频域宽带阵列波束形成技术优化设计

马越洋，郭肃丽

(中国电子科技集团公司 第54研究所，石家庄 050081)

0 引言

随着现代通信技术的发展与通信需求的提高，窄带相控阵系统已经不能满足信息的传输速率、精度、可靠性、距离等要求，宽带相控阵系统在更多的领域中也有了实际的应用需求。目前所需要的宽带相控阵是一种收发信息，带宽达GHz，由几千甚至上万的天线单元组成，并且天线的扫描角不小于50°的复杂天线阵列。如果直接将窄带波束合成的方法应用到宽带相控阵系统中，会对合成波束的性能产生巨大影响，甚至可能会直接影响系统的成败，因此需要研究适用于宽带相控阵的信号接收方法。如何对宽带阵列实现性能更优的波束形成，具有重要的研究意义[1-2]。

针对如何在宽带相控阵系统中实现波束形成问题，各国的专家学者提出了多种方法。目前主流的方法有两大类：频域方法和时域方法[3-4]。

在时域方面是以真时延为基础，有延迟线[5]、光延迟网络[6-7]和分数延时滤波器三种主流方法，分数延时滤波器实现方法主要有窗函数法[8]、拉格朗日插值法[9-10]、Hennite 插值法[11-12]和Farrow结构[13-14]与泰勒结构[15]的可变分数延时滤波器等。在频域方面首先是将宽带信号划分为多个窄带信号，之后对每个窄带信号分别进行延时补偿，最终再将处理后的窄带信号合成为宽带信号。在进行子带划分的时候主要有两种方法，一种是采用子带分析滤波器[16]，另一种是采用傅里叶变换对宽带信号进行划分[17-20]。因为滤波器的方法对滤波器的性能要求较高且实现起来比较复杂，所以现在多采用快速傅里叶变换(FFT，fast fourier transform)的方法将宽带信号划分为多个窄带信号。之后对窄带信号进行处理后再合成宽带信号、形成波束。

在理论上这两大类方法均可以解决宽带波束形成的延时补偿问题。其中频域方法对系统前端的要求更低，更适用于工程实现。但因为现在的宽带相控阵规模大，所以对资源的利用与算法的复杂度提出了更高的要求，直接应用现有的方法在宽带相控阵系统中并不适用，需要进一步的研究对频域宽带阵列波束形成器进行优化，得出更适用于工程的参数优化设计是十分有必要的。

本文在对宽带相控阵系统中的关键问题进行分析后，对基于交叠FFT的频域方法进行了优化设计，分析了子阵规模、FFT点数、交叠率、位宽等参数对波束形成性能的影响，提高了时域信号的保真度和宽带波束合成的性能，为实际工程中交叠FFT参数的选取提供了依据。

1 宽带阵列中的关键问题

传统的相控阵系统是一个窄带系统，阵列规模较小，传输信号的带宽窄(仅有几十MHz)且阵列的扫描角较小(一般不超过50°)。

为了分析的简洁性，以均匀线阵为例。数字相控阵波束形成如图1所示，设阵元数量为M，阵元间的间距为d，以线阵最左侧的天线阵元为参考阵元，远场信号的入射方向与线阵法线的夹角为θ。

图1 传统数字波束成形原理框图

因为各个阵元天线之间的位置不同，所以接收到信号的时间也就存在误差，第m个阵元天线接收到信号的时间与第一个天线阵元接收到信号的时间之间的时间差为：

(1)

在进行窄带系统数字波束形成时，信号可以简化为一个单频信号，因此可通过移相的方式代替补齐阵元时间差，则在期望方向上的合成信号为：

(2)

Wm=ej2πf0τm，m=1，2，…，M

(3)

其中：xmb为每个阵元接收到的信号，Wm为每个阵元的权值。

假设每个天线阵元的方向图是全方向性的，在天线波束的扫描范围内，可以忽略单个阵元天线方向图的影响。θB为天线波束最大指向，也是信号的期望方向和移相器设计的参考方向。

天线阵列中相邻天线单元之间相位差ΔφS为：

(4)

这个相位差可以由移相器来补偿，当信号方向为θB时，移相器提供的第M个单元与参考单元之间的相位差φB为：

(5)

令(M-1)d=L，则L表示天线线阵两端两个单元之间的间距，即线阵孔径。

均匀线阵的方向图函数F(θ)则可以表示为：

(6)

信号频率由f变为f+Δf后，对位于θB方向目标，则其回波信号在第M个单元与参考单元之间产生的真实相位差将变为：

(7)

