不定方程x3 ± 4 913=34y2的整数解

李 勰，贺艳峰，韩 帆

（延安大学 数学与计算机科学学院，陕西 延安 716000）

不定方程

是一类重要的三次不定方程，关于该不定方程的整数解已有不少的研究成果，其研究的内容主要集中在a=1，2，3，4，5，6，7，10，11，13，15，29。文献［1］证明了当a=±1，D>2，D无平方因子且不能被3 或6k+1 形素数整除时，方程（1）仅有平凡解x=±1，y=0；文献［2］证明了当a=±1，D>1，D无平方因子且不能被6k+1 形素数整除时，方程（1）除x3+1=2y2仅有整数解(x，y)=(1，±1)，(23，±78)外，无其他整数解；文献［3］证明了当a=±1，D=2时，方程（1）仅有正整数解(x，y)=(1，1)，(23，78)；文献［4］证明了当a=1，D=2 019 时，方程（1）仅有平凡整数解(x，y)=(-1，0)；文献［5］研究了当a=±3，D=pq时，方程（1）的整数解问题；文献［6］研究了a=±13，D=26 时，方程（1）的整数解问题；文献［7］研究了当a=±5，D=6q时，方程（1）的整数解问题；文献［8］研究了当a=±1，D=14时，方程（1）的整数解问题；文献［9］证明了当a=-3，D=119 时，方程（1）仅有整数解(x，y)=(3，0)；文献［10］研究了当a=-2，D=13时，方程（1）的整数解问题；文献［11］研究了方程x3+27=182y2和x3+8=273y2的整数解问题；文献［12］证明了当a=-1，D=749时，方程（1）仅有整数解(x，y)=(1，0)；文献［13］证明了当a=-1，D=1 043 时，方程（1）仅有整数解(x，y)=(1，0)；文献［14］证明了当q≡1(mod 12) 时，方程x3-1=709qy2有解的充要条件，且q满足一定条件时，该方程无正整数解。而当a=±17，D=34时，方程（1）的整数解到目前为止未见研究。

本文主要利用同余式的性质证明了当a=±17，D=34 时，不定方程x3+4 913=34y2仅有正整数解（x，y）=（17，17），（391，1 326），不定方程x3-4 913=34y2仅有整数解(x，y)=(17，0)。

1 相关引理

引理1［15］不定方程

仅有正整数解(x，y)=(1，1)，(23，78)。

不定方程

仅有整数解(x，y)=(1，0)。

2 主要结果

定理1不定方程仅有正整数解(x，y)=(17，17)，(391，1 326)。

证明当x≡0(mod 17)时，有x3≡0(mod 173)，则由式（2）知y≡0(mod17)。令x=17x1，y=17y1，代入式（2），整理得(x1)3+1=2(y1)2。由引理1知，不定方程x3+1=2y2仅有正整数解（x，y）=（1，1），（23，78）。故x=17，y=17 或x=391，y=1 326，即不定方程x3+4 913=34y2仅有正整数解（x，y）=（17，17），（391，1 326）。

(x+17，x2-17x+289)=

(x+17，(x+17)2-51(x+17) +172× 3)=1或3，所以方程x3+4 913=34y2在(a，b)=1 且a≠0 时，给出下列8种可能的情形：

情形一：x+17=a2，x2-17x+289=34b2，y=ab；

情形二：x+17=2a2，x2-17x+289=17b2，y=ab；

情形三：x+17=3a2，x2-17x+289=102b2，y=3ab；

情形四：x+17=6a2，x2-17x+289=51b2，y=3ab；

情形五：x+17=34a2，x2-17x+289=b2，y=ab；

情形六：x+17=17a2，x2-17x+289=2b2，y=ab；

情形七：x+17=102a2，x2-17x+289=3b2，y=3ab；

情形八：x+17=51a2，x2-17x+289=6b2，y=3ab。

下面分别讨论这8种情形下方程（2）的整数解。

情形一：x+17=a2，x2-17x+289=34b2，y=ab。

对x2-17x+289=34b2两边同时取模17，得x2-17x+289 ≡ 34b（2mod17）。从而有x2-17x+289 ≡ 0（mod17），x2-17x≡0（mod17），则 有x2≡0（mod17），即x≡0(mod 17)与上述x0(mod 17)相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3+4 913=34y2的整数解。

情形二：x+17=2a2，x2-17x+289=17b2，y=ab。

同情形一，得x2-17x+289 ≡17b2(mod 17)，则有x≡0(mod 17)与上述x0(mod 17)相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3+4 913=34y2的整数解。

情形三：x+17=3a2，x2-17x+289=102b2，y=3ab。

同情形一，得x2-17x+289 ≡102b2(mod 17)，则有x≡0(mod 17)与上述x0(mod 17)相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3+4 913=34y2的整数解。

