结构化观念下的数学单元教学——以“幂函数”单元为例/

苗 静 华东师范大学附属东昌中学

一、研究背景

随着新课程标准的颁布和实施，普通高中教育已经进入新一轮的课程改革，整体思想、系统思维、大概念、单元设计、教学主线等已成为当下最鲜明、最重要的关键词。新课程标准明确指出，教师要“整体把握教学内容，促进数学学科核心素养连续性和阶段性发展”。因此，如何解决知识碎片化，真正实现数学思维品质的培养，落实核心素养的发展，是新时代每个教师亟待思考的问题。

二、概念界定与理论模型

（一）概念界定

1.单元教学：以数学知识的逻辑关系和相互联系为基本依据，结合学生的认知基础和思维规律，将学习内容组织成单元模块，从整体上把握教学要求，根据数学研究问题的“基本套路”循序渐进地安排教学内容，再分课时践行教学理念。

2.结构化教学：以“联系—整体—演绎”的结构化理论为导向，从数学“知识体系结构化”的特点和“学生认知结构化”发展规律出发，帮助学生在已有认知结构的基础上，延长知识链，拓宽知识面，从整体上学习数学知识、方法和观念，进而有效地克服数学难点的教学模式。

（二）理论模型

结构化观念下的单元教学，分别以数学知识结构、学生认知结构作为学习和教学的逻辑起点，运用“联系—整体—演绎”观点，对教学内容、教学目标和教学过程等教学基本要素进行分析，以建立结构化分析、结构化设计和结构化评价整体教学设计方案的过程。它的一般流程可以用图1表示：

图1

“幂函数”是人教A 版新教材第三章第三节中的内容，是继函数的基本性质后研究的第一个函数，也是高中阶段遇到的第一个具体的函数。本文将第三章“函数的概念与性质”视为一个大单元，其下划分若干小单元，以“幂函数”小单元为例，阐述如何在结构化观念下进行单元教学的分析、设计和评价。

三、结构化教学分析

（一）内容结构分析

学科学习的实质就是理解学科的基本结构，即理解各种基本概念、原理以及它们相互之间的规律和联系，数学知识结构反映了数学的本质内涵。

1.学科内容逻辑体系

数学学科的逻辑体系，可以用金字塔的图示加以体现，其中学科大概念是金字塔的顶层，它统摄整个结构体系，其下依次为核心概念、重要概念、基本概念、基本事实。如果将“幂函数”置于整个“函数”单元，对应的概念可以用图2呈现。

图2

2.小单元知识逻辑结构

结构化强调知识之间的联系，在课堂教学中除了显性的知识，学生还需要学习隐性的知识，显性知识指的是一个个的知识点，而隐性知识还包括知识点之间的联系、知识点之间的逻辑顺序、知识点习得所需要的思想与方法。显性知识指向知识与技能，隐性知识指向思维、方法、过程，是更具意义的学习。

“幂函数”单元的知识结构可以用图3呈现：

图3

3.单元知识主线设计

大单元下的数学知识在内容上虽然各不相同，但在大概念的思想统摄下，同类对象的研究存在着高度的“相似性”，因此在把握教学内容的结构基础上，需要对学习思路和学习过程不断重现，让学生感悟、体验各类数学对象的研究方法，而这条研究的路径就是知识的逻辑主线。

在“幂函数”单元中，依据知识的发展过程，可以采用“定义—特例—性质—图像”作为知识主线，这也可以作为其他类别函数的研究路径，但也可能会根据知识的逻辑有略微的差别，比如由于学生对指数函数没有认知基础，它的主线可以是“定义—特例—图像—性质”。

（二）认知结构分析

认知结构是学生头脑里的知识结构，是学生在学习过程中观念的内容与组织。学生的认知发展可以形容为在原有认知结构上搭建新的认知结构，并通过各种教学活动使新知识之间、新旧知识之间的联系更为紧密，达到完善巩固认知结构的目的。结构化教学的观点就是用学生认知结构建立教学逻辑起点，因此分析认识结构可以把握教学的重点和难点。

1.认知起点分析

为了形成新的认知结构，就需要分析知识的起点、技能的起点和思维的起点。

在学习“幂函数”之前，学生在知识上有函数学习经历，但核心概念理解受限。技能上，有列表描点作图的经验，但缺乏严谨性。思维上虽有从特殊到一般的过程，但“数学抽象”是无意识的。在高中阶段，学生对函数概念的认识有了进一步的深化，又学习了函数的各种性质，认知的起点有了进一步的提高，这将为具体函数的研究提供更科学理性的思路。

