浅析声波垂直入射时反射和透射现象的医学应用

摘 要：《医用物理学》是医学类院校的一门公共基础课程。目前各医学类院校所选用教材中均包括声波及其医学应用的教学内容，但绝大多数教材中关于声波在两种介质表面的反射、透射现象的描述缺少必要的过程性推导，而是直接給出了结论［14］，导致大多数学生在学习这部分知识内容时理解困难，进而影响知识内容的理解与掌握。本文针对这一情况，以平面简谐波为例，对声波垂直入射到两种介质表面时的规律进行了分析讨论。

关键词：反射；透射；声压；声强

The Medical Application of Reflection and

Transmission Phenomena of Sound Waves When Vertically Incident

Li Na

School of science，Ning Xia medical university NingXiaYinChuan 750000

Abstract：Medical Physics is a public basic course in medical colleges.The course focuses on the physics methods of basic medical and clinical research and application，and is based on new technologies and knowledge，laying the necessary physics foundation for medical students' subsequent course learning and future career in healthcare.At present，the teaching materials selected by various medical colleges and universities all include the teaching content of sound waves and their medical applications.However，the vast majority of textbooks lack necessary procedural derivation for the description of the reflection and transmission phenomena of sound waves on the surfaces of two media，and instead directly provide conclusions，which leads to difficulties for most students to understand and master this knowledge content，thereby affecting the understanding and mastery of the knowledge content.This article takes a plane harmonic wave as an example to analyze and discuss the law of sound waves vertically incident on the surfaces of two media in response to this situation.

Keywords：reflection；transmission；sound pressure；sound intensity

《医用物理学》是一门医学与物理学形成的交叉学科，是目前国内各医学类院校必须开设的一门公共基础课程，其基本任务是研究物质运动的基本规律，介绍物理学的理论、方法和技术对现代医学发展所做的重要贡献，从而使医学生系统地掌握现代医学所需要的物理学基础知识和方法，为学生学习后续课程以及将来从事医疗卫生和科研工作打下必要的物理学基础，同时培养学生掌握科学认识事物的方法，激发学生的创新能力，提高医学人才的质量。在医学类院校开展物理类课程的教育符合“新医科”发展需求，符合“医文、医工、医理、医X交叉发展模式”的“新医科”建设。

目前各医学类院校常用的教材内容体系由力学、热学、电磁学、光学、近代物理几大模块构成，内容主要包括刚体力学、流体力学、振动与波、分子动理论、热力学、静电场、磁场、电磁感应、几何光学、波动光学、原子核物理及X射線，涉及的内容与理工科《大学物理》内容基本一致［15］，但是医学院校物理学课时普遍压缩严重，以本校为例，四年制理学医学信息工程专业《大学物理》共88学时，五年制临床专业《医用物理学》共48学时，这导致了内容多学时少的问题。因此在授课过程中各院校通常会选择与医学联系紧密且学生在初高中涉猎不多的内容为教学内容，如流体力学、简谐振动与机械波、原子核物理及X射线等，并采用以基础物理理论知识为主，在保持物理学完整性不变的同时适当结合医学一些应用的教学模式。

声现象是自然界中最常见的物理现象，其本质是机械振动在弹性介质中的传播（机械波），按照频率的不同分为超声波、可听声波（简称声波）、次声波，三者本质相同，均属于机械纵波，但次声波、超声波不能引起人的听觉。超声波在临床诊断上的应用相当广泛，比如B超、多普勒血流仪等，这是因为超声具有良好的指向性，且在两种介质表面的反射、散射、衰减及声波的多普勒效应等物理规律。目前各医学类院校均将声波及其医学应用作为日常教学内容的一部分进行讲解。但目前常见的一些主流教材中关于声波在两种介质表面的反射、透射现象的描述缺少必要的过程性推导，多数直接给出了结论，导致大多数学生在学习这部分知识内容时理解困难，且大多数从事医学物理教学的教师来源于师范院校或综合性大学物理系的毕业生［67］，虽然拥有较扎实的物理基础和一定的教学经验，但声学作为物理的一个分支，多数非声学专业的教师没有系统地学习《声学基础》，进而对声波在连续介质表面发生反射、折射时的连续条件缺乏了解，导致在授课过程中没有讲透物理量之间的关系。本人在大量调研的基础之上结合自己专业背景和医学物理的教学工作实践，针对这一情况，以平面简谐波为例，结合两种介质表面声学连续条件对声波垂直入射到两种介质表面时的规律进行了分析讨论。

1 声压

为方便描述，我们选择沿x正方向传播的平面简谐波为例。以如图1所示介质中横截面积S、长度dx的质元为研究对象，根据波动理论可得该质元位移：

y=Acosω（t-xc）+φ（1）

质元速度、加速度依次为：

v=dydt=-vmsinω（t-xc）+φ=-ωAsinω（t-xc）+φ（2）

a=dvdt=-ω2Acosω（t-xc）+φ（3）

由于声压是附加压强，质元左右两侧声压大小不同，左侧声压为p、右侧面声压为p+dp，质元受到的合外力不为零，根据牛顿第二定律：

p+p0S-p+dp+p0S=ma=ρSdxa（4）

整理（4）式得：

dp=ρω2Acosω（t-xc）+φdx（5）

对上式积分，得平面简谐波声压表达式：

p=-ρcωAsinω（t-xc）+φ

=-pasinω（t-xc）+φ

=-ρcmsinω（t-xc）+φ

=ρcv（6）

其中ω为角频率，A为振幅，c为介质中的声速，φ为初相位，ρ为介质密度，pa为声压幅值，va为声压幅值。通常将介质密度ρ与介质中的声速c的乘积定义为声阻抗（媒质的特性阻抗），用z表示，即z=ρc，其值反映介质传播声波的能力，不同介质的声阻抗大小不同，ρc数值大表示介质传播声波的能力越弱。

