工科研究生“矩阵论”课程教学策略研究分析

刘丽波

(吉林化工学院 理学院,吉林 吉林 132022)

研究生是科学研究的重要组成力量,是关乎未来国家事业发展、实现科技强国的中坚力量。习近平总书记在党的十九大报告中明确提出了新时代我国社会主义教育事业的总方向和根本方针。把“立德树人”作为教育的一项根本任务,努力培养担当民族复兴大任的时代新人,培养德、智、体、美、劳全面发展的社会主义建设者和接班人[1]。高校作为研究生人才培养的摇篮,一直承担着培养具有社会主义责任感与价值观的创新型、实用型专业技术人才的主要责任和使命。

一、“矩阵论”课程开设的目的

矩阵(Matrix)这一概念最早是由数学家Sylvester创立和引入的[2],作为数学的一个重要分支,经过两个多世纪的发展,矩阵理论在数学学科以及其他科学技术领域,如数值分析、最优化理论、概率统计、运筹学、控制理论、力学、电学、电子信息科学与技术、管理科学与工程等领域都有十分重要的应用,矩阵被认为是最有用的数学工具之一,既适用于应用问题,又适合现代理论数学的抽象结构[3],理工科研究生一般都需要系统地学习“矩阵理论”。“矩阵论”是全面系统地介绍矩阵理论的一门课程,在国内研究生中大规模开设始于20世纪80年代,并逐渐成为我国高校理工科研究生必修的一门重要公共基础课[4]。其内容包括线性空间与内积空间、线性映射与线性变换、矩阵的Jordan标准型、矩阵分解、矩阵函数、Hermite矩阵、范数、广义逆矩阵等及其应用,它是本科线性代数课程的拓广和延伸[5],是研究生部分专业课程的研究基础,是我校电子信息工程专业研究生的一门重要的专业必修课,是关系到研究生培养质量的核心基础课程。通过本课程的学习,使学生在已掌握本科阶段线性代数知识的基础上,进一步深化和提高矩阵理论的相关知识。要求学生从理论上掌握矩阵的相关理论,会证明一些简单的命题和结论,从而培养逻辑思维和创新思维能力。要求掌握一些有关矩阵计算的方法并能应用于实际问题,如各种标准型、矩阵函数等,培养学生的实际应用能力,为今后在相关专业中实际应用打好基础。

二、“矩阵论”课程教与学中存在的问题

(一) 教师教学方面存在的问题

研究生的教学与本科生的教学有一定的差异性,其以自学为主,但作为公共基础课的矩阵论教学[4],随着近年来研究生的不断扩招,我校电子信息工程专业的研究生数量也逐年递增,班级面授学生人数近百人,教学呈现出传统教学的弊病,教学方法和手段不够灵活,比如教学方法“本科化”,传统单一,多媒体、互联网+、智慧课堂等现代化的教学手段和平台应用不够,课堂基本上还是沿用“填鸭式”授课方式,教师讲、学生听,由于学时少、任务重,每节课知识内容的信息量非常大,课上留给学生主动思考探索和互相交流的机会较少,缺乏培养学生研究能力的实践环节,不利于学生创新思维和创新能力的培养。同时主讲矩阵论课程教师一般为数学专业教师,授课导向仍是数学教师思维——注重数学理论讲解,讲概念、讲思路、讲重点难点,举例少,特别是与专业应用背景结合例子少,缺少专业特色,理论与实践结合不强,致使学生兴趣不高、应用能力不强。另外,在当前“大思政”格局下,现阶段教育的重心已由单纯的知识讲授转向能力培养,国家需要德才兼备的具有社会主义核心价值观和责任感的高质量人才,传授文化知识与育人应同向同行,而“矩阵论”作为研究生的公共基础课,具有覆盖面广、影响力大的特点,开展课程思政具有独到的优势,然而目前教学中教师思政元素挖掘不够,思政教育开展不充分。

