锚杆支护下两向不等压深埋隧洞受力与变形弹性分析

王惠贤, 吴庆良,2, 鲍安红*, 唐彬雪

(1. 西南大学工程技术学院, 重庆 400715; 2. 招商局重庆交通科研设计院有限公司, 重庆 400067)

引水隧洞在农业、水利工程中的水资源输送和调配上扮演了重要角色[1]。中国地质地形复杂多样,隧洞围岩失稳、塌方等灾害时有发生[2-3],实际工程中往往采用锚杆支护等措施对围岩进行加固。研究锚杆支护前后隧洞的应力场和位移场变化,对于明确锚杆支护效果、优化锚杆支护参数以及保障隧洞施工安全具有重要意义。

有关锚杆支护下圆形隧洞的力学解析方面,前人进行了诸多研究,主要包括有限差分法、经典弹塑性力学等方法。如文竞舟等[4]根据锚固界面层剪应力的传递机制和变形协调关系,将锚杆界面剪应力考虑成体积力,对圆形隧道围岩进行弹塑性分析;Cui等[5]对深埋隧洞全长黏结锚杆支护岩体进行了统一的弹塑性分析,讨论了两种有限差分算法,推导了岩体和锚杆的应力及位移;晏勤等[6]基于隧道开挖弹塑性力学解析解,通过均匀化方法,推导了锚杆加固作用下的圆形隧道复合岩体围岩特征曲线解析解;谭鑫等[7]基于收敛约束法原理,推导了锚杆与围岩共同作用的圆形隧道围岩特性曲线弹性响应函数,通过与数值解进行比较,验证并修正了解析函数;孟强等[8]采用Mohr-Coulomb屈服准则以及非关联流动法则,通过均匀化方法给出了强度参数表达式,得到锚杆支护圆形隧洞解析解;陈登国等[9]基于Mohr-Coulomb准则下的修正Fenner解求解了锚固承载层的切向应力,推导了巷道围岩塑性区的应力、半径和位移解析表达式;荣耀等[10]引入等效弹性模量,并基于广义Hoek-Brown强度准则与有限差分原理,推导得到锚杆加固下围岩弹塑性应力、位移和塑性区半径数值解。余涛等[11]基于承载效应推导了锚固结构承载强度表达式,得到了各影响因素的贡献程度,并求解出隧道围岩应力位移分布以及塑性区。陶文斌等[12]考虑围岩特征以及锚固效应,利用Mohr-Coulomb准则推导了围岩弹塑性区应力、位移表达式以及锚杆受力解析解,分析了侧压力系数、预紧力以及对锚杆长度对结构受力特征的影响。

上述研究大多将锚杆与围岩当作整体,考虑其在均匀应力场下的承载性能。事实上,隧洞围岩所受的水平和垂直方向地应力往往不相等。目前有关非均匀应力场下圆形隧洞的应力及位移分析主要采用数值模拟、现场监测等手段,如张力[13]等基于数值模拟对系统锚杆进行分区研究,得出了围岩沉降对锚杆参数的敏感性排序;张秋实[14]等通过数值模拟研究了隧道初期支护的受力变形特征,并对其支护参数进行了优化;雷刚[15]等采用正交试验与数值模拟相结合的方法,分析了施工方法、锚杆长度、初支厚度等对拱顶沉降的影响程度。此方面鲜有力学解析的方法,不利于基础研究的深入以及普遍规律的提出。

针对上述问题,现采用复变函数理论,基于均匀化方法,推导非均匀应力场下锚杆支护时深埋圆形隧洞应力及位移弹性解析解,并分析岩体和锚杆参数对洞周应力和位移的影响,以期为锚杆参数设计和引水隧洞选址提供一定的参考。

1 基本理论

R1为锚杆端头与隧洞中心的距离;l为锚杆长度,且有l=R1-R0;rb为锚杆半径;sr为锚杆环向间距;sl为锚杆排距;p0为隧洞内均布静水压力

为了便于推导,本文研究做出以下假设:①隧洞的埋深和纵向长度足够大,可以将问题简化为无限域平面应变问题;②不考虑支护滞后,认为隧洞开挖后立即进行支护,围岩来不及发生变形;③锚杆支护后,与围岩形成均匀、连续、不可压缩的锚固体,泊松比近似不变,弹性模量得到加强;④围岩和锚固体应力规定以压为正,以拉为负;⑤考虑到理论推导的复杂性,本文研究限定为弹性范围内讨论。

基于均匀化假设,现对锚固体单元进行分析。结合锚杆参数和岩体参数,计算锚固体等效弹性模量E*[16],即

(1)

式(1)中:Eb为锚杆弹性模量;E1为岩体弹性模量。rb为锚杆半径;sl为锚杆排距;sr为锚杆环向间距。

根据地下隧洞力学分析的复变函数方法[17]可知

σri+σθi=4Re[φ′i(z)]

