一类2+1维群体平衡方程的尺度变换群分析及自相似解

林府标，王 骞，张千宏

(1.贵州财经大学 数学与统计学院，贵州 贵阳 550025；2.贵州师范大学附属中学，贵州 贵阳 550001)

0 引言

群体平衡方程[1-4]广泛用于固体物的破损过程、细胞种群的生长过程、聚合过程、 结晶和沉淀过程、基因调控过程、分散相系统、环境和工程学、农业工程学、生物医学工程学、血液学、制药工程学、生物化学、分子生物学、形态结晶学、细胞生物学等.

群体平衡模型在实体应用领域，关键是缺乏精确求解的技术和理论，而偏微分方程目前已提出多种解析研究途径[5-6]，因此，研究方法常采用数值离散方案，如矩方法、蒙特卡罗方法等[1-4].既有聚合又有破损过程的群体平衡方程[1-2]可写成

(1)

式中：x为微粒的尺寸坐标；t为时间；f(x，t)刻画t时刻种群密度分布；v(x，t)描述尺寸为x的微粒在t时刻破损的平均数量；b(x，t)刻画微粒在t时刻破损的频率，代表单位时间内正在破损的部分；p(x|y)刻画尺寸为y、破损尺寸为x的微粒的粒度分布，满足

其值由实验观测或破损过程的实体模型决定.聚合核K(x，y)刻画尺寸为x和y的微粒对聚合的频率，满足

K(x，y)=K(y，x)≥0.

γ次齐次核[1-2]

K(λx，λy)=λγK(x，y)，

(2)

广泛应用于实体科学工程领域，其中，γ，λ均为常数，γ是齐次的度.如数学上易处理的齐次核[1-4]为

(3)

式中，ki(i=0，…，4)为正常数.选取v(x，t)、p(x|y)和b(x，t)分别为

(4)

式中，ν，κ，p均为常数，κ>0，p≥0.若令y=xs，用式(2)可得

(5)

因此，用式(4)和式(5)，方程(1)可写成

(6)

方程(6)的解析解法和精确解既重要又缺乏，经典李群方法[7-9]不能用于研究方程(6)，需用改进的李群理论[10-11]，但此方法最大困难和障碍是求解决定方程[12-14].受前人的工作[10-11]和文献[12-14]的启发，该文用尺度变换群方法研究方程(6)的群不变量、自相似解、精确解、约化方程.

1 尺度变换群

假设方程(6)接受的尺度变换群为

(7)

其中，a，λ1，λ2，μ均为常数，式(7)对应的无穷小李对称算子为

(8)

依据式(7)的假设，变换群式(7)将方程(6)的任一解f=f(x，t)变成同一方程

(9)

的解.因此，将式(7)代入方程(9)，由式(2)，得到

(10)

注意f=f(x，t)是方程(6)的任一解，由方程(10)推出

λ2=-λ1p，μ=(p-γ-1)λ1.

(11)

类似于式(7)，可以验证方程(6)接受平移变换群

(12)

定理1方程(6)的不变群的部分生成元，构成一个2维的子李代数L2=span{X1，X2}，并有下列一组基

(13)

定理2设用改进的李群分析法，获得方程(6)的不变群的全体生成元，构成的李代数为L，则有L2⊆L.

2 自相似解

2.1 情形K(x，y)=k0

针对K(x，y)=k0，用式(2)，得到γ=0.算子X1，p≥0对应的群不变量为J1=x，J2=f.因此，方程(6)的解可以写成

f(x，t)=φ(x)，

其中，φ(x)满足约化方程

其中，φ(z)满足约化方程

可以验证

是方程(14)的解.因此，方程(6)的精确解为

f(x，t)=exp(-α(t+τ0))φ(z)，z=xexp(-α(t+τ0))，

其中，φ(z)满足约化方程

(15)

可以验证

是方程(15)的解.因此，方程(6)的精确解为

2.2 情形K(x，y)=k1(x+y)

针对K(x，y)=k1(x+y)，用式(2)，得γ=1.算子X1，p≥0对应的群不变量为J1=x，J2=f.因此，方程(6)的解可以写成

f(x，t)=φ(x)，

其中，φ(x)满足约化方程

其中φ(z)满足约化方程

f(x，t)=exp(-2α(t+τ0))φ(z)，z=xexp(-α(t+τ0))，

其中φ(z)满足约化方程

2.3 情形K(x，y)=k2xy

针对K(x，y)=k2xy，由式(2)，可知γ=2.算子X1，p≥0对应的群不变量为J1=x，J2=f.因此，方程(6)的解可以写成

f(x，t)=φ(x)，

其中，φ(x)满足约化方程

其中，φ(z)满足约化方程

(16)

可以验证

是方程(16)的解.因此，方程(6)的精确解为

f(x，t)=exp(-3α(t+τ0))φ(z)，z=xexp(-α(t+τ0))，

其中，φ(z)满足约化方程

f(x，t)=φ(x)，

其中，φ(x)满足约化方程

其中，φ(z)满足约化方程

f(x，t)=φ(z)，z=xexp(-α(t+τ0))，

其中，φ(z)满足约化方程

f(x，t)=φ(x)，

其中，φ(x)满足约化方程

其中，φ(z)满足约化方程

f(x，t)=exp(α(t+τ0))φ(z)，z=xexp(-α(t+τ0))，

其中，φ(z)满足约化方程

3 结论

尺度变换群方法不但可以用于方程(6)，而且获得了自相似解、精确解及约化方程.用此方法研究一个新的群体平衡方程，不需要很棘手地求解决定方程.若L=L2成立，则本文所有结果均为完全的，否则仅为非完全的.能否直接用改进的李群技术[11-14]研究方程(6)的全体生成元，判断L=L2正确与否，值得在今后的研究中思考.