带辟谣机制的SICR 网络谣言传播模型

官永秋，卢友军，魏嘉银，余江浩，吴 森，罗莎莎

(贵州民族大学数据科学与信息工程学院，贵州 贵阳 550025)

互联网技术和社交软件的快速发展使得大量用户可以通过社交平台发布、评论或转发信息[1]。由于网络的开放性以及部分用户本身知识有限，难以辨别信息的真实性与可靠性，会对社交网络上未经证实的谣言进行传播[2]。在某些政治或商业利益的驱使下，谣言的肆意传播可能会对国家安全、经济繁荣、社会稳定造成重大影响。面对新媒体技术的突飞猛进，高校越来越多地采用线上授课，而这种方式也面临一定的网络舆情压力[3]。因此，探索谣言传播机制，分析谣言传播动力学性质，为相关部门制定有效的谣言控制策略以减少谣言传播带来的不利影响尤为重要。

考虑到谣言传播与流行病传播之间的相似性特征，Daley和Kendal两人[4]通过对流行病与谣言的对比研究，将种群分为未知者、传播者和免疫者，提出了DK 谣言传播模型。此后，Maki 等人[5]改进了DK模型，提出了MK 模型。DK 模型假定传播者与传播者接触时两者都变为免疫者，而MK 模型假定只有初始传播者变为免疫者。然而，DK 和MK 模型都忽略了社交网络的拓扑结构特征。复杂网络的兴起在一定程度上推动了谣言传播的研究。例如，考虑现实复杂系统具有小世界和无标度特性，Zanette等人[6]研究了小世界网络上的谣言传播动力学行为。Moreno等人[7]研究了无标度网络上的谣言传播动力学行为。根据其网络节点度分布的不同，网络又可分为均匀网络和非均匀网络。为此，Zhang 等人[8,9]研究了均匀网络和非均匀网络上的传播动力学性质。上述研究表明，网络的均匀性和非均匀性结构对谣言传播具有重要影响。

为更好的理解和控制谣言传播，更精确地描述谣言传播动力学，许多学者考虑了不同谣言传播机制[10-14]。例如，Wang 等人[10]通过引入无知节点和扩散节点之间的信任机制，提出了一种具有信任机制的谣言传播模型。Salma 等人[11]考虑了某些人在谣言传播过程中并不会立即成为传播者，而是处于潜伏状态，提出了一个具有潜伏机制的谣言传播模型。Ling 等人[12]考虑谣言内容的吸引力和模糊性，建立了具有犹豫机制的谣言传播模型。Wang 等人[13]在经典谣言传播模型中考虑了自我净化机制，分析了模型中传播阈值与自我净化水平的相关性，研究了自净水平和遗忘率对关键指标的影响。Zhou 等人[14]在SIR 模型的基础上引入了和谐机制，和谐机制和传播机制的本质区别在于，传播者无论他们认为谣言是真是假都会传播，而和谐机制是需要相信谣言是真的，才能继续传播，否则他们不会传播谣言。上述研究表明，不同谣言传播机制对谣言传播动力学行为具有不同的影响。

受上述研究工作的启发，考虑到每个人的个人知识背景差异，在谣言传播过程中知道真相的人会对谣言进行辟谣、种群动态移入和移出以及网络的均匀性等特征。本文引入了辟谣机制，在SIR 模型的基础上提出了新的具有辟谣机制的SICR 谣言传播模型。围绕该模型的平衡点存在性、基本再生数和平衡点处的稳定性进行分析。

1 SICR 谣言传播模型描述

在SICR 谣言传播模型中，未知者I 表示从未听到过谣言的人，传播者S 表示听到谣言并积极传播谣言的人，辟谣者C 表示知道真相并对谣言进行辟谣的人，免疫者R表示听到谣言但不传播谣言的人。SICR 谣言传播模型的传播规则如下：

设I(t)、S(t)、C(t)、R(t)分别表示在t 时刻未知者、传播者、辟谣者、免疫者种群密度，N(t)表示t时刻总的人群密度，并且满足关系I(t)＋S(t)＋C(t)＋R(t)＝N (t)。SICR 谣言传播模型的传播规则示意图如图1 所示。

图1 SICR 谣言传播规则示意图

2 平衡点和基本再生数

在谣言传播中，基本再生数是判断谣言是否发生爆发性传播的一个重要控制参数。研究系统稳定性主要是研究模型在平衡点处的稳定性。接下来，首先分析模型的平衡点存在性和基本再生数。

2.1 不变集与平衡点存在性

由(1)式可知，

通过常数变易法可得

对N(t)求极限，有

可以得到SICR 模型的正向不变集为

其中，

2.2 基本再生数

基本再生数R0是指一个传播者在其平均传播周期内所能传播的平均人数。若R0＞1，则谣言不会传播；若R0＜1，则谣言将爆发性传播，R0＝1 是谣言传播的一个重要阈值参数。下面，结合平衡点E0和下一代矩阵法[15]计算基本再生数R0。