(2)

(3)

(4)

z=reiθ

(5)

κi=3-4μi

(6)

(7)

只要求出对应工况下围岩与锚固体的解析函数φi(z)、ψi(z),即可得出它们的应力分量和位移分量。

2 应力及位移分量求解过程

2.1 围岩和锚固体的解析函数

开挖隧洞将导致洞周附近的岩体释放应力并受到损伤,呈现松散、破碎的状态。鉴于Osgoui[18]和Kim等[19]的研究,采用锚杆对破碎岩体进行加固时,两者共同承担外部荷载,可等效为一个整体。考虑到深部围岩和锚固体强度参数等的差异性,本文研究将围岩和锚固体看作两种材料,用不同的解析函数进行表征。

隧洞开挖无支护时,隧洞开挖边界处的应力边界条件[20](r=R1)可以写成

(8)

式(8)中:

(9)

式(9)中:ak、bk为系数。

根据幂级数解法,将式(9)代入式(8)即可求出φ(z)和ψ(z)。

(10)

(11)

将式(10)和式(11)代入式(4),可以得到开挖未支护时围岩任意一点的最大位移表达式为

(12)

设置支护后,围岩和锚固体相互作用。围岩在锚固体作用下对应的两个解析函数φ1(z)、ψ1(z)可用Taylor级数表示为

(13)

式(13)中:ck、dk为系数。

锚固体的两个解析函数可用Laurent级数表示为

(14)

式(14)中:ek、fk、gk和hk均为系数。

将围岩和锚固体的解析函数式(13)和式(14)分别代入式(2)～式(4),即可得到各自应力σri、σθi、τrθi及位移uri、uθi的表达式。

2.2 边界条件

锚固体与围岩在交界面上满足应力和位移连续条件。边界条件可用式(15)～式(18)表示。

隧洞开挖边界(r=R0)的应力边界条件为

(15)

(16)

式中:Im表示取一个复数的虚部。

围岩与锚固体交界处(r=R1)的应力和位移边界条件为

(17)

(18)

将式(13)和式(14)代入式(15)～式(18),采用幂级数解法,化简后不为零的系数只有c1、d1、d3、e1、f1、f3、g1、g3、h1,并由式(19)～式(27)求解。

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

2(κ1G2+G1)c1-2G1(κ2+1)e1=

(25)

(26)

(27)

3 应力与位移分量解析解

当给定相关参数R0、R1、P、p0、λ、Ei、μi具体的值后,联立求解方程组式(19)～式(27),可以得到待定系数c1、d1、d3、e1、f1、f3、g1、g3和h1,进而求解围岩和锚固体的应力以及位移分量。考虑原岩应力场和开挖扰动应力场,围岩的解析函数为

(28)

(29)

锚固体的两个解析函数为

φ2(z)=e1z-1+f1z+f3z3

(30)

ψ2(z)=g1z-1+g3z-3+h1z

(31)

围岩各点的径向应力、切向应力和剪应力解析解为

(32)

(33)

(34)

围岩各点的径向位移和切向位移解析解为

(35)

(36)

锚固体各点的径向应力、切向应力和剪应力解析解为

σr2=2f1+g1r-2-(h1+4e1r-2-3g3r-4)cos2θ

(37)

σθ2=2f1-g1r-2+(12f3r2-3g3r-4+h1)cos2θ

(38)

τrθ2=(6f3r2-2e1r-2+3g3r-4+h1)sin2θ

(39)

锚固体各点的径向位移、切向位移解析解为

(40)

(41)

4 岩体和锚杆参数对洞周应力及位移的影响

由弹性力学可知,隧洞围岩最大应力与变形出现在洞周[21]。在本文假定的工况下,隧洞开挖未支护以及锚杆支护后,洞周的径向应力始终等于静水压力,切向位移也极小。因此,本文研究将重点关注岩体和锚杆参数对洞周切向应力及径向位移的影响。由于隧洞形状和受力的对称性,本文研究仅讨论θ在[0,180]区间洞周应力和位移的变化(θ为锚杆与x正轴的角度,以逆时针为正)。

假定隧洞开挖半径R0=4 m,垂直地应力P=20 MPa,静水压力p0=2 MPa,围岩与锚固体的泊松比μ1=μ2=0.25,锚杆弹性模量Eb=210 GPa,锚杆排距sl=1 m,其余岩体和锚杆参数波动范围如表1所示。其中,围岩弹性模量E1、侧压力系数λ、锚杆长度l、锚杆半径rb和锚杆环向间距sr的标准值依次为10 GPa、0.5、4 m、11 mm和1 m。

