借助Python实现“概率统计”实验教学的改革与探索

姚海云 胡晓飞 王子群 李振华 梁兰菊

摘 要：“概率统计”是一门非常重要的公共必修基础课，然而传统教学中存在诸多痛点问题，导致该门课程的教学目标难以完成。本团队秉承“以学生发展为中心”的思想，基于OBE教学理念，借助Python软件，结合教学内容模拟绘制本课程的定理、公式概率模型的图形，实现可视化的教与学，真正做到数形结合，加深学生对抽象概念和定义的理解，激发学生的学习积极性，锻炼学生独立探索创新和解决实际问题的能力，提高课堂教学质量，达到本课程的培养目标。

关键词：概率统计；Python；实验教学；实践教学

一、概述

随着当今数据时代的到来，数据的重要性已经成为各行各业决策的关键驱动力，与数据分析密切相关的“概率统计”作为一门大学生必修的公共基础课程，越来越受到各大高校的重视［13］。“概率统计”课程涉及许多领域，如医疗、金融、工程、生物、材料等，在今天数据爆炸的时代，“概率统计”更是成为大数据时代的必备技能［45］。通过学习“概率统计”，学生可以了解如何从数据中提取有用的信息，如何对数据进行建模和分析，以及如何在实际应用中运用概率统计方法来解决问题［67］。但是“概率统计”知识结构偏重理论推导与证明，数学逻辑很强，抽象内容多，学习难度大，这就导致很多学生失去学习本课程的兴趣和积极性，最终只是为了考试而学习，无法达到本课程的培养目标。此外传统教学模式单一，偏重教师讲解，学生被动听讲和做练习，缺乏对实际应用的训练，导致学生缺乏实际操作能力，难以将理论知识应用于实际问题中，无法培养学生学习这门课的创造力和思维能力。因此，“概率统计”的创新改革势在必得，也是顺应时代发展的必经之路［89］。

Python语言［10］在数据分析和统计学方面非常流行，有许多相关的库可提供各种计算和统计功能，使Python在处理大量数据和进行高级分析方面非常出色。本团队提出借助Python软件的强大功能，引入“概率统计”课程教学改革中。利用Python软件模拟本课程中难以理解的公理化定义、定理等，将内容用图形表示出来，学生通过可视化图形加深对知识的理解和记忆，可达到事半功倍的效果，提高教学质量。下面通过4个具体的项目实验案例说明Python可视化效果在课堂教学中的应用。

二、Python软件实现实验教学的实践探索

（一）项目实验——三门问题

三门问题出自美国的一档电视游戏节目。游戏规则如下：现场有三扇门，只有一扇门后有汽车，其余两扇门的都是山羊。首先参赛者选择其中一扇门，然后主持人打开另外两扇门后有羊的一扇门，最后主持人询问选手是否选择更换门。问题是：选手更换门是否可以增加赢得汽车的机会？作为一个项目案例，与之相关的概率统计内容是本课程的第一章中非常重要的一个公式——贝叶斯公式：

PAi|B=PB|AiPAi∑jPB|AjPAj（1）

利用贝叶斯公式解决三门问题时，首先假设选手选择1号门，主持人打开3号门（事件A），车在i门后（事件Bi），实际上问题就变成了计算PB1|A，PB2|A2个概率的大小，通过计算概率我们发现第一个概率是13，第二个概率是23，显然选择换门会加大赢得汽车的机会。此时让学生利用软件Python构建情景教学，进行数学实验模拟，计算以上两个概率数值分布，更加直观地认识加深理解和运用。最后让学生自己从模拟结果总结规律，加深理解贝叶斯公式，实现高阶性、创新性的培养目标。

Python程序设计代码如图1：

程序运行结果如图2所示：

（二）项目实验——离散型随机变量分布实验（泊松分布）

第二章讲到离散型随机变量的分布，其中泊松分布是最贴切生活的重要分布之一。它主要来描述单位时间内随机事件发生的次数的概率分布，比如在一段时间内发生的地震次数、特大洪水次数、商场接听电话次数等都近似服从泊松分布。其分布律为：

PX=k=λkκ！e-λ（2）

利用案例讲解分析泊松分布的实际应用：客服接听电话的案例，假设每一个来电是相互独立随机的，一个小时内客服接听来电数量就符合泊松分布。同样使用Python模拟的方法绘制本案例的泊松分布曲线，更加直观深刻地加深学生对于泊松分布的理解。假设每个小时来电数量分别是5和10（即SymbollA@