其中：φ0是频率没有改变的原始相位差，ΔφS是因为频率改变引起的相位差的变化值，在传统相控阵系统中ΔφS可以忽略。

宽带相控阵系统是一个有几十上千阵元组成的大规模系统，并且传输信号高达几百上千MHz，同时扫描角一般不小于50°。

(8)

最终可以得到：

(9)

(10)

公式(10)计算出了信号频率由f变为f+Δf后所引起的天线波束指向的偏移Δθf，解释了天线波束指向随信号频率的改变而在空间摆动的原因。这种波束指向的摆动就是相控阵天线波束在空间的色散现象，也可以称为“孔径效应”[21]。

(11)

基于以上的问题，目前在宽带相控阵系统中通常使用更加精细的延时方法代替移相器。但由于硬件的限制，大规模的天线阵元使用更加精准的延时补偿方法在制造成本上和系统实现上存在一定的难度，因此可以采用子阵划分的方式来降低阵列天线的制造成本。

如图2所示，将M个阵元划分为M1个子阵，每个子阵内有M2个天线阵元。在子阵内采用模拟域的方法，每个天线阵元后加移相器进行相位补偿；对子阵合成的信号进行下变频和采样后，在各个子阵之间采用数字域的方法，对每个子阵加延时器进行更加精准的延时补偿。

图2 宽带相控阵系统波束形成流程

那么，如何在子阵划分的基础上进行合理的延时补偿，成为了宽带相控阵波束形成需要解决的关键问题。

2 基于交叠FFT的波束形成方法

在宽带相控阵系统中使用频域的方法进行时间延迟补偿，可以在子阵划分的基础上采用FFT方法进行波束形成。

对信号进行FFT的分段处理，这个过程相当于在频域加上一个矩形窗滤波，相当于原信号进行了带通滤波。频域上加窗表现为在时域上做卷积运算，由于滤波器建立时间的原因，时域信号中的点出现误差，这使得在IFFT之后获得的该波束输出时间序列与理想输出间存在误差。这就造成了分段进行FFT波束形成器之间输出的时间信号在各段之间出现不连续现象，这就是分段FFT波束形成器的缺点之一[22]。这个缺点可以用交叠FFT的方法进行改进，也就是在对时间信号进行分段处理时，存在一部分的重叠。

交叠FFT只取每段的输出数据仅取中间误差较小的部分，对前后段误差较大的部分不进行处理，克服了滤波器建立时间带来的影响，因此可以减轻分段信号衔接处的信号时域波形失真带来的影响。

在子阵内天线接收的信号使用移相器进行相位补偿，合成信号之后，再将各个子阵输出的信号分成多个时间段，进行交叠处理。

用交叠FFT的方法对时域信号进行处理，实现流程如图3所示，实验原理如下：

图3 FFT处理流程图

首先将各个子阵接收的信号采样得到数据分别进行分段，共分为N段，每一段的段长度为L，这里采用的交叠率为r，也就是在每次进行处理的时域数据都包含前一段数据的r。在最后一段时域数据中，如果信号的点数小于FFT的点数，则用0将信号补足到L点。

接着对于每一段划分后的时域信号，对各阵元数据分别进行L点 FFT 变换，如公式(12)所示，得到频域窄带数据X。

l=0，1，2，…，L-1；m=1，2，…，M1

(12)

其中：角标n代表第n段的信号，角标m代表第m个子阵接收到的数据。

做L点FFT也就是将采样频率范围内的信号划分为了L个子带信号。第l个子带信号对应的中心频率fl为：

(13)

然后提取出各子阵各窄带数据矩阵，由于工作频带一般是有限的，有用信号仅占所有子带信号中的部分，所以我们进行处理的时候只需提取出位于工作频带内的窄带数据，其余不涉及的子带信号置零即可。

对每个子带信号使用对应的移相器进行时移，移相器对应的表达式为：

l=0，1，2，…，L-1；m=1，2，…，M1

(14)

其中：m为第m个子阵，n为第n段数据，l为第l个子带，θ为信号的期望方向。

之后对各窄带数据进行加权求和，得到各子带波束数据。

l=0，1，2，…，L-1；m=1，2，…，M1

(15)

对各自带波束输出进行 IFFT 变换得到宽带信号的时域输出序列。

l=0，1，2，…，L-1；m=1，2，…，M1

(16)

最后将若干段的时域输出信号重构成波束输出最终的时域信号。

使用交叠的方法仅仅可以改善截断效应带来的误差问题，但是因为交叠FFT方法的本质仍然是将划分出的子带信号当作一个单频信号进行相位补偿来达到延时的效果，所以这种方法仍有一定的局限性，存在一定的误差。延时误差可以通过下式计算：

m=1，2，…，M1

(17)