表1 岩体和锚杆参数波动范围Table 1 Fluctuation range of rock mass and bolt parameters

4.1 锚杆支护对洞周应力及位移的影响

通过比较锚杆支护前后洞周应力及位移分布,可得到锚杆的支护效果。采用有限元软件ANSYS建立锚杆支护前后的数值模型,以验证本文解析解的合理性。其中,围岩采用plane45单元,锚杆采用link1单元,开挖通过反转应力释放法模拟,数值模型如图2所示。

图2 开挖不支护和锚杆支护时隧洞数值模型Fig.2 Numerical model of tunnel without support and bolt support during excavation

开挖不支护和锚杆支护时洞周的应力及位移曲线如图3所示。结合图3(a)和图3(b)可知,本文提出的解析解略小于数值解,总体上较为吻合,基本上验证了解析解的合理性。解析解较小的原因可能是均匀化的假设使得围岩受力更加均匀合理。

图3 开挖不支护和锚杆支护时洞周的应力及位移曲线Fig.3 Stress and displacement curve around the tunnel without support and bolt support during excavation

从图3(a)可知,无论是否支护,隧洞洞周最大切向应力均出现在θ=0°(θ=180°)处。锚杆支护使得洞周各点的切向应力均减小,其中开挖不支护时洞周最大切向应力为50 MPa,而锚杆支护后洞周最大切向应力为31.464 MPa,减小了37.072%。

同理,从图3(b)可知,无论是否支护,洞周最大径向位移均出现在θ=90°处。锚杆支护使得洞周各点的径向位移均减小,其中开挖不支护时洞周最大径向位移为12.5 mm,而锚杆支护后洞周最大切向应力为11.464 mm,减小了8.288%。

4.2 岩体参数对洞周应力及位移的影响

4.2.1 围岩弹性模量对洞周应力及位移的影响

不同围岩弹性模量下洞周各点的应力及位移曲线如图4所示。

图4 不同围岩弹性模量下洞周的应力及位移曲线Fig.4 Stress and displacement curves around the tunnel under different elastic modulus of surrounding rock

从图4(a)可知,随着围岩弹性模量的增大,洞周各点的切向应力逐渐减小。其中,当围岩弹性模量由5 GPa增大为10、15和20 GPa时,洞周最大切向应力由31.6 MPa减小为31.464、31.418和31.396 MPa,分别减小了0.43%、0.576%和0.646%。

同理,从图4(b)可知,随着围岩弹性模量的增大,洞周各点的径向位移逐渐减小。其中,当围岩弹性模量由5 GPa增大为10、15、20 GPa时,洞周最大径向位移由22.854 mm减小为11.464、7.651和5.741 mm,分别减小了49.838%、66.522%和74.880%,变化幅度远大于洞周切向应力变化幅值,且其对围岩弹性模量在[5,10]区间内最敏感。

4.2.2 侧压力系数对洞周应力及位移的影响

不同侧压力系数下洞周各点的应力及位移曲线如图5所示。

图5 不同侧压力系数下洞周的应力及位移曲线Fig.5 Stress and displacement curves around the tunnel under different lateral pressure coefficients

结合图5(a)和图5(b),可以看出λ在(0,1]区间和[1,2]区间时洞周的应力位移曲线关于λ=1时的曲线对称。

从图5(a)可知,λ在(0,1]区间时,洞周最大切向应力出现在θ=0°(θ=180°),且随着侧压力系数的增大逐渐减小。λ在[1,2]区间时,洞周最大切向应力出现在θ=90°,且随着侧压力系数的增大逐渐增大。当侧压力系数由1变化为0.5、1.5和2时,洞周最大切向应力由24.763增大为31.464、44.848和64.933 MPa,分别增大了27.061%、81.109%和162.218%,且其对侧压力系数在[1,2]区间更敏感。

同理,从图5(b)可知,λ在(0,1]区间时,洞周最大径向位移出现在θ=90°,且随着侧压力系数的增大逐渐减小。λ在[1,2]区间时,洞周最大切向位移出现在θ=0°(θ=180°),且随着侧压力系数的增大逐渐增大。侧压力系数由1变化为0.5、1.5和2时,洞周最大径向位移由8.968增大为11.464、16.445和23.923 mm,分别增大了27.832%、83.374%和166.760%,且其对侧压力系数在[1,2]区间更敏感。

4.3 锚杆参数对洞周应力及位移的影响

4.3.1 锚杆长度对洞周应力及位移的影响

不同锚杆长度下洞周的应力及位移曲线如图6所示。

图6 不同锚杆长度下洞周的应力及位移曲线Fig.6 Stress and displacement curves around the hole under different bolt lengths

