复数场景创设,几何意义应用

孙宝庆

山东省华侨中学

1 复数中的概念问题

例1在复平面内,复数z=-sin 2-icos 2的共轭复数所对应的点位于( ).

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

分析：根据题设条件,结合三角函数的概念、性质,确定对应三角函数值的正负,再利用共轭复数的概念,进而确定对应复数的实部与虚部的正负,利用复数的几何意义等判断相应点的位置.

解析：因为2弧度对应的角的终边在第二象限,则有sin 2>0,cos 2<0.

故选:C.

点评：借助复数的几何意义,合理构建起复数z=a+bi(a,b∈R)在复平面内的对应点的坐标Z(a,b),结合复数的概念,利用点Z(a,b)所满足的条件来判断复数所对应的点的几何特征等.涉及复数的基本概念问题,要充分把握概念的实质,挖掘概念的内涵,不要产生混淆,否则容易出错.

2 复数中的线性运算问题

A.第一象限 B.第二象限

C.第三象限 D.第四象限

分析：根据题设条件,结合两复数所对应的向量的终点均在第四象限,利用复数的几何意义以及对应的复数的加法运算,从几何视角来直观分析与处理,进而确定两复数的和所对应的向量的终点位置.

故选:D.

另解：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R).

由题意可知,复数z1对应的点在第四象限,则a>0,b<0.

同理c>0,d<0.

又z1+z2=a+bi+c+di=(a+c)+(b+d)i,所以a+c>0,b+d<0.

点评：直接抓住复数加法运算的几何意义,从“形”的视角切入,将复数问题转化为对应的向量问题,直观明了,易于分析.特别地,涉及两个复数的加法运算,借助对应的几何意义解题时,既可以使用平行四边形法则,也可以使用三角形法则.

3 复数中的综合运算问题

例3复数z=1+i在复平面内对应的点为A,将点A向右平移一个单位长度得到点B,将点B绕坐标原点按逆时针方向旋转90°得到点C,再将点C向上平移一个单位长度得到点D,则点D所对应的复数为______.

分析：根据题设条件,结合复数的几何意义,由条件中给出的复数确定对应点A的坐标,利用复平面内点的平移变换、旋转变换等依次确定对应点的坐标,进而由点的坐标还原对应的复数.

解析：依题意可知,点A为(1,1),将点A向右平移一个单位得到点B(2,1),而将点B绕坐标原点按逆时针方向旋转90°得到点C,结合对称性知,点C为(-1,2),再将点C向上平移一个单位长度得到点D(-1,3).

所以点D所对应的复数为-1+3i.

故填答案:-1+3i.

点评：熟练掌握平面直角坐标系中点的平移变换、旋转变换(以90°旋转等)、对称变换(以坐标原点为对称中心的中心对称变换,以坐标轴、象限的角平分线等为对称轴的轴对称变换)等,巧妙融入复数或平面向量的相关知识,借助复数的几何意义加以综合.

4 复数的综合问题

例4已知复数z=3+ai(a∈R),且满足|z|<4,则实数a的取值范围是______.

分析：根据题设条件,结合复数的模的条件,可以从代数思维与几何思维视角切入,分别通过模的代数运算与不等式求解,以及复数的几何意义的应用等来分析与解决,各有千秋,殊途同归.

解法一：代数思维.

解法二：几何思维.

如图1所示,由|z|<4知,复数z在复平面内对应的点在以原点为圆心,以4为半径的圆内(不包括边界).

图1

点评：涉及复数的模的综合问题,有其“数”的基本属性,也有其“形”的结构特征,具有对应的几何意义.借助复数的几何意义来解决一些与复数的模相关的综合问题,可以进一步拓展复数中的代数本质,以更直观形象的视角来挖掘复数中的几何内涵,为综合问题的解决提供更加广阔的空间.

5 复数的创新问题

例518世纪末,挪威测量学家维塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如|z|=|OZ|,也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离.已知复数z满足|z|=1,i为虚数单位,则|z+3-4i|的最小值为______.

分析：根据题设条件,由题设场景中给出的复数z的模的几何意义,将复数问题转化为对应的几何问题,利用图形直观,结合点与圆的位置关系加以分析与判断,进而确定相应的最值问题.

解析：依题意可设z=x+yi(x,y∈R).

由题意可知|z|=1,利用复数的模的概念可知,x2+y2=1,其几何意义为以O(0,0)为圆心,半径为r=1的圆.

故填答案:4.

点评：我们知道,复数的概念、复数的模、复数的四则运算等都具有各自对应的几何意义,有其“形”的几何特征,充分挖掘并利用这些相关要素的几何意义,可以很好地将相应的“代数”问题巧妙转化为“几何”问题,从不同思维视角、不同知识层面等方面来分析、解决问题,实现问题的突破与应用.

复数的几何意义是复数中的“数”与几何中的“形”之间衔接的桥梁,是“数”与“形”结合的体现.通过复数几何意义的引入与应用,淡化了繁琐的数学运算和技巧方法训练,可以更好地体会数学体系的建构过程、数形结合思想以及理性思维在数学发展中的作用,达到利用复数几何意义的“形”的意识,结合复数的基本概念、四则运算等,明确现实生活中存在的“数”,真正达到数形结合.