2.经验障碍分析

学生在学习过程中会由于知识间联系的问题导致认知障碍，如陌生的知识、复杂的知识、易错的知识。所以教师在教学中要根据学生的这些情况确定教学的难点。

“幂函数”单元中，利用性质研究具体“幂函数”的图像只是认知结构搭建的一个方面，通过多个“幂函数”图像特征归纳总结“幂函数”的性质才是发展认知结构的核心。在研究过程中对“幂函数”图像特征的分类、数学抽象思维的发展以及理性猜测、逻辑论证是学生未曾有过的学习经验，在此过程中学生可能会遇到困难，因此这是本单元的教学难点。

（三）目标结构分析

目标结构从宏观至微观大致可分为“课程（主线）目标—大单元目标—小单元目标”。其中，课程目标是宏观目标，是学生通过学习在学科核心素养方面的变化；大单元目标是中观目标，是大单元学习后学生应达到的知识、能力、方法、思维等素养水平；小单元目标是微观目标，专注于具体内容的学习，关注课堂目标的达成，可通过检测进行教学评价。三种目标自上而下形成目标结构体系。

在新课标中关于函数的课程目标是“重点提升数学抽象、数学建模、数学运算、直观想象和逻辑推理”等核心素养。函数大单元目标是“用函数图像和代数运算的方法研究具体函数的性质，理解这些函数中所蕴含的运算规律，运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题”。基于此，将上述目标加以分解，可以获得如下的“幂函数”小单元目标：

1.能从自变量、函数值及函数解析式等角度归纳共性，抽象幂函数的一般形式；

2.能利用函数的基本性质，画出具体幂函数的大致图像；

3.能通过对多个幂函数图像的观察、猜测、归纳，一般幂函数的图像特征，并发现、论证幂函数的性质；

4.能利用函数的性质解决比较两个数的大小的代数问题；

5.结合对幂函数的研究，体会函数概念、基本性质对函数研究的价值，体验函数研究的基本规律，感受从特殊到一般的数学思维方法，提升数学抽象、直观想象、逻辑推理等思维能力。

四、结构化教学设计

知识与认知的结构化分析都是为教学服务的，在教学中应达到知识序与认知序的统一，以此设计教学问题，设置教学环节，组织教学活动。

（一）教学问题设计

一个好问题能使学生在教学关键点、重点、难点处思考和探究，以达到理解知识、体会思想方法和提升数学核心素养的目的，教学往往就是在这种核心问题的解决中展开的。核心问题不是单纯的数学问题，而是指向核心素养的本源性问题，包含学生经验活动的总结、数学思想方法的回顾、学习体验后的感悟。

在“幂函数”单元，基于教学重难点，可以将“如何研究一类新的函数”作为核心问题。

（二）教学环节设计

为了使学生深入体验“数学的方式”，感悟数学研究的脉络，教师需要构建基于课型分类研究的结构化教学主线。

“幂函数”单元作为一类数学对象，属于新授课的范畴，我们根据设置的核心问题，设计四个“教学环节”（见表1，附文后）。

表1 教学环节与教学活动

（三）教学活动设计

五、结构化教学评价

教学评价要关注学生数学知识技能的掌握，还要关注学生的学习态度、方法和习惯，更要关注数学学科核心素养水平的达成。教师要从评价中反思教学过程，总结经验，发现问题，提出改进思路。

1.课堂行为评价包括：（1）从知识讲解应用小结，考查教师教学特征的课堂行为评价；（2）从学习认知表达生成，考查学生的学习特征的学习行为评价，可设置行为评价量表（部分量表见表2，附文后）。

表2 数学结构化教学学生行为的观察量表

2.学习水平评价包括：（1）用概念图或思维导图测试学生的认知结构评价；（2）与小单元目标对应的诊断测试的单元学业质量的评价。比如，笔者根据预设的教学目标，设置了三个课堂诊断问题：

①已知幂函数y=（fx）图像过点（3，），求这个函数的解析式——检测幂函数一般形式的理解。

结构化教学的最终目的是指向核心素养的思维结构化，因为“四基”“四能”只有通过“思维过程的教学”才能得到落实。这就需要教师理解数学、理解学生、理解教学。对知识结构的分析就是理解数学，对认知结构的分析就是理解学生，结构化教学设计追求学科知识序与学生认知序的统一，将实际的教学活动统一于理想的教学目标之下，保证教学活动的科学性和实效性，这就是理解教学。因此，在新一轮课程改革中，结构化单元教学是贴合新课程、新教材理念的产物，是具有指导性意义的举措，只有不断实践、反思、完善，才能推动新课程改革在课堂教学中落地。