=5和SymbollA@

=10）。最后让学生总结规律以及不同SymbollA@

值对于泊松分布曲线的影响。

Python程序设计代码如图3：

程序运行结果如图4所示：

（三）项目实验——连续型随机变量分布实验——正态分布

第二章讲到连续型随机变量的分布，其中正态分布是所有分布中最常用也是最重要的分布。它可以来解决生活中许多概率问题，而且正态分布有许多独特的性质，比如概率分布曲线成对称性、x轴是渐近线以及3SymbolsA@

规则等。其概率密度函数为：

fx=1 2πσe-（x-μ）22σ2，-SymboleB@

<x<+SymboleB@

（3）

其中SymbolsA@

（SymbolsA@

>0）、SymbolmA@

是常数。讲解完正态分布的密度函数以后，对应给出密度函数曲线图形，同时让学生利用Python模拟绘制不同SymbolsA@

、SymbolmA@

的值對于密度函数曲线图形的影响，总结规律。

Python程序设计代码如图5：

程序运行结果如图6所示：

（四）项目实验——抛硬币实验

第五章讲到伯努利大数定律时，从理论上说明了频率和概率的关系，即概率是由频率推导出来的，且频率依概率收敛于随机变量的概率值，

其定理如下：对于任意给定的SymboleA@

>0有

limn→SymboleB@

Pmn-p<ε=1（4）

实际上要得到概率的值，就需要进行大量独立重复的试验，且重复试验次数越多，频率越接近概率。为了更加直观地表达大数定理的含义，利用Python编写代码模拟抛硬币实验，绘制抛硬币次数的多少与正面朝上出现的频率的动态变化关系曲线，总结规律，从抛硬币的实验上验证大数定理。随着试验次数的增加逐步体现出频率稳定性的结论。

Python程序设计代码如图7：

程序运行结果如图8所示：

三、结论

针对本课程目前存在的教学痛点问题，团队教师几年来一直在积极参与教学改革创新探索，秉承“以学生发展为中心”的思想，提出把Python软件引入课堂教学中，充分发挥Python软件的功能，模拟“概率统计”中的定理、公式模型，绘制曲线图形。这样的创新改革不仅丰富了教学手段和教学内容，便于数形结合思想的运用，而且把感知、理解、运算和应用融为一体，通过可视化图形更加直观地为学生揭示数学原理的本质和内在联系，从而激发学生学习本课程的积极性和兴趣，使学生更好地理解概率统计的实际应用，以及更好地将这些知识应用于实际问题的解决方案中，提升课堂教学质量。

参考文献：

［1］郭良栋，武力兵.大数据时代下《概率论与数理统计》课程教学改革的研究与实践［J］.教育教学论坛，2018，358（16）：149150.

［2］黎薇.基于翻转课堂概率论与数理统计课程教学研究［J］.当代教育实践与教学研究，2020（04）：2324.

［3］尚云艳.创新教育下概率论与数理统计课程教学改革研究［J］.新课程研究，2021（21）：2627.

［4］王剑凌.概率论与数理统计课程的教学改革——以创新创业教育为导向［J］.科教文汇，2020（07）：5758+86.

［5］尹慧，周末.《概率论与数理统计》课程“三联两强一创”教学创新的研究与实践［J］.数据，2022（09）：104106.

［6］田苗，陈俊英，王福顺.概率论与数理统计课程“四合三联”创新性教学体系探索［J］.中国大学教学，2022（08）：6367.

［7］刘铁.基于WA的数学建模与实验融入概率统计课程的案列设计——防疫检测效率提升模型及其改进［J］.安康学院学报，2022，34（04）：4953.

［8］刘明姬.大学数学课程实验在教学改革中的探索——Mathematica在概率统计中的应用教学研究［J］.吉林广播电视大学学报，2016（05）：82+91.

［9］刘泽显，刘志伟，王勤龙.基于Matlab的概率统计实验教学的探索与实践［J］.贺州学院学报，2014，30（04）：122126.

［10］王书芹，郭小荟.基于百度AI Studio平台+腾讯课堂的“Python程序设计”课程线上教学［J］.江苏师范大学学报（自然科学版），2023，41（01）：7375.

基金项目：2022年度教育部产学合作协同育人项目（项目编号：220502116300328）

作者簡介：姚海云（1990— ），女，汉族，内蒙古乌兰察布人，博士研究生，副教授，研究方向：太赫兹微纳器件。