可以得知当设计移相器参考的频率与信号实际频率相差越大，时延补偿的误差越大。所以子带信号的带宽越窄，每个子带的时延的误差也就越小，合成信号的保真度也就越高，合成波束方向图也就更加接近理论值。同时也可以推测出在频率最低的子带中，延时误差最大。

3 参数优化设计

因为基于交叠FFT的宽带波束形成的方法存在的局限性，所以子阵规模、交叠率、采样率、FFT点数、位宽等参数的影响选取对时延性能、时域输出波形的保真度以及波束合成的性能都会产生影响，以下就对各个参数进行选取及分析，对此方法进行优化。应用中要求合成损失在0.5 dB以内，波束指向的偏移不超过0.1°，最终合成信号的归一化误差小于0.1，延时补偿的相对误差不超过0.1倍符号速率的10%。

为了分析的简洁性和代表性，研究时采用的仿真模型是的均匀线阵，其中阵元间距d=25 mm，阵元的个数为M。为了实现的简便性，子阵划分采用均匀划分。

接收信号的频率范围为[5.4 GHz，6 GHz]，采样率为2.4 GHz，对信号进行下变频等处理之后，最后进行延时的信号频率范围为[0，600 MHz]。

仿真采用线性调频信号：

(18)

其中：f0为初始载频，τ为脉冲宽度，K为线性调频信号的调频斜率，B为信号带宽。

在此模型上研究了子阵规模、FFT点数、交叠率、位宽和采样率等几个参数的选取。

3.1 子阵规模

以来波方向相对于阵面法线方向60°为例进行分析，采用以宽带信号的中心频率5.7 GHz进行设计的移相器进行相位补偿。

若合成增益损失不超过0.5 dB，接收信号的带宽为600 MHz，则根据计算公式，可以计算出理论的天线口径：

(19)

(20)

其中：Δf为接收信号频率变化范围与设计移相器时使用的频率之间的误差，也就是300 MHz，c表示光速，θ为波束偏离天线阵列法向方向的最大角度，L表示天线口径。

若最大角度θ不超过60°，则可以计算出天线口径L应该小于0.288 m，因为阵元天线的间距为0.025 m，所以可以计算出，子阵内的阵元数量不超过9。

图4表示了子阵内采用移相器进行延时补偿时，接收信号频率范围内合成增益的变化情况。通过改变仿真的子阵内天线阵元的数量，可以得到子阵内的阵元数量与合成增益变化之间的关系如表1所示，可以看到随着阵元个数的增多，在中心频点±300 MHz增益损失的增大，在阵元个数为8时，增益损失为0.43个dB，和理论的分析值一致，且可以满足0.5 dB以内的增益损失要求，所以在划分子阵的时候，可以采用子阵内的阵元个数为8个这种方案。

表1 线阵规模与线阵增益之间的关系(中心频点5.7 GHz、±300 MHz带宽、扫描角60°、按中心频点移相)

图4 来波方向为60°时接收信号频率范围内合成增益变化

3.2 FFT点数

3.2.1 延时效果

假设FFT点数L=512，将信号延时0.1倍的符号速率，因为采样率选择的是2.4 GHz，可以得出延时0.1倍符号速率需要延时0.4倍采样间隔，延时效果如图5所示，虚线表示延时前的信号，实现表示延时后的信号。从图中结果可以看出，信号经过交叠FFT的方法延时之后，信号从第144.2个采样间隔延时到了144.626个采样间隔，与设置的0.4倍的采样间隔存在一定的误差，相对误差达到了6%，可以满足需求。FFT点数与延时精度之间的变化关系如表2所示，可以看到随着FFT点数的增加，延时的精度越来越高，延时后的误差变小，相对误差减小。当FFT点数大于等于512时，相对误差小于10%，可以达到工程中的延时要求。

表2 FFT点数与延时误差的关系

图5 延时0.1倍的符号速率的结果

相对误差计算公式：

3.2.2 时域信号保真度

当阵元数为64，FFT的点数L=32时，阵列合成信号波形图与原始信号的波形图以及两者归一化之后的误差如图6所示，归一化误差最大可以达到0.63，远不能达到实际工程的指标要求。改变FFT的点数，FFT点数与归一化误差的关系如表3所示。

