妙用轴对称函数的两个结论比较函数值（式）的大小

比较函数值（式）的大小问题经常出现在函数试题中.解答这类问题，通常要灵活运用函数的图象和性质.而对于一些轴对称函数，要比较其函数值（式）的大小，往往需将不在同一个单调区间内的两个自变量转化至同一个单调区间内，以利用函数的单调性来比较函数值（式）的大小，其过程较为复杂.事实上，我们若能用上一些有关轴对称函数的结论，就能高效、快捷地比较出函数值（式）的大小.

结论1.设函数[y=f（x）]的图象关于直线[x=m]对称，且[y=f（x）]在[（-∞，m]]上单调递增，在[[m，+∞）]上单调递减，则[|x1-m|lt;|x2-m|⇔f（x1）gt;f（x2）].

结论2.设函数[y=f（x）]的图象关于直线[x=m]对称，且[y=f（x）]在[（-∞，m]]上单调递减，在[[m，+∞）]上单调递增，则[|x1-m|lt;|x2-m|⇔f（x1）lt;f（x2）].

证明：设[g（x）=f（x+m）]，则函数[g（x）]为偶函数，

由平移变换图象的性质可知[g（x）]在[[0，+∞）]上单调递减.

因为[f（x1）=g（x1-m）=g（|x1-m|）]，

[f（x2）=g（x2-m）=g（|x2-m|）]，

所以当[|x1-m|lt;|x2-m|]时，有[g（|x1-m|）gt;g（|x2-m|）]，即[f（x1）gt;f（x2）].

反之，当[f（x1）gt;f（x2）]，即[g（|x1-m|）gt;g（|x2-m|）]时，有[|x1-m|lt;|x2-m|].

故结论1得证.同理可以证明结论2.

这是说，若函数[y=f（x）]的图象关于直线[x=m]对称，且知晓对称轴两侧的函数单调性，就可以利用这两个结论，通过比较自变量与对称轴之间的距离的大小，来快速比较出两个函数值（式）的大小.

例1.如果函数[f（x）]在[（0，2）]上是增函数，且函数[y=f（x+2）]是偶函数，则下列结论中正确的是（" " "）.

[A. f（1）lt;f（52）lt;f（72）]" " " " [B. f（72）lt;f（52）lt;f（1）]

[C. f（72）lt;f（1）lt;f（52）]" " " " [D. f（52）lt;f（1）lt;f（72）]

解：因为[y=f（x+2）]是偶函数，

所以[y=f（x+2）]的图象关于[y]轴对称，

则[y=f（x）]的图象关于直线[x=2]对称，

所以[f（x）=f（4-x）]，则[f（1）=f（3）.]

又因为[f（x）]在[（0，2）]上是增函数，

所以[f（x）]在[（2，4）]上是减函数.

而[52lt;3lt;72]，则[f（72）lt;f（1）lt;f（52）]，故选C.

本题中[y=f（x+2）]是偶函数，所以其对称轴为[y]轴，且[f（x）]在[（0，2）]上是增函数，由函数的对称性可知[f（x）]在[（2，4）]上是减函数，我们只需比较[x=3]、[x=52]、[x=72]的大小，就可以根据结论1比较出三个函数式的大小.

例2.已知[f（x）=x2-bx+c]，且有[f（1+x）=f（1-x）]，[f（0）=3]，则[f（bx）]与[f（cx）]的大小关系是（" " "）.

[A. f（bx）≤f（cx）]" nbsp; " " " " [B. f（bx）≥f（cx）]

[C. f（bx）lt;f（cx）]" " " " " " [D. f（bx）gt;f（cx）]

解：因为[f（1+x）=f（1-x）]，

所以[f（x）]的图象关于直线[x=1]对称，则[b=2]，

所以[f（x）]在[（-∞，1）]上是减函数，在[[1，+∞）]上是增函数，

由[f（0）=3]得[c=3]，所以[bx=2x，cx=3x].

（1）当[x=0]时，[bx=cx=1]，所以[f（bx）=f（cx）]；

（2）当[xgt;0]时，[1lt;2xlt;3x]，所以[0lt;2x-1lt;3x-1]，

即[|2x-1|lt;|3x-1|]，可得[f（bx）lt;f（cx）]；

（3）当[xlt;0]时，[1gt;2xgt;3xgt;0]，所以[3x-1lt;2x-1lt;0]，

即[|2x-1|lt;|3x-1|]，可得[f（bx）lt;f（cx）].

综上可得[f（bx）≤f（cx）]，故选[A].

我们先由[f（1+x）=f（1-x）]是偶函数，可以判断出函数[f（x）]的对称轴为[x=1]；然后由二次函数的性质确定[f（x）]在[[1，+∞）]和[（-∞，1）]上的单调性；再比较出[x=bx]、[x=cx]到对称轴[x=1]的距离，即可根据结论2比较出[f（bx）]与[f（cx）]的大小.

可见，运用上述两个结论来比较轴对称函数值（式）的大小，非常便捷，不仅能有效地简化运算，还能优化解题的过程.同学们在日常的学习中，要学会归纳、总结一些常见的题型及其解法，这样才能有效地提升解题的效率.

（作者单位：广东省珠海市广东实验中学金湾学校）