(二) 学生学习方面存在的问题

从学生角度出发,一方面学生对课程认知不足,重视程度不够,学习态度及方法欠缺,导致学习兴趣不高。另一方面,由于课程本身内容抽象难懂,需要学生有良好的数学基础和坚忍的学习毅力,而部分同学数学基础薄弱、自我约束能力不高、自我要求较低,故学习上出现“见硬就回”,不能踏实深入学习的现象,应用能力不强。

三、“矩阵论”教学策略研究分析

针对我校“矩阵论”课程目前教与学中存在的问题,下面结合当前的教育方向、培养要求、教学特点等方面对课程教学策略进行研究分析。

(一) 上好第一堂课

任课教师要重视第一堂课。好的开始等于成功的一半。一门新课程,无论对于哪个阶段的学生,无疑是好奇和充满期待的,对于第一堂课,学生更是学习决心和信心满满的一堂课,所以教师要抓住学生这一特点,第一堂课尽可能多角度、全方位地向学生介绍这门课程起源、发展、应用以及在培养方案中的地位、大纲、授课计划以及它与本科课程的衔接、与后续研究生课程的关系等等,让学生充分了解并认识到该课程的重要性,引起学生的学习兴趣、激发学生的学习动力。其中,教师要重点将“矩阵论”课程与“线性代数”课程知识进行具体对比,最好以课件的形式向学生展示,由于“矩阵论”是本科“线性代数”课程的延伸,矩阵论的部分内容将线性代数中的实数域推广到了复数域,通过对比介绍让学生具体感知二者的区别与联系,比如线性方程组的求解问题,给定一个m个方程n个变量的线性方程组

(1)

记A表示系数矩阵,B表示常数向量,X表示未知向量,则线性方程组(1)可表示为AX=B,其中

根据线性代数知识我们知道方程组(1)解的形式:当m=n,且系数矩阵A可逆时,线性方程组(1)的解可表示为X=A-1B,但是如果m=n,且系数矩阵A不可逆时,或者当m≠n时,线性方程组的解又如何表示呢?特别地,在讨论矛盾方程AX=B时,如何定义线性方程组的解[6],这就超出了线性代数的研究范围,进而引出矩阵论中的广义逆矩阵知识来解决。再比如在线性代数中实数范围内并非所有的方阵都可以对角化,但矩阵论中任何复数域上的方阵却都和一个Jordan标准型相似,由于学生对线性代数知识比较熟悉,通过对比,学生就能对“矩阵论”课程的内容有个总体的了解和把握,为今后进一步学习打下基础。

(二) 精研教学内容

研究生阶段矩阵论的学习应该是培养思维方式和应用能力,运用矩阵视角来观察问题、分析问题、解决问题,从而达到掌握矩阵论方法,提高解决实际问题的能力[4]。因此,任课教师要具有培养学生创新思维和应用能力的意识,在知识讲授中注意把握好以下四个方面。

1.把握好矩阵理论方面的讲解

根据培养方案要求,我校电子信息工程专业“矩阵论”课程为48学时,由于矩阵论课程知识点繁多,在学时有限的情况下,教师要结合专业需求对教材内容进行适当取舍,教师讲课力求通俗易懂,主次分明,结合不同知识点的特点,合理安排讲解方法。对于一些与线性代数较为相似的知识点和学生易于接受的内容,教师可以引导学生参与推导证明以培养学生的数学思维方式和逻辑思维能力,比如线性空间中基的坐标、两组基之间的过渡矩阵、线性变换的特征值和特征向量的求解、线性不变子空间的证明、矩阵酉相似对角矩阵的充要条件等;对一些需要大量数学技巧,教学难度较大的内容,教师可以只讲清思路及应用方法,不做具体的推导,比如约当标准型理论、最小多项式理论、维数公式的证明等内容[6];对于一些前后关联密切的知识内容,教师要引导学生进行归纳总结,比如以画思维导图的形式系统地描述前后知识点之间的关系,使繁杂的知识内容在学生脑中呈现直观化、条理化和清晰化,从而整体把握章节内容,这里以南京航空航天大学戴华编著的《矩阵论》第三章矩阵与Jordan标准型为例,这一章的核心内容是任何复数域上的n阶矩阵都和一个Jordan标准型相似,要求学生掌握将矩阵化成Jordan标准型的方法,其中介绍了许多与此相关的概念诸如矩阵的Smith标准型、不变因子、行列式因子、初等因子、Jordan块等,由于概念多且相关、相似,学生容易产生混淆,而求出这些概念所对应的量是实现将矩阵化成Jordan标准型的必经过程,此时可以思维导图的形式给出求矩阵A的相似Jordan标准型的两条思路,如图1和图2所示。

