放慢脚步，实施符合学生认知规律的数学教学*

【关键词】高中数学；问题解决；探究活动

【中图分类号】G633.6" 【文献标志码】A" 【文章编号】1005-6009（2024）47-0087-02

在教学实践中，笔者常常困惑于教学中“快”与“慢”的辩证关系。面对高考的压力和社会环境的需求，教学进度快、课堂节奏快、解题速度快似乎成为一种趋势，但对于学生，这样的“快”一定是有效的吗？围绕这样的思考，笔者逐步明确了“放慢教学的脚步，实施符合学生认知发展规律的教学”的主张，并在立体几何“翻折”问题教学中进行了尝试。

立体几何教学中，空间几何体的图形变换如平移、旋转、投影、截、折、展等，重在培养学生的空间想象能力与实践创新能力。翻折是较常见的几何变换之一，同样也是高考考查的热点。处理翻折问题的关键是抓住折叠前后的图形特征，将平面图形折叠成空间图形后，未发生形变的平面图形内部性质不变，但在空间中形成新的结构特征。翻折过程中，平面转化为二面角，随之带来平行、垂直等位置关系以及线段长度、角大小等量的变化，但变化中需要特别关注不变关系与不变量，从而准确把握空间图形中的新特征、新结论。立体几何中的翻折问题，是对“立体几何初步”中包括基本立体图形、基本图形位置关系教学的拓展与升华，是对学生空间想象能力的集中考查，是与“截面问题”等并驾齐驱的“空间问题平面化”降维思想落实的重要载体。

一、探究活动循序渐进，提升抽象素养

空间图形是对现实世界的抽象，立体几何的研究对象是空间图形及其位置关系，在发展学生的直观想象和数学抽象的素养中发挥着重要的作用。东北师范大学史宁中教授指出：数学的研究源自对现实世界的抽象，通过抽象得出数学的研究对象，基于抽象，通过运算、推理、模型构建等数学方法，理解和表达现实世界中事物的本质、关系和规律。学生应通过参与数学教学活动过程，感悟数学基本思想，积累数学思维和实践的基本经验。

立体几何的教学，首先是帮助学生逐步形成空间观念，这个过程不是一蹴而就的。尽管翻折问题是在学生经历过“立体几何初步”主干知识学习后的内容补充和提升，但在平面图形与空间图形的相互转化的动态过程中，学生仍然存在着一定的认知困难，不能发现其中蕴藏的规律和一般方法。因此，在“翻折”问题教学中，笔者设计了遵循认知特点的三次探究——“正四面体展开理想实验”“正方形折纸实验”“菱形翻折数字实验”，利用常见图形载体，借助多种活动形式，在直观感知、操作确认、思辨论证的过程中启发学生学会观察与思考，在具体情境中发展学生的抽象素养，促使其逐步学会用数学的眼光观察世界。

二、规律探索由表及里，获得一般策略

立体几何中的翻折问题的实质是图形的变化。研究变化中的不变性质，是普遍的科学规律。几何学研究的是变换之后的不变量，变化后，图形的大小、形状，长度、角度等存在不变，因此，认识问题、发现规律的关键是“变化中的不变性质”。如何让学生在感受“变化”的基础上，关注“不变”，形成空间结论，从而得出研究问题的一般策略是教学设计的重点，也是检验课堂教学有效性的重要依据。围绕“折纸实验”，在学生体验翻折过程，获得折纸成果，形成初步印象后，笔者尝试引导学生围绕“成果”展开探索，通过层层递进的问题，如“有怎样的结构特征”“产生现象的原因”“还有哪些特征”“变换成菱形还有哪些成立，为什么”“翻折过程中是否成立”，将规律的探索从熟悉到陌生、从明显到隐含、从静止到运动、从定性到定量，逐步深入思考，慢慢析出本质，从而发现研究问题的一般策略——“动中找定”得以形成。

三、问题解决步步为营，体验成功喜悦

立体几何中的翻折问题指向学生问题解决能力的培养，设计难度梯度清晰的习题，能充分检验学生能力。在巩固知识、提升技能的同时，帮助学生领悟思想方法，积累活动经验。

例1：以等腰直角三角形斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论，其中正确的是（" " ）。

A.BD⊥AC B.∠BAC=60° C.三棱锥D-ABC是正三棱锥 D.平面ADC和平面ABC垂直

例2：已知矩形ABCD，AB=1，BC=2，将△ABD沿BD折起，使平面ABC⊥平面BCD，在平面ABC内，过点A作AK⊥BC，K为垂足，求BK的长度。

例1以直角三角形翻折后形成的图形为基本图形，通过多项选择题的形式为学生多角度思考问题搭建平台，充分调动学生已有经验与策略解决问题，并为后续思考例2提供基石。例2“以展入折”，要求学生在把握处理翻折问题一般策略的同时，能够对空间几何体中的图形间的位置关系进行判断，进而“折而后展”，在获得空间中垂直关系后还原成原图形，将问题转换成平面问题加以研究。学生在问题解决的过程中，理解数学内容的本质，促进数学学科核心素养的形成和发展。

数学课堂教学是需要不断完善而又总是产生遗憾的过程。笔者在创设更自然的翻折问题并进行探索之后发现，助力学生发展逻辑推理素养与问题解决能力的操作方法上仍需要进一步改进。

（作者单位：江苏省镇江第一中学）