1.5知，

∮C 2z（z-1）（z+1）dz=2πiRes2z（z-1）（z+1），-1+Res2z（z-1）（z+1），0+Res2z（z-1）（z+1），1

=2πi（1-2+1）=0.

例1的三种解法表明，对于简单闭曲线内部含奇点问题，常可采用复合闭路定理、柯西积分公式或者高阶导数公式、留数定理来进行解决.

例题2：求值：∮C coszz（z-1） 2 dz，其中简单闭曲线C内部含有0和1两个点.

解法1（柯西积分公式）：在C的內部，以0和1为圆心作两个外离的小圆C 1 和C 2 ，从而复变函数coszz（z-1） 2 在C的内部，C 1 和C 2 的外部，这个多连通区域内处处解析，由定理1.2、定理1.3和定理1.4知，

∮C coszz（z-1） 2 dz=∮C1 cosz（z-1） 2 zdz+∮C2 coszz（z-1） 2 dz=2πicosz（z-1） 2 | z=0 +2πi1！（coszz）′| z=1 =2πi（1-sin1-cos1）.

解法2（留数定理）：复变函数coszz（z-1） 2 在C的内部的孤立奇点是0和1两个点，其中0为一阶极点，1为二阶极点，由定理1.7，有Rescoszz（z-1） 2 ，0=lim z→0 zcoszz（z-1） 2 =1，Rescoszz（z-1） 2 ，1=1（2-1）！lim z→1 （z-1）2 coszz（z-1） 2 ′=-sin1-cos1，再由定理1.5知，

∮C coszz（z-1） 2 dz=2πiRescoszz（z-1） 2 ，0+Rescoszz（z-1） 2 ，1=2πi（1-sin1-cos1）.

在本例中，若只用復合闭路定理，在求内圆积分时，因为分子中含有cosz，从而定理1.6不再适用，此方法在本题有局限性.

例题3：求值：∮|z-π2|=1 z 2 coszdz.

解：（留数定理）复变函数z 2 cosz在简单闭曲线|z-π2|=1的内部，仅有π2一个孤立奇点，而且为一阶极点，由定理1.7，有Resz 2 cosz，π2=lim z→π2 （z-π2）z 2 cosz=lim z→π2 z 3 -π2z 2 ）′（cosz）′=-π 2 4，再由定理1.5知，∮|z-π2|=1 z 2 coszdz=2πiResz 2 cosz，π2=-π 3 i2.

在本例中，因为分母的形式与柯西积分公式适用条件有差异，所以还需要进行等价代换，处理起来相对较为复杂，这也是柯西积分公式在此问题中的局限性.本题也不适用于单纯的复合闭路定理方法来进行处理.

结语

复变函数与积分变换课程教学中，知识点顺序是复合闭路定理在前，柯西积分公式在中，留数定理在后.在处理含有奇点的积分问题时，由上述三个例题，通过比较它们三个方法的优劣，进而循序渐进地对知识点进行讲解，有助于学生体会该课程由特殊到一般，由简单到复杂的学习过程，激发学生探索兴趣.

参考文献：

［1］李红，谢松法.复变函数与积分变换（第五版）［M］.北京：高等教育出版社，2018.

［2］李叶舟，刘文军.复变函数及其应用［M］.北京：北京邮电大学出版社，2020.

［3］张建业.复变函数与积分变换［M］.哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2022.

［4］钟玉泉.复变函数论［M］.第4版.北京：高等教育出版社，2013.

［5］王国栋，卓春英.Mooc+翻转课课堂视域下工程数学课程教学模式研究［J］.北京城市学院学报，2016（5）：4346.

［6］华杰，董贺，汪玉海，等.复变函数与积分变换课程教学方法［J］.高师理科学刊，2022，42（9）：6769+74.

［7］张雪峰，张英博.Ｍatlab在复变函数中辅助教学作用［J］.曲阜师范大学学报，2020（4）：117121.

［8］李景和，周永芳，李艳玲，等.在复变函数教学中加强对解题方法的归纳和总结［J］.高师理科学刊，2022（9）：7074.

基金项目：安徽省教育厅教研重点项目：基于竞赛—创新机制下公共数学课程教学综合改革与实践研究（编号：2022jyxm481）

作者简介：池建成（1982— ），男，汉族，硕士，讲师，研究方向：群与图。