由图6(a)可知,随着锚杆长度的增大,洞周各点的切向应力逐渐减小。其中,当锚杆长度由2 m增大为4、6和8 m时,洞周最大切向应力由31.486 MPa减小为31.464、31.450、31.442 MPa,分别减小了0.43%、0.576%和0.646%。

由图6(b)可知,随着锚杆长度的增大,洞周各点的径向位移逐渐减小。其中,当锚杆长度由2 m增大为4、6、8 m时,洞周最大径向位移由11.476 mm减小为11.464、11.458、11.454 mm,分别减小了0.105%、0.157%和0192%。

4.3.2 锚杆半径对洞周应力及位移的影响

不同锚杆半径下洞周各点的应力及位移曲线如图7所示。

图7 不同锚杆半径下洞周的应力及位移曲线Fig.6 Stress and displacement curves around the hole under different anchor radius

由图7(a)可知,随着锚杆半径的增大,洞周各点的切向应力逐渐增大。其中,当锚杆半径由8 mm增大11、14、17 mm时,洞周最大切向应力由31.403 MPa增大为31.464、31.545、31.644 MPa,分别增大了0.194%、0.452%和0.767%。

由图7(b)可知,随着锚杆半径的增大,洞周各点的径向位移逐渐减小。其中,当锚杆半径由8 mm增大11、14、17 mm时,洞周最大径向位移由11.481 mm增大为11.464、11.442、11.415 mm,分别增大了0.148%、0.340%和0.575%。

4.3.3 锚杆环向间距对洞周应力及位移的影响

不同锚杆环向间距下洞周各点的应力及位移曲线如图8所示。

图8 不同锚杆环向间距下洞周的应力及位移曲线Fig.8 Stress and displacement curves around the hole under different circumferential spacing of anchor rods

由图8(a)可知,随着锚杆环向间距的增大,洞周各点的切向应力均逐渐减小。其中,当锚杆环向间距由0.5 m增大为1、1.5、2 m时,洞周最大切向应力由31.594 MPa减小为31.464、31.421、31.339 MPa,分别减小了0.411%、0.548%和0.617%。

由图8(b)可知,随着锚杆环向间距的增大,洞周各点的径向位移均逐渐增大。其中,当锚杆环向间距由0.5 m增大为1、1.5、2 m时,洞周最大径向位移由11.482 mm增大为11.476、11.464、11.429 mm,分别增大了0.052%、0.157%和0.462%。

5 结论

基于复变函数理论,采用均匀化方法,给出了非均匀应力场下锚杆支护时隧洞围岩和锚固体应力及位移的弹性解析解,并运用MATLAB得到了洞周切向应力及径向位移随岩体参数和锚杆参数的变化曲线。通过对隧洞洞周应力场和位移场的变化进行分析,得到如下结论。

(1)当λ<1时,隧洞洞周最大切向应力出现在θ=0°(θ=180°)处,最大径向位移出现在θ=90°处。进行锚杆支护后,隧洞洞周各点的切向应力和径向位移与开挖未支护时相比均减小,其中最大切向应力减小了37.072%,最大切向应力减小了8.288%。对比可知锚杆支护对围岩稳定性具有明显的改善效果。

(2)随着围岩弹性模量的增大,隧洞洞周各点的切向应力和径向位移均减小。其中,当围岩弹性模量由5 GPa增大为10、15、20 GPa时,洞周最大切向应力分别减小了0.43%、0.576%和0.646%,最大径向位移分别减小了49.838%、66.522%和74.880%。鉴于洞周应力与位移对围岩弹性模量在[5,10]区间的敏感性最高,选择围岩弹性模量为10 GPa的区域为隧址较经济安全。

(3)不同侧压力系数下洞周的应力位移曲线关于λ=1对称。在(0,1]区间,洞周最大切向应力出现在θ=0°(θ=180°),最大径向位移出现在θ=90°,两者随着λ的增大而减小;在[1,2]区间,洞周最大切向应力出现在θ=90°,最大切向位移出现在θ=0°(θ=180°),两者随着λ的增大而增大。鉴于洞周应力与位移对侧压力系数在[1,2]区间的敏感性最高,选择侧压力系数为1的区域为隧址较经济安全。

(4)随着锚杆长度的增大,洞周的切向应力和径向位移逐渐减小;随着锚杆半径增大,洞周的切向应力逐渐增大,径向位移逐渐减小;而随着锚杆环向间距的增大,洞周应力和位移的变化趋势与锚杆半径的规律相反。因此,在进行锚杆参数设计时,应考虑支护成本以及洞周切向应力增加问题。

以上结论均基于材料为弹性的假设得出,具有一定的局限性。实际工程中,锚杆支护下的深埋隧洞通常会出现塑性区,考虑材料的弹塑性状态会更加合理,锚杆支护下两向不等压深埋隧洞受力与变形的塑性分析有待进一步研究。