2 垂直入射时的反射和透射

当声波垂直入射到两种介质分界面时，在分界面处分割出一块面积为S′、厚度足够薄、质量为Δm的质元，如图2所示，该质元左右两侧分别处于介质1、介质2两种不同媒质中且质元左右两侧的压强分别为p1、p2，根据牛顿第二定律可得：

F=（p1-p2）S′=Δma（7）

由于分割出的质元是无限薄的，这意味着质元的质量无限小且趋近于零，而等式右侧不为零的条件是质元的加速度非常大，实际情况下质元的加速度不可能无限大，所以上式成立的前提条件是等式左侧为零，即质元左右两侧的声压相等，两种介质分界面处声压连续［810］：

p1=p2（8）

进一步由（6）式可得薄层左右两侧的法向速度相等，即：

v1=v2（9）

为方便讨论取分界面处x=0，入射波、反射波、透射波依次为pi、pr、pt如图3所示，联立（6）、（8）、（9）三式可得：

pia+pra=pta（10）

via+vra=vta（11）

其中

vi=piaρ1c1、vr=-praρ1c1、vt=ptaρ2c2

联立（10）、（11）两式可得到两种介质分界面处反射波声压与入射波声压之比rp、透射波声压与入射波声压之比tp：

rp=prapia=ρ2c2-ρ1c1ρ2c2+ρ1c1=Z2-Z1Z2+Z1（12）

tp=ptapia=2ρ2c2ρ2c2+ρ1c1=2Z2Z2+Z1（13）

由以上推导可知，声波在两种介质分界面上的反射声压与透射声压的大小决定于两种介质的声阻抗大小。若两种介质的声阻抗相等，声波在两种介质中的传播能力相同，声波在两种介质表面处没有反射，这时将发生全透射；当介质2的声阻抗大于介质1的声阻抗即ρ1c1<ρ2c2时，意味着声波在介质2中的传播能力小于介质1，这种边界称为硬边界，该情况下反射波的声压与入射波的声压相位相同；当介质2的声阻抗小于介质1的声阻抗即ρ1c1>ρ2c2时，声波在介质2中的传播能力大于介质1，这种边界称为软边界，此时反射波的声压与入射波的声压相位改变180°；当ρ1c1<<ρ2c2时，意味着介质2传播声波的能力非常弱，这时将发生全反射［10］。

3 声强

声强是单位时间内通过垂直于声波传播方向的声波能量，通常用I表示，其大小：

I=12p2aZ（14）

根据声强定义可分别计算得到入射波声强、反射波声强、透射波声强，分别如下所示：

Ii=pia22ρ1c1=Pia22Z1（15）

Ir=pra22ρ1c1=Pra22Z1（16）

It=pta22ρ2c2=Pta22Z2（17）

将反射波声强与入射波声强大小之比定义为声强反射系数rI，可得：

rI=IrIi=pra22ρ1c1pia22ρ1c1=P2irp22Z1Pi22Z1=Z2-Z1Z2+Z12（18）

将透射波声强与入射波声强之比定义为声强透射系数tI，可得：

tI=ItIi=pta22ρ2c2pia22ρ1c1=Pi2rt22Z2P2i2Z1=4Z2Z1（Z2+Z1）2（19）

将式（18）、（19）求和可知，声强反射系数和声强透射系数之和为1，这表明当声波垂直入射到两种介质分界面时，入射波的能量等于反射波能量与透射波能量之和，这符合能量守恒定律。当两种介质的声阻抗越大，由以上两式可知rI越大，tI越小，声强反射系数越大，声强透射系数越小，即反射越强，透射越弱；当介质1、介质2的声阻抗相差不大即差值较小时，声强反射系数小，声强透射系数大，反射弱，透射强，这个规律在医学中有非常重要的应用。如已知空气的声阻抗4.16×102N·s·m-3，人体组织如脂肪、肌肉的声阻抗分别为1.36×106N·s·m-3、163×106N·s·m-3，由数值可知，空气与人体组织的声阻抗相差很大，两者的数量级相差104，这意味着做超聲检查时若直接将超声探头放在皮肤上（可近似看成垂直入射），超声探头发出的超声波将由空气直接入射到人体，这种情况下声强反射系数大，声强透射系数小，反射强，透射弱，导致超声很难进入人体（约99%的声波能量发生反射，1%的声波能量进入人体），不利于医学诊断，因此需要在探头与皮肤之间涂抹与人体组织声阻抗相近的超声耦合剂，如水溶性透明凝胶（主要成分有水、甘油、润滑脂等，中性，无毒，无味，稳定性好）其声阻抗为（1.5～1.7）×106N·s·m-3，耦合剂声阻抗大小与人体组织的声阻抗数量级一致，数值相差不大，这种情况下声强反射系数很小，声强透射系数大，可使超声尽可能多地进入人体。除了在医学中有着广泛应用，日常生活中双层隔声玻璃也是基于以上原理，由于空气与玻璃的声阻抗差异较大，因此声波在两者界面处同样存在反射强、透射弱的情况，从而起到隔音的作用。

结语

本文结合声压连续、声速连续的声学边界条件对平面简谐波垂直入射到两种介质表面时，入射声压、反射声压、透射声压及入射波强度、反射声波强度、透射强度进行了详细的分析讨论，补充了必要的过程性推导，并通过典例分析了声波在两种介质表面反射透射规律的应用原理。

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基金项目：宁夏医科大学校级教育教学改革研究项目：NYJY2022042

作者简介：李娜（1984— ），女，汉族，宁夏人，博士研究生，副教授，研究方向：功率超声。