图1 求矩阵A的相似Jordan标准型思路1图2 求矩阵A的相似Jordan标准型思路2

求矩阵A的相似Jordan标准型的方法以思维导图形式给出,既把本章重要知识点串联起来,同时将两种求解方法进行对比,使得求解过程清晰明了,利于学生掌握。

2.教学内容注重理论与工程应用相结合,渗透创新意识

学生对“矩阵论”课程学习积极性不高,除知识本身抽象难懂之外,学生缺少对所学知识应用的了解也是主要原因。因此,授课教师要注意挖掘知识点的工程背景和精选工程应用案例,使学生尽可能多地了解所学知识与专业之间的关系,比如在介绍矩阵具体应用的时候,可以介绍矩阵在多智能体系统上的应用、也可以以蚂蚁金服为例,介绍矩阵在处理复杂信息中的应用;在讲授“Jordan标准型”时,可以以线性系统为背景,介绍如何利用系统的Jordan标准型判断系统的可测性和可控性;讲“矩阵多项式”时,以无人机集群系统的空中自组网技术为背景,介绍如何利用随机有向图模型采用矩阵多项式来表示一致性控制过程;在介绍“矩阵函数”时,以线性系统为背景,研究控制理论中稳定性、可控性、可观性等各种不变系统中的特性;讲授“矩阵分解”时,以计算机图像处理为背景,介绍矩阵分解的作用,可以降低问题矩阵的维数,对海量数据进行压缩,能把大规模复杂问题转换为小规模简单问题等等,通过实例的讲授,不仅有效地展示了教学理论及成果和实际问题的联系,更增加了课堂氛围的生动性,让同学更好地了解本门课程的实用性[7],鼓励学生应用创新,激发学生的学习兴趣。

3.课堂教学注意开展思政教育

对于研究生教育,课堂教学还应有效开展课程思政,一方面加强思想教育,引领学生形成正确的价值观与传授文化知识,二者有机结合、同向同行培养德才兼备的高质量人才已成大势所趋,另一方面,课堂上思政元素的渗入也是引发学生听课兴趣的有效环节。教师授课过程中要有意识开展思政教学,但要注意“课程思政”不是忽视课程内容孤立的教学环节,而是要充分运用教师智慧设计课程内容渗透思政教育、思政教育助力内容讲解的二者紧密融合的整体[8]。要充分挖掘矩阵论课程中“线性变换”“相抵”“范数”“矩阵分解”等概念背后隐藏的辩证哲学道理,要结合课程内容、案例背景、科学名家、时事热点等潜移默化地开展思政教育,润物无声,鼓励学生夯实专业知识、积极投身基础研究、不畏挑战、与时俱进、学好所学、用实所学、创新所学,担当报国使命。

4.教师积极观摩和借鉴其他高校先进的教学思路,不断革新自身教学内容和方法

如厦门大学电子科学与技术学院“矩阵论”课程团队,以矩阵论在电子科学和集成电路行业的应用为出发点,引导学生认识如何将矩阵论应用于课题研究的分析和设计,通过观看《沙子变成CPU的旅程》专题课件,带领同学们了解光刻技术、芯片制造和封装等等,从而激发学生的专业使命感。我们可以将更多类似的优秀教学方法和案例融入课堂教学,拓宽我校学生的专业视野的同时使其认识到学有所用[9]。