其中，

由(7)式和(8)式可得，在平衡点E0处的雅可比矩阵分别为

于是，结合(9)式和(10)式有

由(12)式可知，特征方程的2 个特征根分别为

根据下一代矩阵法，可得基本再生数

3 稳定性分析

稳定性是谣言传播动力学系统的一个重要特性，一个稳定的系统是分析谣言是否可控的前提。由于系统的稳定性是相对于平衡点而言的，接下来我们利用Routh-Hurwitz 准则[16]分别分析SICR谣言传播模型在平衡E0和E1处的稳定性。

利用线性化方法，将系统(1)线性化，可得雅可比矩阵为

其中，

定理1 当R0＜1 且时，E0在内局部渐近稳定。

证明 根据(15)式可以得到系统(1)在E0处的雅可比矩阵为

由(17)式可知，矩阵J（E0）的特征值分别为

当R0＜1 且时，所有特征值均有负实部，根据Routh-Hurwitz 判据可知，SICR 谣言传播模型在E0处是局部渐近稳定的。

证明 根据(15)式，可以得到系统(1)在E1处的雅可比矩阵为

根据特征方程可得

由(29)式可知，其特征方程为

特征方程系数分别为

由此可得

定理3 当R0＜1 时，E0在内是全局渐近稳定的，反之则不稳定。

证明 针对系统(1)，构造Lyapunov 函数形式如下

对等式(21)两边求导有

其中，

在模型的无谣言平衡点E0处，可知人群中未知者人群个体的占比不超过I0，即

将(24)式带入(23)式并结合基本再生数R0，可以得到

根据Lyapunov 稳定性理论可知，要使系统(1)在平衡点E0处全局渐近稳定，只需要(26)式小于等于零，即

要使不等式(27)成立，只需R0＜1。对于(27)式，当R0＜1 时，有dV(t)/dt≤0，当且仅当S(t)=0 时，有dV(t)/dt=0。因此，根据Lyapunov 稳定性定理，SICR 谣言传播模型在E0处是全局渐近稳定的。

4 数值仿真分析

为验证理论结果的正确性，在这一节进行数值仿真实验分析。首先，建立一个节点数N=104，平均度k=10 的均匀网络，网络中的每个节点代表一个个体，每个个体处于未知者、传播者、辟谣者和免疫者状态之一。设初始时刻S(0)=10/N，C(0)=10/N，R(0)=0 和I(0)=1-S(0)-C(0)-R(0)。接下来分别针对SICR 模型在两个平衡点处的局部稳定性以及状态改变参数、初始种群对谣言传播的影响进行数值仿真分析。

4.1 模型在平衡点处的局部稳定性分析

图2 给出了SICR 模型在平衡点E0处的局部渐近稳定性情况。图2中的参数设置为。由式(14)有R0≈0.421，SICR模型的理论平衡点和仿真平衡点均为E1=(0.17，0，0，0.83)且。结合图2和定理1 可知SICR 模型在E0处局部渐近稳定。

图2 SICR 模型在E0 处的局部稳定性

图3 给出了SICR 模型在平衡点E1处的局部渐近稳定性情况。图5 中参数设置为。由式(14)有，通过简单计算SICR 模型的理论平衡点和仿真平衡点均为。结合图3 和定理4 可知SICR模型在E1处局部渐近稳定。

图3 SICR 模型在E1 处的局部稳定性

4.2 状态改变参数对谣言传播的影响

图4 不同传播率下传播者的人群密度

图5 不同辟谣率下传播者的人群密度

图6 不同遗忘率下的传播者人群密度

4.3 群体初始值对谣言传播的影响

图7 显示了不同传播者初始值对传播者人群密度的影响。在图7中，保持上述参数不变。初始者密度分别设置为S(0)=0.01，0.02，0.03，0.04。从图7 可以看出，初始值越大，传播者人群密度越大，但对谣言达到顶峰和谣言消失的时间影响不大。

图7 传播者初始值对传播者人群密度影响

图8 显示了不同辟谣者初始值对传播者人群密度的影响。在图8 中，保持上述参数不变。辟谣者初始密度分别为C(0)=0.01，0.03，0.05，0.07。从图8 中可以看出，当谣言爆发时，辟谣者的人群密度越高，传播者的人群密度越低，说明辟谣者对谣言传播有抑制作用，但是整体的变化率并不是很大。

图8 辟谣者初始值对传播者人群密度影响

5 结语

本文考虑了辟谣机制对谣言传播的影响，在SIR模型的基础上建立了SICR 谣言传播模型。计算了该模型的无谣言平衡点和谣言盛行平衡点，分析了两个平衡点处的局部渐近稳定条件以及无谣言平衡点的全局渐近稳定性条件。计算了基本再生数R0，得出了基本再生数与平均度有关。通过仿真验证了理论结果的正确性，得出了抑制谣言传播的有效方式，即在谣言爆发前可以通过控制初始人群密度来抑制谣言的传播，当谣言爆发后，可以加大政府或者官方媒体的辟谣力度，加强个人的辨别能力和防范意识，增加辟谣率，控制传播率和遗忘率来抑制谣言传播。