情形四：x+17=6a2，x2-17x+289=51b2，y=3ab。

同情形一，得x2-17x+289 ≡51b2(mod 17)，则有x≡0(mod 17)与上述x0(mod 17)相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3+4 913=34y2的整数解。

情形五：x+17=34a2，x2-17x+289=b2，y=ab。

由x+17=34a2得x=34a2-17=17（2a2-1），故 有17|x，与x不能被17 整除相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3+4 913=34y2的整数解。

情形六：x+17=17a2，x2-17x+289=2b2，y=ab。

同情形五，由x+17=17a2得17|x，与x不能被17 整除相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3+4 913=34y2的整数解。

情形七：x+17=102a2，x2-17x+289=3b2，y=3ab。

同情形五，由x+17=102a2得17|x，与x不能被17 整除相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3+4 913=34y2的整数解。

情形八：x+17=51a2，x2-17x+289=6b2，y=3ab。

同情形五，由x+17=51a2得17|x，与x不能被17整除相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3+4 913=34y2的整数解。

得证。

定理2不定方程

仅有整数解(x，y)=(17，0)。

证明当x≡0(mod 17)时，有x3≡0(mod 173)，则由式（3）知y≡0(mod17)。令x=17x1，y=17y1，代入式（3），整理得(x1)3-1=2(y1)2。由引理1知，不定方程x3-1=2y2仅有整数解(x，y)=(1，0)。故x=17，y=0，即不定方程x3-4 913=34y2仅有整数解(x，y)=(17，0)。

当x0(mod 17)，即x不能被17整除时，由于

（x-17，x2+17x+289）=

（x-17，（x-17）2+51（x-17）+172×3）=1或3，所以方程x3-4 913=34y2在(a，b)=1 且a≠0 时，给出下列8种可能的情形：

情形一：x-17=a2，x2+17x+289=34b2，y=ab；

情形二：x-17=2a2，x2+17x+289=17b2，y=ab；

情形三：x-17=3a2，x2+17x+289=102b2，y=3ab；

情形四：x-17=6a2，x2+17x+289=51b2，y=3ab；

情形五：x-17=34a2，x2+17x+289=b2，y=ab；

情形六：x-17=17a2，x2+17x+289=2b2，y=ab；

情形七：x-17=102a2，x2+17x+289=3b2，y=3ab；

情形八：x-17=51a2，x2+17x+289=6b2，y=3ab。

下面分别讨论这8种情形下方程（3）的整数解。

情形一：x-17=a2，x2+17x+289=34b2，y=ab。

对x2+17x+289=34b2两边同时取模17，得x2+17x+289≡34b2（mod17）。从而有x2+17x+289≡0（mod17），x2+17x≡0（mod17），则有x2≡0（mod17），即x≡0（mod17）与上述x0(mod 17)相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3-4 913=34y2的整数解。

情形二：x-17=2a2，x2+17x+289=17b2，y=ab。

同情形一，得x2+17x+289 ≡17b2(mod 17)，则有x≡0(mod 17)与上述x0(mod 17)相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3-4 913=34y2的整数解。

情形三：x-17=3a2，x2+17x+289=102b2，y=3ab。

同情形一，得x2+17x+289 ≡102b2(mod 17)，则有x≡0（mod17）与上述x0（mod17）相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3-4 913=34y2的整数解。

情形四：x-17=6a2，x2+17x+289=51b2，y=3ab。

同情形一，得x2+17x+289 ≡ 51b（2mod17），则有x≡0（mod17）与上述x0(mod 17)相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3-4 913=34y2的整数解。

情形五：x-17=34a2，x2+17x+289=b2，y=ab。

由x-17=34a2得x=34a2+17=17(2a2+1)，故有17|x，与x不能被17 整除相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3-4 913=34y2的整数解。

情形六：x-17=17a2，x2+17x+289=2b2，y=ab。

同情形五，由x-17=17a2得17|x，与x不能被17 整除相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3-4 913=34y2的整数解。

情形七：x-17=102a2，x2+17x+289=3b2，y=3ab。

同情形五，由x-17=102a2得17|x，与x不能被17 整除相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3-4 913=34y2的整数解。

情形八：x-17=51a2，x2+17x+289=6b2，y=3ab。

同情形五，由x-17=51a2得17|x，与x不能被17整除相矛盾。因此该种情形下无满足不定方程x3-4 913=34y2的整数解。

得证。

3 结束语

本文利用同余式的性质证明了不定方程x3+4 913=34y2仅有正整数解（x，y）=（17，17），（391，1 326），不定方程x3-4 913=34y2仅有整数解(x，y)=(17，0)。

对于不定方程x3±a3=Dy2的整数解尚未得到一般解法，今后可以继续研究a、D符合其他取值情况时方程的所有整数解，从而使得形如x3±a3=Dy2这类不定方程的整数解得到解决。