(三) 更新教学方式

1.利用好多媒体授课平台,做好课件

良好的授课效果应该是现代教育信息技术与传统教学有机融合,要利用好多媒体教学平台,比如一些概念、定理及相关结论可以显示在课件上,但教师要注意学生的反应速度和媒体传送速度之间的时间差,幻灯片不可播放过快,导致学生听不懂、跟不上,重要推导步骤还应该在黑板上同步讲解,便于学生及时回顾理解。

2.适当开展翻转课堂,让学生成为课堂教学的主体

教学中选取部分内容以学生个体为主体或者分组进行课堂讲解、展示和讨论,使学生变被动接受数学知识为主动探索学习,比如,线性变换的特征值和特征向量,拟开展翻转课堂,可以提前布置任务给学生,学生从查阅资料、反复推敲到演练的过程中会对线性变换与矩阵的特征值和特征向量从定义到求法到应用产生深刻的理解与认识,从而“温故而知新”。这种学生主动参与式和学生合作式学习方式更能激发学生学习的积极性,活跃课堂氛围。

3.搭建“矩阵论”线上教学平台

超星学习通教学平台已连续多年在我校本科课程教学中广泛使用,效果得到全体师生的普遍认可,它是对传统课堂教学手段的有效补充。故“矩阵论”课程也搭建了学习通教学平台,通过学习通平台可以实现章节预习、线上考勤、课堂测验、问卷调查、主题讨论、分组讨论、布置作业等环节,从而增强师生互动、提高课堂效率。不同版本的电子教材、教学大纲、授课计划、教学课件、练习题等上传至学习通教学资料里供学生课后学习查阅之用,教师选取若干典型内容,录制课堂教学视频,上传到学习通教学资料里,作为线上教学资源提供给学习者或作为交流推广之用[10]。

4.教学中增设实验教学环节

“矩阵论”教学中适当嵌入数学软件,矩阵论课程中虽然有大量理论,但部分内容如矩阵特征值、矩阵分解、矩阵范数等涉及大量的矩阵计算,而人工计算只能算低阶矩阵,所以,将 MATLAB、Mathematica等数学软件融入教学中,增设实验部分的教学是很有必要的[10],此环节可以让学生亲自动手解决问题,提高学生的应用能力和创新能力。

(四) 完善评价方式

考核对一门课程的建设具有指导性作用,它直接反映了一门课程的教学效果和培养重点[4]。传统的“本科式”的课程考核方式为“平时成绩+期末成绩”。而“矩阵论”课程的考核目标是学生掌握一些有关矩阵计算的方法并能应用于实际问题,故“矩阵论”课程的考核方式在“平时成绩+期末成绩”的基础上,增加了“应用成绩”。平时成绩一部分是学生学习通里各项线上活动的积分,另一部分重点是对学生参与翻转课堂、小组讨论等线下活动的积分。期末成绩则是学生期末试卷的成绩,重点考核内容是书上知识点理论。应用成绩是课程中后期或者是结课后,教师设计若干应用问题题目,根据问题难易程度,学生独立完成或者可以将学生3～5人一组进行分组共同完成,经过试行,该评价方式考核结果更全面、更客观,更能充分调动学生的学习积极性,效果良好。

四、结束语

“矩阵论”作为高校理工科研究生的一门重要公共基础课,是研究生培养质量的核心基础课程,承担着传授知识与立德树人并重的任务。随着研究生教育改革的不断深入,如何将“矩阵论”课程的教学与专业更有效结合,如何培养研究生将矩阵理论方法应用于学科专业研究,如何培养具有社会主义核心价值观的高质量专业人才,是高等院校每一位矩阵论任课教师需要认真思考的问题,只有当丰富的教学内容遇上灵活的教学方法,课堂氛围热了起来,同学们的思路活了起来,课程思政实了起来,课程教学目标才能得以实现。