图6 FFT点数对时域合成信号影响图

表3 FFT点数与信号归一化误差的关系

可以得出，当FFT点数增大时，归一化误差的最大值减小，在L=256时，归一化误差小于0.1，基本可以满足时域信号的保真度的要求。

3.2.3 合成波束方向图

合成波束指向如图7(a)(b)所示，图中纵轴表示阵列的增益，横轴表示来波方向，“--”线代表信号频率为5 400 MHz时的波束方向图，实线代表信号频率为5 700 MHz时的波束方向图，“-”线表示信号频率为6 000 MHz时的波束方向图。在这三个频率形成的波束指向均为60°，仿真得到的波束宽度为3.28°左右，与理论值存在一定的误差。其中图8中表示的是当信号的频率变化时，期望方向的阵列增益的变化，可以看出当信号的频率在通带范围内变化时，仿真阵列的增益为35.68 dB与理论计算的增益值误差在0.44 dB。

图7 波束方向图

图8 期望方向增益变化图

改变FFT的点数，FFT点数与方向图的各个参数的关系如表4所示。随着FFT点数的增加，合成增益、波束指向和波束宽度与理论值之间的误差逐渐减小，在点数到256时，误差达到了实际工程应用的需要，所以按照此标准FFT点数应不小于256。

表4 FFT点数与方向图各个参数的关系

综合以上几个方面的考虑，可以得出当FFT 的点数达到512时，就可以满足指标的要求。

3.3 交叠率

假设FFT点数L=256，改变信号的重叠率，可以得到重叠率与各个指标之间的关系，如表5所示。可以看到，当交叠率很小的时候，最大归一化误差较大，随着交叠率增大，误差减小，当交叠率达到1/8时，误差稳定在0.07，所以在工程实现中，可以将交叠FFT 的交叠率设定为1/8。

表5 重叠率与最大归一化误差之间的关系(FFT点数L=256)

假设FFT点数L=512，改变信号的重叠率，可以得到重叠率与各个指标之间的关系，如表6所示。可以看到，当交叠率很小的时候，最大归一化误差较大，随着交叠率增大，误差减小，当交叠率达到1/16时，误差稳定在0.03，所以在工程实现中，可以将交叠FFT 的交叠率设定为1/16。

表6 重叠率与最大归一化误差之间的关系(FFT点数L=512)

3.4 位宽

假设FFT点数L=512，改变每个子带使用的移相器的位宽，假设权值信息为nbit有符号数，处理时将信息源按比例放大 2n-2倍，然后进行取整运算。这里放大2n-2倍是由于 FPGA中n位有符号数的表示范围为 -(2n-1-1)～(2n-1-1)，因为原始信号的范围为(-1，1)，当信号为-1时，FPGA 则将信号判定为0，会造成计算的错误，所以在处理时将数据进行2n-2倍扩大。

此时设置延时0.1倍的符号速率，权值的位宽与延时精度之间的关系如表7所示，可以看出当位宽为8 bit时，延时的误差与设置误差之间的误差较大，当位宽达到12 bit时，相对误差稳定在小于10%，可以达到实际应用中的指标要求，所以位宽应该至少采用12 bit。

表7 位宽与延时精度之间的关系

3.5 采样速率

处理的信号带宽为600 MHz，FFT的点数J=512，将信号延时0.1倍的符号速率，此时改变采样速率，可以得到采样速率与延时精度之间的关系，如表8所示。可以看到当采样率满足采样定理或者是带通采样定理的时候，采样速率增大并没有影响交叠FFT的延时效果，延时相对误差均小于10%，所以可以实际根据需求选择采样速率。

表8 采样速率与延时精度之间的关系

4 结束语

为了提高宽带相控阵系统的波束合成性能，使频域宽带波束合成应用在更多的领域，本文经过多次仿真分析，确定了交叠FFT参数对延时精度、信号保真度和波束性能的影响，其中采样率和交叠率对波束合成性能的影响不大，在实际应用之中子阵规模、FFT点数以及位宽的选取需要更加仔细地分析及验证。经本文研究子阵规模不超过9个天线阵元时合成损失在0.5 dB以内；FFT点数不小于512、交叠率不小于1/16、位宽不小于采用12 bit时可以达到合成损失在0.1 dB以内，波束指向的偏移不超过0.1°、最终合成信号的归一化误差小于0.1、延时补偿的相对误差不超过0.1倍符号速率的10%的要求，最终实现了频域宽带阵列波束合成技术的优化，为交叠FFT方法应用在实际工程中提供了依据与参考。

但本文还未真正地将频域宽带阵列波束形成器实现，仅仅是进行了仿真分析，在实际应用的时候还应考虑量化等问题。同时针对宽带波束合成中的时延补偿方面，仍有很多值得讨论的问题，比如子阵间的时间延时由于受到信道等因素的影响，实际的延时值与理论计算值存在一定的误差，因此如何对时间延迟进行精准的估计也是值得研究的。