相似三角形与函数综合问题探究

王勇

［摘 要］在近几年的各地中考数学试题中，相似三角形与函数综合考查成为中考命题的热点。文章结合四个典型例题，探讨相似三角形与函数综合问题，旨在夯实学生基础，发展学生思维，培养学生核心素养。

［关键词］相似三角形；函数；综合问题

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2023）29-0010-03

在近几年的各地中考数学试题中，相似三角形与函数综合考查成为命题的热点，它包括相似三角形与一次函数综合、相似三角形与反比例函数综合、相似三角形与二次函数综合、相似三角形与绝对值函数综合。下面笔者结合例题逐一分析探讨。

一、相似三角形与一次函数综合

一次函数的图象是一条直线，它与两坐标轴相交形成直角三角形，以原点为直角顶点再放置一个相似的直角三角形，会形成“手拉手”相似三角形模型，利用相似三角形的性質可以求线段的长度，确定线段的最小值等。

解析：（1）利用两角对应相等的两个三角形相似，得[△BDC ]∽[△EDO]，从而得证。∵[OC⊥OE]，∴[∠COE=90°]，∴[∠AOB=∠COE=90°]，∵[∠OCD=∠OAB]，∴[∠ABO=∠CEO]，∵[∠BDC=∠EDO]，

（3）根据[OA=OF]可知，F在以O为圆心，以OA为半径的半圆上运动，在[△OBF]中，由三角形的三边关系，得[BF>OF-OB]，所以当F在y轴上，且在B的上方时，BF的值最小，由此得到BF的最小值。如图5所示，由对称得：[OA=OF]，动点F在以O为圆心、以OA为半径的半圆[AFA']上运动，因为[OB=6]，在[△OBF]中，由三角形的三边关系得[BF>OF-OB]，所以当F在y轴上，且在B的上方时，BF的值最小，如图6所示，此时[BF=OF-OB=8-6=2]，即BF的最小值是2。

二、相似三角形与反比例函数综合

相似三角形与反比例函数综合问题主要考查相似三角形存在性问题、三角形面积等，要求学生掌握相似三角形的判定、反比例函数的性质等，且要具备分类讨论、数形结合等数学思想方法。

三、相似三角形与二次函数综合

［例3］如图9所示，在平面直角坐标系中，二次函数[y=mx2+nx+4]（[m≠0]）的图象交[x]轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为[（-3，0）]，点B的坐标为（1，0），以OA、OC为边作矩形OADC，且边CD交二次函数的图象于点M。（1）求二次函数的表达式；（2）现有一条垂直于x轴的直线[x=a]在[A]、[O]两点间（不包括A、O两点）左右移动，分别交x轴于点E，交CD于点F，交AC于点P，交二次函数的图象于点Q，请用含a的代数式表示QP的长；（3）在（2）的条件下，连接QC，则在CD上方的二次函数的图象上是否存在这样的点Q，使得以Q、C、F为顶点的三角形和[△AEP]相似？若存在，直接写出a的值；若不存在，请说明理由。

四、相似三角形与绝对值函数综合

绝对值函数的本质还是分段函数，它的函数图象一般为轴对称图形，在绝对值函数里也会讨论相似三角形的存在性问题。